Círculo e circunferência: como calcular área e perímetro

O círculo e a circunferência são figuras que aparecem com muita frequência nas questões de Matemática do Enem. Por isso, são tema da sexta aula da nossa série “Aprenda geometria de uma vez por todas”. Você vai estudar as figuras circulares da geometria plana, o círculo e a circunferência, além de ver uma breve apresentação do número π (pi).

O que são círculo e circunferência

É muito comum utilizarmos as palavras “círculo” e “circunferência” como se fossem sinônimos. Mas, essas duas figuras possuem uma diferença importante. Quando falamos em circunferência, estamos nos referindo à parte externa, somente o contorno, ou a “casca”.

Já quando nos referimos a círculos, falamos sobre toda a área interna a essa casca. Assim, enquanto a circunferência é um comprimento, o círculo é uma área. Veja na imagem:

Atenção: o círculo é a área interna. Ele não precisa necessariamente estar hachurado ou pintado. A indicação pode ser feita através do comando da questão.

Podemos identificar a diferença facilmente no elemento visual acima. A circunferência é a parte externa, o traço preto, formando um comprimento. Enquanto isso, o círculo é a parte interna, colorido de roxo, formando uma área.

Com essas distinções postas, fica mais claro focar na resolução dos exercícios para os exames. Observe que exercícios envolvendo circunferências vão exigir que você faça  cálculos envolvendo comprimentos, enquanto exercícios envolvendo círculo vão exigir que você faça cálculos envolvendo áreas.

Elementos do círculo e da circunferência

Agora que já sabemos as diferenças, vamos ver quais são os elementos principais que formam tanto o círculo quanto a circunferência. Esses elementos estão presentes em ambas as figuras e são importantes para os cálculos envolvendo-as.

Primeiramente, podemos atentar ao centro. Intuitivamente sabemos quem é o centro. Mas, matematicamente, dizemos que o centro é um ponto dentro da figura que tem a mesma distância de todos os pontos da circunferência. Para o círculo essa definição ainda é válida, mas usamos de referência a menor circunferência que engloba o círculo.

O segundo elemento a ser apresentado é o raio. O raio é a distância entre o centro e qualquer ponto da circunferência. É ele quem define o tamanho da circunferência ou do círculo. Adicionalmente, também temos o diâmetro, que é o dobro do raio. O diâmetro pode ser representado por um segmento que vai de um lado da circunferência até o outro, passando pelo centro.

Veja na imagem estes três elementos:

Mas, antes de falar sobre as fórmulas e do cálculo em si, precisamos apresentar um elemento essencial no estudo de círculos e circunferências.

O número π

O número π (lê-se pi) é um número irracional próximo de 3,14. Por ser um número irracional, ele não pode ser representado através de uma dízima periódica. Portanto, suas casas decimais exatas são uma sequência infinita de número sem um padrão.

No fim das contas, isso significa que não podemos usar o π de forma não simbólica e exata (isto é, sem usar a letra e sim a forma numérica). Sempre que trabalharmos com π numericamente, faremos o uso de aproximações. As aproximações para este número mais utilizadas no Enem são o 3,14 e o 3, dependendo da questão. Por isso, ler as instruções das questões é muito importante.

Mas, você pode estar se perguntando por que, dentre todos os números, os matemáticos “escolheram” o π. Bom, a verdade é que não teve uma escolha, o π é um número que aparece quando se faz a divisão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência. Por ter relação fundamental com essas medidas, o π não poderia deixar de aparecer na fórmula do cálculo da circunferência, da área do círculo, dentre outras tantas fórmulas.

Cálculo do comprimento da circunferência

 O cálculo do comprimento da circunferência pode ser feito utilizando a seguinte fórmula:

c = 2.π.r

Onde r é o valor do raio da circunferência. Como a circunferência é uma grandeza de comprimento, a unidade de medida resultante será a mesma que o exercício forneceu para o raio.

Exemplo: calcule o comprimento de uma circunferência com raio 8 m.

Basta substituir os dados fornecidos na fórmula:

c = 2.π.r

c = 2.π.8

c = 16 πm

Agora fica a pergunta: essa resposta com π é adequada? Depende da questão! Como o exemplo não pede para usarmos π como uma aproximação, a resposta final com o símbolo π está totalmente certa. Mas, e se a questão pedisse para usar uma aproximação? Vamos ver como fazer.

Primeiramente, recomendo que você faça a questão normalmente, usando π de forma simbólica até o fim. Quando você chegar ao fim da questão substitua π pelo valor indicado.

Se a questão pedir para usar π = 3:

c = 16 . 3 m

c = 48 m

Se a questão pedir para usar π = 3,14:

c = 16 . 3,14 m

c = 50,24 m

Dicas sobre questões de comprimento de circunferência

Se a questão não indicar uma aproximação, mas não existe alternativa com uma resposta simbólica, é convencionado que a aproximação adequada é π = 3,14.

Antes de passarmos para o próximo assunto, vamos só atentar a mais uma coisa sobre circunferências. Algo interessante a se notar, e também que aparece bastante em questões do Enem, é que o comprimento da circunferência é o mesmo valor da distância percorrida quando um objeto circular completa uma volta.

Vamos explicar através de um exemplo: imagine uma bicicleta percorrendo um caminho reto, sem deslizar e com duas rodas de mesmo tamanho. Se você medir o quanto de distância essa bicicleta percorrerá quando sua roda completar uma volta, será exatamente igual ao comprimento de circunferência de sua roda.

A mesma coisa acontece, por exemplo, em um carrossel ou em uma roda-gigante. Quando eles completam uma volta, sabemos que os seus ocupantes se deslocaram uma distância igual ao comprimento de circunferência do brinquedo.

Cálculo da área do círculo

O cálculo da área do círculo pode ser feito utilizando a seguinte fórmula:

A = π . r²

Onde r é o valor do raio do círculo. Como estamos trabalhando com áreas, sabemos que a unidade de medida resultante será igual ao quadrado da unidade de medida fornecida para o raio.

Exemplo: calcule a área de um círculo de raio 5 cm.

Mais uma vez, basta substituir o valor dado na fórmula:

A = π . r²

A = (5 cm)² . π

A = 25 πcm²

Esse é um resultado adequado para uma questão sem aproximações. Com aproximações, teríamos:

Se a questão pedir π = 3:

A = 25 . 3 cm²

A = 75 cm²

Por fim, se a questão pedir π = 3,14:

A = 25 . 3,14 cm²

A = 78,5 cm²

Dica: para diferenciar a fórmula da circunferência e do círculo, lembre-se que a fórmula que usa r² é para uma medida de área, e a fórmula que usa somente r é para uma medida de comprimento.

Videoaula

Para finalizar sua revisão, não deixe de assistir ao 6º episódio da série “Aprenda geometria de uma vez por todas” com o professor Lucas!

Exercícios sobre círculo e circunferência

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