Análise combinatória e os tipos de combinação

A combinação simples é um tipo de análise combinatória em que há o agrupamento de elementos de forma que a sua ordem não importe. Entenda!

Vem conosco aprender sobre todos os tipos de combinação e como eles aparecem em provas! Tem exercícios selecionados para testar aquilo que você acabou de aprender e uma videoaula sobre o tema!

Análise combinatória e combinação

Existem diversas formas de agrupar elementos, cada uma tem seus contextos e principais características. Quando estudamos agrupamentos no contexto de análise combinatória queremos saber calcular de quantas maneiras os elementos podem ser agrupados de determinada forma. Uma pergunta comum nesse tema é a seguinte:

De quantas maneiras conseguimos separar 4 cartas distintas de um baralho contendo 10 cartas diferentes? O estilo de agrupamento que ela propõe é chamado de combinação e será o tema desta aula.

Publicidade

Confira agora um aintrodução ao tema, com o resumo de Permuta e Combinação, com o professor Sérgio Sarkis, do canal do Curso Enem Gratuito:

O que é combinação simples

Na combinação – leia-se, combinação simples – queremos agrupar elementos de forma que a sua ordem não importe. Isto é, se duas combinações possuem os mesmos elementos, elas são consideradas a mesma, independente da ordem.

Ademais, vamos poder combinar quantos elementos quisermos de um conjunto. Vamos usar o exemplo inicial para entender como calcular o número máximo de possibilidades:

Exemplo de combinação simples

De quantas maneiras diferentes conseguimos separar 4 cartas distintas de um baralho contendo 10 cartas diferentes?

Começamos calculando de quantas formas podemos ordenar essas 4 cartas. Embora esse método produza resultados duplicados, já que ele considera a ordem das cartas, podemos eliminar essas duplicatas em seguida. Para fazer isso, precisamos utilizar o princípio fundamental da contagem.

Assim, começamos escolhendo a primeira carta entre as 10, que nos deixará com 9 opções para escolher a segunda, seguida por 8 opções para escolher a terceira e 7 opções para escolher a quarta. Dessa forma, multiplicando o número de opções, obtemos:

10 . 9 . 8 . 7 = 5040

Em seguida, precisamos desconsiderar os resultados duplicados. Para isso, precisamos dividir o resultado encontrado pelo número de vezes que um mesmo resultado aparece em ordens diferentes.

Para isso, precisamos calcular de quantas formas podemos ordenar 4 cartas entre 4 cartas definidas. Esse número será 4! e pode ser calculado da mesma forma que o resultado anterior. Dessa maneira, encontramos o resultado:

5040 dividido por 4 fatorial

Fórmula da combinação

Embora tenha natureza diferente, a fórmula para calcular o número possível de combinações vai ser bem parecida com a fórmula de arranjo. N é o número de elementos distintos do conjunto e p o número de elementos distintos que gostaríamos de combinar. Se n é maior ou igual que p, temos:

Fórmula da combinação

Note que na fórmula de combinação, além de (n – p)! no denominador, temos também p!. A função dele na fórmula é dividir as combinações que possuem a mesma ordem, já que o número diferente de ordens de uma combinação de p elementos será p!. Vamos ver uma aplicação direta da fórmula no próximo exemplo.

Exemplo 2

De quantas maneiras diferentes podemos fazer duplas de alunos em uma classe com 22 estudantes?

Começamos substituindo n pelo número de elementos no conjunto (22) e p pelo número de elementos a serem combinados (2):

Combinação 2 e 22

Em seguida, desenvolvemos e simplificamos os fatoriais:

Combinação 2 e 22 com fatoriais

Por fim, desenvolvendo e fazendo as devidas contas, obtemos:

Combinação 2 e 22 resultado

Combinação composta

A combinação composta é uma variação muito similar da combinação simples. No entanto, o contexto em que ela pode ser aplicada é um pouco diferente da primeira. Diferente da combinação simples, os elementos do conjunto inicial podem repetir quantas vezes for necessário na combinação final.

Lembra quando falamos que na combinação o número de elementos no conjunto precisa ser maior que o número de elementos combinados? Com a combinação composta essa limitação não vai existir.

Pense que agora você está tentando combinar 10 cartas de um baralho que possui 4 tipos de cartas diferentes. É possível calcular o número de possibilidades desse problema com combinação composta. Note que falamos 4 tipos de cartas diferentes, e não 4 cartas.

Para fazer o cálculo de situações possíveis com combinação composta, iremos usar a seguinte fórmula:

Fórmula da combinação composta

N é o número de elementos distintos no conjunto e p é o número de elementos a serem combinados.

Vamos usar o exemplo anterior para demonstrar como utilizar a fórmula.

Exemplo 3

De quantas maneiras possíveis podemos separar 10 cartas com um baralho contendo 4 tipos diferentes de cartas?

Aqui, substituímos n por 4 e p por 10:

Combinação 10 e 4

Em seguida, desenvolvemos e simplificamos os fatoriais:

Combinação 10 e 4 com fatoriais

Por fim, desenvolvendo e fazendo as devidas contas:

Combinação 10 e 4 resultado

Uma característica interessante que difere a combinação composta da simples é que na composta podemos trocar os valores um pelo outro e continuamos com perguntas válidas que são respondidas pela mesma fórmula. Entenda no próximo exemplo.

Exemplo 4

De quantas maneiras possíveis podemos separar 4 cartas com um baralho contendo 10 tipos diferentes de cartas?

Dessa vez, substituímos n por 10 e p por 4:

Combinação 4 e 10

Em seguida, desenvolvemos e simplificamos os fatoriais:

Combinação 4 e 10 com fatoriais

Desenvolvendo e fazendo as devidas contas:

Combinação 4 e 10 resultado

Combinação condicional

Por fim, vamos ver um método muito importante na resolução de provas. É muito comum em exercícios do Enem e vestibulares vermos questões de análise combinatória que condicionam a resposta. Por exemplo:

  • De quantas maneiras diferentes podemos montar um grupo de 4 alunos em uma sala com 10 alunos, de forma que dois deles especificamente não participem do grupo?
  • De quantas maneiras diferentes podemos montar um grupo de 4 alunos em uma sala com 10 alunos, de forma que dois deles especificamente participem do grupo?

Essas perguntas vão ser respondidas através da combinação condicional. Mas não se preocupe porque é tudo muito parecido com o que vimos até agora. Na verdade, vamos apenas mudar os números.

Condicional exclusiva

Na combinação condicional exclusiva queremos ter certeza de que um número dos elementos do conjunto não participe da combinação. Para isso, precisamos apenas retirá-lo do conjunto inicial.

Exemplo 5

De quantas maneiras diferentes podemos montar um grupo de 4 alunos em uma sala com 10 alunos, de forma que dois deles especificamente não participem do grupo?

Para resolver esse problema, vamos usar a fórmula de combinação simples. Entretanto, vamos ter que pensar nos nossos valores. Embora tenhamos uma turma com 10 alunos, dois deles não participam do grupo. Portanto, temos que desconsiderar ele do conjunto inicial. Assim sendo, substituirmos n por 10-2 e p por 4:

Combinação 4 e 10-2

Desenvolvendo e simplificando os fatoriais:

4 e 8 fatoriais

Assim, desenvolvendo e fazendo as devidas contas, obtemos:

Combinação 4 e 8 resultado

Condicional inclusiva

Na combinação condicional inclusiva queremos ter certeza de que um número dos elementos do conjunto participe da combinação. Para isso, precisamos desconsiderar o “espaço” que esses elementos irão ocupar na combinação e que eles deixarão de participar do conjunto inicial.

Exemplo 6

De quantas maneiras diferentes podemos montar um grupo de 4 alunos em uma sala com 10 alunos, de forma que dois deles especificamente participem do grupo?

Da mesma forma que na condicional exclusiva, vamos utilizar a fórmula de combinação simples, mas reconsiderando os valores. Mesmo que estejamos montando grupos de 4 alunos, precisamos considerar que vamos ter apenas dois “espaços vagos”, já que os outros dois precisam ser alunos específicos.

Da mesma forma, precisamos considerar que esses dois alunos não podem mais ser escolhidos. Assim sendo, substituirmos n por 10-2 e p por 4-2:

Condicional inclusiva 2 e 8

Em seguida, desenvolvemos e simplificamos os fatoriais:

Condicional inclusiva 2 e 8 com fatoriais

Por fim, desenvolvendo e fazendo as devidas contas, obtemos:

Condicional inclusiva 2 e 8 resultado

Videoaula

Aproveite para revisar análise combinatória com a videoaula completa sobre o assunto e, em seguida, resolva os exercícios:

Exercícios

1- (ENEM/2007)

 Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de mamíferos, distribuídas conforme a tabela abaixo.

Tabela de espécies de mamíferos - Matemática EnemT&C Amazônia, ano 1, n.o 3, dez./2003.

Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas espécies de mamíferos — uma do grupo Cetáceos, outra do grupo Primatas e a terceira do grupo Roedores.

O número de conjuntos distintos que podem ser formados com essas espécies para esse estudo é igual a

a) 320.

b) 090.

c) 845.

d) 600.

e) 245.

2 – (Famema SP/2020)

Em uma classe há 9 alunos, dos quais 3 são meninos e 6 são meninas. Os alunos dessa classe deverão formar 3 grupos com 3 integrantes em cada grupo, de modo que em cada um dos grupos haja um menino. O número de maneiras que esses grupos podem ser formados é

a) 30.

b) 60.

c) 120.

d) 90.

e) 15.

3- (USCS SP/2019)

Em um colégio, 5 alunos da turma A e 4 alunos da turma B se candidataram para participarem da comissão julgadora de um evento cultural. Sabendo que essa comissão será formada por apenas 3 alunos e que não poderá ter alunos de uma só turma, o número de maneiras diferentes de se escolher esses 3 alunos é

a) 70.

b) 66.

c) 42.

d) 50.

e) 58.

4- (UniCesumar PR/2018)

Um time de voleibol é composto por 14 jogadores, tal que 6 jogadores são considerados principais, 5 jogadores são considerados reservas e 3 jogadores são considerados líberos. Para participar de um campeonato de Voleibol, não importando a posição que cada jogador ocupa em quadra, o técnico deve formar sua equipe com 9 jogadores, sendo 4 deles escolhidos entre os titulares, 4 escolhidos entre os reservas e 1 escolhido entre os líberos. De quantas maneiras diferentes esse técnico pode formar a equipe que irá participar desse campeonato?

a) 400 maneiras.

b) 225 maneiras.

c) 450 maneiras.

d) 800 maneiras.

e) 30 maneiras.

5- (UPE/2018)

A turma de espanhol de uma escola é composta por 20 estudantes. Serão formados grupos de três estudantes para uma apresentação cultural. De quantas maneiras se podem formar esses grupos, sabendo-se que dois dos estudantes não podem pertencer a um mesmo grupo?

a) 6 840

b) 6 732

c) 4 896

d) 1 836

e) 1 122

GABARITO:

  1. A
  2. D
  3. A
  4. B
  5. E

Sobre o(a) autor(a):

Essa aula foi preparada pelo professor Inácio Ávila. Inácio Ávila é graduando em matemática-licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina.

Compartilhe: