Cilindro: o que é, elementos e como calcular área e volume

Cilindro é o sólido gerado pela união de todos os segmentos de reta paralelos à reta secante, com tais segmentos de reta possuindo extremidades nos círculos dos 2 planos.

Na aula de hoje vamos estudar o cilindro. Esse sólido geométrico é muito frequente em nosso cotidiano e aparece recorrentemente em questões de vestibulares e do Enem. Portanto, é muito importante que você entenda bem a sua definição e conheça seus elementos, classificação e cálculos de áreas e volume.

O que é um cilindro?

Um cilindro reto é um sólido de revolução e, portanto, pode ser obtido através de uma rotação de 360° de um retângulo em torno de um eixo – o chamado eixo de revolução – com tal eixo posicionado sobre um dos lados do retângulo.

Cilindro reto a partir da revolução de um retânguloFigura 1: Demonstração da obtenção de um cilindro reto a partir da revolução de um retângulo. Fonte: https://bit.ly/35LgpjW

Repare na imagem acima que conseguirmos obter o cilindro reto (cujas laterais formam ângulos de 90º com as laterais) com a revolução. Isso significa que só existem cilindros retos? Não!

Considere dois planos quaisquer, que sejam paralelos e distintos, e um círculo contido em cada um desses planos de modo que os círculos sejam congruentes. Além disso, considere também uma reta secante aos planos.

Chamamos de cilindro o sólido gerado pela união de todos os segmentos de reta paralelos à reta secante, com tais segmentos de reta possuindo extremidades nos círculos dos dois planos. Veja imagem abaixo para entender melhor:

CilindrosFigura 2: Representação de dois cilindros. Fonte: https://bit.ly/2TCDUpJ.

Elementos de um cilindro

Além de compreender bem a definição de um cilindro, é importante que você conheça os elementos deste sólido geométrico. São eles:

  • Um par de bases paralelas e congruentes;
  • Eixo;
  • Raio da base;
  • Altura;
  • Geratriz.

Veja estes elementos na imagem abaixo.

Elementos do cilindroFigura 3: Representação do cilindro e seus elementos. Fonte: https://bit.ly/37SPe9q.

Agora vamos detalhar um pouco mais tais elementos:

  • As bases do cilindro são os círculos congruentes em cada um dos planos paralelos;
  • Os raios das bases são os raios dos círculos que compõem as bases do cilindro;
  • Sua altura é a distância entre as suas bases;
  • Seu eixo é o segmento de reta com extremidades no centro dos dois círculos que compõem as bases do cilindro;
  • Suas geratrizes são os segmentos de retas que possuem uma extremidade na circunferência que delimita um dos círculos da base e a outra extremidade na circunferência que delimita o outro círculo que compõe a outra base do cilindro.

Além destes elementos, dizemos que a região compreendida entre as bases do cilindro é a sua lateral.

Classificação

Como vimos acima, podemos classificar os cilindros em:

  • Reto: quando as geratrizes forem ortogonais aos planos da base.
  • Oblíquo: quando as geratrizes não forem ortogonais aos planos da base.

Observe abaixo.

Cilindro oblíquo e cilindro retoFigura 4: Representação de um cilindro oblíquo e um cilindro reto. Imagem retirada e adaptada de: https://bit.ly/3oAKlHU

Na figura anterior, o cilindro da esquerda é oblíquo e o da direita é reto.

Perceba que, no caso do cilindro reto, a sua altura possui mesmo valor numérico que a sua geratriz. Já no oblíquo, tal equidade não é obrigatório.

Já aprendemos bastante sobre o tema, mas ainda precisamos aprender mais dois conceitos antes de partimos para as fórmulas de cálculo de áreas e volume: a seção meridiana e a definição de cilindro equilátero.

Seção meridiana

Imagine que você vá seccionar o cilindro através de um plano que contém o eixo do cilindro, como no exemplo abaixo.

