Relações trigonométricas do triângulo retângulo

A descoberta da relações trigonométricas do triângulo retângulo deu início aos estudos da trigonometria. Aprenda sobre esse assunto no Curso Enem Gratuito e teste seus conhecimentos com a nossa lista de exercícios!

Sabemos que triângulo retângulo é uma referência nas aplicações que envolvem a geometria plana. Em algumas profissões ficaria difícil entender diferentes fenômenos se não usássemos suas diferentes aplicações.

Seu ângulo reto, suas relações métricas e trigonométricas dão ferramentas para cálculos de distâncias muito grandes como entre dois planetas, por exemplo.

Sendo assim, você precisar saber tudo sobre as relações trigonométricas deste triângulo.

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Podemos calcular a distância entre planetas usando triângulos retângulos. Fonte: https://bit.ly/2TWnW8j

Para estudar as relações métricas do triângulo retângulo, é importante lembrar que além de ter um ângulo reto, o seus lados têm nomes específicos que os outros triângulos não têm.

Por ser um tipo especial de triângulo, a literatura especializada dedica capítulos inteiros a seu estudo, pois essa figura é o pilar dos estudos da trigonometria.

Os triângulos retângulos têm dois tipos de relações envolvendo lados e ou ângulos. Essas relações são: as Métricas e as Trigonométricas.

Nosso interesse é o estudo das relações trigonométricas que são usadas quando surgem cálculos entre as medidas dos lados e ângulos de um triângulo retângulo. São conhecidas como seno, cosseno e tangente.

Mas como calculamos essas relações?

Observe o triângulo retângulo abaixo:

relações trigonométricas 2

Temos os lados:

a: hipotenusa
b: cateto
c: cateto

E também temos os ângulos α, β e γ.

A relação de seno de um ângulo é dada pela razão entre o cateto oposto do ângulo considerado é a medida da hipotenusa do triângulo. Lembramos que a palavra razão nos remete a uma divisão ou uma fração.

Para definirmos o seno devemos ver qual o ângulo a ser usado e qual é o cateto (lado) que fica do lado oposto a esse ângulo:

Se considerarmos o ângulo β, por exemplo, e usando o conceito de seno temos a seguinte expressão:

relações trigonométricas 3

Mas se considerarmos o ângulo γ, temos:

relações trigonométricas 4

A relação de cosseno de um ângulo é dada pela razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa do triângulo.

Para o ângulo β, o cateto adjacente b, então:

relações trigonométricas 5

Logo para o ângulo γ, temos:

relações trigonométricas 6

Já, a tangente de um ângulo considerado é dada pela razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
Para o ângulo β, ficamos com:

relações trigonométricas 7

E para o ângulo γ:

relações trigonométricas 8

Podemos concluir que os valores das tangentes dos dois ângulos são valores inversos.

Quer assistir um vídeo explicativo sobre esse conteúdo? Veja este da Khan Academy:

Aplicações:

As relações trigonométricas são utilizadas para cálculos de distâncias na agrimensura e astronomia.

Também são utilizadas por engenheiros nos projetos de construção civil pois os triângulos por si só são estáveis e muito rígidos evitando deformações nos projetos em andamento.

Na Física as aplicações das relações trigonométricas são infinitas. Como, por exemplo, nos estudos de lançamentos oblíquos, cálculo de tensões na estática de corpos rígidos, no estudo de sistema de forças entre tantos outros assuntos.

Sendo assim, podemos perceber que as relações trigonométricas dos triângulos retângulos são aplicáveis em diversas áreas.

Prática:

Agora que você já revisou a teoria, vamos a um exemplo de aplicação sobre esse assunto que adora aparecer no Vestibular e no Enem!

1) Uma escada está apoiada em um muro de 2m de altura, formando um ângulo de 45º. Forma-se, portanto, um triângulo retângulo isósceles. Qual é o comprimento da escada?

relações trigonométricas 9

Resolução:

Lendo o enunciado achamos um dado importante: o triângulo retângulo tem um ângulo formado com a parede de 45º. O ângulo reto formado nesse triângulo é entre a parede e a projeção da escada. Logo o ângulo formado entre a escada e o chão também é de 45º.

Veja o esboço abaixo:

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Como o triângulo é isósceles temos dois lados iguais e esses lados são aqueles que formam os ângulos de 90º.
Precisamos então calcular a hipotenusa desse triângulo, através do seno do ângulo de 45º:

relações trigonométricas 11

O cateto oposto ao ângulo de 45º mede 2m e a hipotenusa não sabemos.
O sen45º pela tabela trigonométrica é igual a relações trigonométricas 12

Vamos substituir esses dados na fórmula do seno:

relações trigonométricas 13

Multiplicando em xis, temos:

relações trigonométricas 14

Passando  para o outro lado da igualdade, dividindo 4:

relações trigonométricas 15

Não podemos deixar a  como denominador, então vamos racionalizar, isto é, multiplicamos a fração toda por 

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E, chegamos ao resultado:

Como então o comprimento da escada é aproximadamente 2,84 m.
(Fonte: https://goo.gl/9mfHqk)

Você poderia resolver por outra relação envolvendo triângulos, não é mesmo? Teste a resolução usando o Teorema de Pitágoras. Estude o Teorema de Pitágoras neste resumo da professora Wânia.

Exercícios:

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Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é especialista em Psicopedagogia Institucional com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atua na rede particular, estadual e municipal há 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades privadas na área de Matemática e Metodologia de Ensino de Matemática. Facebook: www.facebook.com/WMariaAP. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.

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