Círculo trigonométrico

Entender o círculo trigonométrico e sua função é um grande passo para o estudo da trigonometria. Acompanhe esta aula de Matemática e acabe com suas dúvidas!

O círculo trigonométrico estabelece relações entre os ângulos, graus, radianos, senos, cossenos e tangentes. Essas palavras complicadas são termos matemáticos que costumam cair na prova do Enem e vestibulares com frequência e, por isso, é importante compreender como se estabelecem essas relações.

Uma vez que você entende e aprende como construir o círculo trigonométrico, fica muito mais fácil sair de uma questão que exige que você saiba, por exemplo, o seno de algum ângulo.

Círculo trigonométrico

É importante pensar o círculo trigonométrico como uma circunferência construída sobre o plano cartesiano e que corta os eixos das abcissas e das ordenadas no ponto 1. Isso significa também que a circunferência possui sempre raio igual a 1. Veja na imagem:

círculo trigonométrico

Por convenção, a contagem para determinar os ângulos e os quadrantes sempre se inicia no ponto (1,0) do eixo das abcissas. Seguindo o sentido anti-horário, temos a seguinte disposição:

círculo trigonométrico

A partir do ponto (1,0) também iniciamos a contagem dos graus e radianos para o estudo da trigonometria. O círculo trigonométrico é dividido em 360 graus.

Os graus são contados a partir de 0. Lembrando que uma volta completa é composta de 360 graus, meia volta equivale a 180 graus. A partir disso, é possível identificar os principais ângulos:

Além dos graus, temos os radianos. A chave para o sucesso é compreender que um π radianos equivale a 180º, assim:

– Uma volta completa equivale a 360º e 2π radianos;

– Meia volta equivale a 180º e π radianos;

– Um quarto de volta equivale a 90º e π/2 radianos;

– Três quartos de volta equivalem a 270º e 3π/2 radianos.

círculo trigonométrico

Então, toda vez que uma questão pedir para você transformar graus em radianos ou vice-versa, você tem dois caminhos:

1- Lembrar da relação entre graus e radianos e fazer uma regra de 3;

2- Construir o círculo trigonométrico levando em consideração seu conhecimento de quadrantes, sentido e congruência.

Veja que, até agora, só consideramos os ângulos principais. Porém, podemos aprofundar mais, fazendo novas divisões. Iremos focar apenas no primeiro quadrante daqui para frente, sempre levando em consideração que a maneira como se comportam os graus e radianos nos outros quadrantes é sempre simétrica. Sendo assim, fica como tarefa você desenvolver/desenhar em casa o restante dos ângulos.

Por exemplo, se dividirmos o arco do 0 aos 90 graus, teremos 45 graus, e da mesma forma, se dividirmos o arco do 0 aos π/2 radianos, teremos π/4 radianos, assim:

círculo trigonométrico

É necessário também destacar os principais ângulos que se encontram no primeiro quadrante e que são peça fundamental para desenvolver questões com seno, cosseno e tangente. São os arcos de 30º e 60º, respectivamente π/6 e π/3 em radianos. Veja no círculo quais as posições destes ângulos:

círculo trigonométrico

Razões Trigonométricas

As razões trigonométricas mais importantes são o seno, o cosseno e a tangente, mas como elas são representadas no círculo trigonométrico? Esta relação é dada entre os pontos no arco que representam os ângulos e os próprios eixos x e y.

Seno

O seno é a reflexão do ponto no eixo das ordenadas. Para entender melhor, imagine que ao lado do círculo trigonométrico é posicionada uma lanterna, a sombra que o ponto faz no eixo das ordenadas é o valor do seno daquele ângulo. Veja no exemplo com o ângulo de 30º:

círculo trigonométrico

Você se recorda que no início deste post dissemos que o raio do círculo trigonométrico sempre é igual a 1, certo? Bem, embora um velho ditado nos diga que a geometria é a arte de raciocinar sobre desenhos não muito bem feitos, é possível perceber na imagem que a sombra do ponto que representa o ângulo de 30 graus atinge o eixo dos senos exatamente na metade. Logo, podemos concluir que o seno de 30º é igual a 1/2.

Cosseno

A mesma linha de raciocínio é utilizada para obtenção dos cossenos, a diferença é que agora a reflexão do ponto é no eixo das abcissas, representando o valor do cosseno naquele ângulo. Assim, é só imaginar que a lanterna esteja focando de cima para baixo:

círculo trigonométrico

Agora, somente visualizando a imagem, ficou um pouco mais difícil de estimar qual é o cosseno de 30º refletido no eixo x, não é mesmo? Mas com uma observação mais minuciosa é possível perceber um triângulo retângulo e, através dele, calcular os valores do cosseno.

Essa visualização nos leva a um ponto bem importante que é o sinal do cosseno e o sinal do seno em cada um dos quadrantes. Visto que o círculo trigonométrico é posicionado sobre um plano cartesiano, tanto o sinal do sendo quanto o do cosseno obedecem ao sinal do eixo no qual estão projetados. Sendo assim:

círculo trigonométrico

Ângulos notáveis

Alguns dos ângulos destacados são os mais utilizados em cálculos e, portanto, possuem os valores de seno e cosseno convencionados, por isso são chamados de ângulos notáveis. Os valores de 0º, 30º, 45º, 60º e 90º possuem os seguintes valores para o seno e cosseno:

círculo trigonométrico

Veja esta aula com explicação de como determinar o valor de um ângulo congruente:

Exercícios!

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Sobre o(a) autor(a):

Os textos e exemplos de apresentação desta aula foram preparados pela professora Andréia Zanchetti para o Blog do Enem. Andréia é formada em Matemática pelo IFRS e possui mestrado pela FURG.