Representação de um plano seccionando um cilindro retoFigura 5: Representação de um plano seccionando um cilindro reto. Imagem retirada e adaptada de: https://bit.ly/35LgpjW

Agora, imagine que estamos interessados em analisar apenas a figura plana gerada pela intersecção do plano com o cilindro. Essa figura é um paralelogramo e é chamada de seção meridiana do cilindro.

Perceba que a altura do paralelogramo gerado coincide com a altura do cilindro e, como ele possui base com raio medindo r, o comprimento do paralelogramo terá medida 2r. Veja abaixo.

seção meridianaFigura 6: Representação de um plano seccionando um cilindro reto e sua respectiva seção meridiana. Imagem retirada e adaptada de: https://bit.ly/35LgpjW

Em seguida, repare abaixo como é a seção meridiana de um cilindro oblíquo:

Cilindro oblíquo e sua seção meridianaFigura 7: Representação de um plano seccionando um cilindro oblíquo e sua respectiva seção meridiana. Imagem retirada e adaptada de: https://bit.ly/35QsKmK

Perceba que, no caso do cilindro reto, a seção meridiana é um retângulo, e que no caso do cilindro oblíquo, a seção meridiana é um paralelogramo.

Note também que tanto o paralelogramo quanto o retângulo terão altura igual à altura do cilindro e comprimento medindo 2r.

Cilindro equilátero

Agora que já aprendemos sobre seção meridiana, vamos à definição de cilindro equilátero:

Cilindro equilátero é um cilindro reto cuja medida da altura coincide com a medida do diâmetro (dobro do raio). Veja abaixo.

Cilindro equiláteroFigura 8: Representação de um cilindro equilátero. Imagem retirada de: https://bit.ly/35Mitbj

No cilindro equilátero temos a seguinte relação válida: g=h=2r, com r sendo o raio da base. Repare que no caso do cilindro equilátero, a sua seção meridiana é um quadrado de lado de medida 2r.

Perceba, então, que todo cilindro reto possui seção meridiana sendo um paralelogramo, mas apenas o equilátero possui seção meridiana sendo um quadrado.

Cálculo da área e do volume

Agora podemos partir para o estudo dos cálculos de áreas e volume do cilindro.

Primeiro, algumas definições:

  • Superfície lateral: união de todas as geratrizes. Quando calculamos a sua área, encontramos a chamada área lateral do cilindro – denotada por Al ou Sl.
  • Superfície total: união da superfície lateral com as duas bases. Quando calculamos a sua área, encontramos a chamada área total do cilindro – denotada por At ou St.
  • Volume: espaço ocupado pelo cilindro – denotado por V.

Ok, até aqui sabemos as definições, mas e os cálculos?

Veja a imagem abaixo, que representa a planificação do cilindro.

Planificação de um cilindroFigura 9: Representação da planificação de um cilindro reto. Imagem retirada de: https://bit.ly/2TBSuxp

Com o auxílio da imagem acima, repare que a superfície lateral é um retângulo de altura com mesma medida que a altura do cilindro e comprimento equivalente ao comprimento da circunferência que delimita o círculo da base (ou perímetro da circunferência).

Área

Sendo h a altura do cilindro e 2πr o comprimento da circunferência que delimita cada um dos círculos das suas bases, temos então que a área lateral é dada por:

Sl = 2πrh

Agora, sabendo que a área de cada uma das bases do cilindro é dada por πr², temos que a área total é dada por:

St = Sl + 2Sb

Ou seja,

St = 2πrh + 2(πr²)

St = 2πr (h + r)

Volume

E, por fim, o volume do cilindro é dado por:

V = Sb . h

V = πr² . h

V = πr²h

Você ainda pode estar se perguntando como ficam as fórmulas para o caso do cilindro equilátero. Nesse caso, você pode pegar a expressão h = 2r e substituir nas  fórmulas acima, manipular as expressões e você chegará às expressões de áreas e volume deste sólido.

Videoaula

Se você quiser ver mais detalhes sobre o conteúdo, veja a videoaula do professor Sarkis:

Exercícios

1- (UNCISAL/2019)    

Em um supermercado, são encontradas duas marcas de molho de tomate, X e Y, cujas embalagens são cilindros circulares retos. O raio da base da embalagem da marca X é o dobro do raio da base da embalagem da marca Y; a altura da embalagem da marca X é a metade da altura da embalagem da marca Y. Uma lata de molho de tomate da marca X custa R$ 3,60 e uma lata da marca Y custa R$ 3,30. As figuras a seguir ilustram a situação descrita.

ExercícioSe ambos os produtos tiverem qualidades semelhantes, então, considerando-se a relação entre preço e capacidade de cada lata, será mais vantajoso para o comprador adquirir o molho de tomate da marca

a) Y, porque a capacidade de sua lata é igual à capacidade da lata de X e o preço de Y é inferior ao preço de X.

b) Y, porque a capacidade de sua lata é o dobro da capacidade da lata de X e o preço de Y é inferior ao preço de X.

c) X, porque a capacidade de sua lata é o dobro da capacidade da lata de Y e o preço de Y é superior à metade do preço de X.

d) Y, porque a capacidade de sua lata é o triplo da capacidade da lata de X e o preço de X é superior a um terço do preço de Y.

e) X, porque a capacidade de sua lata é quatro vezes a capacidade da lata de Y e o preço de Y é superior a um quarto do preço de X.

2- (UNCISAL/2019)    

Um artesão confecciona vasos cilíndricos de dois tamanhos diferentes, decorados com faixas de papel colorido coladas nas superfícies, como mostram as figuras a seguir. O preço de venda de cada vaso é proporcional à quantidade de papel utilizado para confeccionar a faixa decorativa.

Exercício 2Considerando-se que os vasos sejam semelhantes, se o raio da base do vaso maior for igual a 4 vezes o raio da base do vaso menor, então o preço que o artesão deverá cobrar pelo vaso maior é igual a

a) 4 vezes o valor cobrado pelo vaso menor, porque a área da faixa foi multiplicada por 4.

b) 8 vezes o valor cobrado pelo vaso menor, porque a área da faixa foi multiplicada por 8.

c) 12 vezes o valor cobrado pelo vaso menor, porque a área da faixa foi multiplicada por 12.

d) 16 vezes o valor cobrado pelo vaso menor, porque a área da faixa foi multiplicada por 16.

e) 64 vezes o valor cobrado pelo vaso menor, porque a área da faixa foi multiplicada por 64.

 

Gab: D

3- (ENEM/2019)    

Uma construtora pretende conectar um reservatório central (Rc) em formato de um cilindro, com raio interno igual a 2 m e altura interna igual a 3,30 m, a quatro reservatórios cilíndricos auxiliares (R1, R2, R3 e R4), os quais possuem raios internos e alturas internas medindo 1,5 m.

Exercício Enem

As ligações entre o reservatório central e os auxiliares são feitas por canos cilíndricos com 0,10 m de diâmetro interno e 20 m de comprimento, conectados próximos às bases de cada reservatório. Na conexão de cada um desses canos com o reservatório central há registros que liberam ou interrompem o fluxo de água.

No momento em que o reservatório central está cheio e os auxiliares estão vazios, abrem-se os quatro registros e, após algum tempo, as alturas das colunas de água nos reservatórios se igualam, assim que cessa o fluxo de água entre eles, pelo princípio dos vasos comunicantes.

A medida, em metro, das alturas das colunas de água nos reservatórios auxiliares, após cessar o fluxo de água entre eles, é

a) 1,44.

b) 1,16.

c) 1,10.

d) 1,00.

e) 0,95.

Gabarito:

  1. C
  2. D
  3. D

Sobre o(a) autor(a):

Letícia Figueredo de Carvalho é graduada em Matemática Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Atua na área educacional desde 2013, trabalhando como analista de conteúdo, professora de matemática e monitora de disciplina, atuando em diversos níveis de ensino. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/leticia-figueredo-de-carvalho/.

Compartilhe: