Representação gráfica de um produto cartesiano

Gráficos são uma das maiores preocupações de quem está empenhado a ir bem na prova de matemática do Enem. E você? Sabe como identificar pontos em um gráfico e saber o que eles representam? Então, fique atento (a) a essas dicas!

Saber interpretar um gráfico é uma das coisas mais importantes na aprendizagem de matemática. Um gráfico pode descrever inúmeras situações tanto na matemática, quanto física, na geografia e na biologia. Inclusive, a posição em que você se encontra agora lendo este texto é dada no mapa por um ponto, que nada mais é do que um par ordenado. Esse par ordenado dado pela latitude e longitude, é chamado também de coordenada geográfica. O que vamos aprender hoje, é bem parecido com essa ideia, mas um produto cartesiano é representado por um gráfico que chamamos de sistema de coordenadas cartesianas.

representação de coordenadas cartesianas
Imagem 1: representação simbólica de coordenadas cartesianas.

 

Antes de começarmos a falar sobre gráficos, vamos dar uma relembrada no conceito de produto cartesiano?

Resumo: Sejam dois conjuntos A e B onde A = {1, 2, 3} e B = {- 2, -1, 0} o produto cartesiano A x B será dado por todas as relações entre os elementos de A (conjunto de partida) e os elementos de B (conjunto de chegada), expressas em pares ordenados, ou seja:

A X B = { (1,-2) ; (1,-1) ; (1,0) ; (2,-2) ; (2,-1) ; (2,0) ; (3,-2) ; (3,-1) ; (3,0) }

Podemos representar um produto cartesiano através de um axioma, ele é escrito dessa forma:

Onde o primeiro elemento do par ordenado (x,y) pertence ao conjunto A e o segundo elemento pertence ao conjunto B.

O estudo do produto cartesiano é a base para o estudo das funções, por isso é tão importante compreender o que significa.

Representação gráfica do produto cartesiano

O produto cartesiano leva esse nome porque foi imaginado e deduzido pelo filósofo e matemático René Descartes. Ele provou, ao observar uma mosca se movendo pelo ar, que a posição de um ponto (par ordenado) pode ser definida e determinada a partir de distâncias x e y de eixos perpendiculares fixos. Esses eixos perpendiculares são retas numéricas onde o primeiro elemento do par ordenado de qualquer ponto se encontra sob a reta x e o segundo elemento do par ordenado está sob a reta y.

Exemplo. Observe a imagem:

coordenada catesiana um ponto
Imagem: sistema de coordenadas cartesianas

Neste referencial cartesiano, denominamos que um número P é definido pelo par ordenado (3,2) onde o elemento 3 pertence ao eixo x e o elemento 2 pertence ao eixo y. O eixo x contém as abscissas e o eixo y contém as ordenadas do par ordenado indicado por (x, y), nesta ordem.

No exemplo, o ponto P (3,2) têm abcissa 3 e ordenada 2.

Quadrantes

Essa organização perpendicular dos eixos, dá origem a quatro quadrantes, onde os pontos cartesianos (x, y) obedecem a uma ordem:

quadrantes nas coordenadas cartesianas

– 1º quadrante, superior direita, (x, y);

– 2º quadrante, superior esquerda, (– x, y);

– 3º quadrante, inferior esquerda, (– x, – y);

– 4º quadrante, inferior direita, (x, – y).

Determinando posições de pares ordenados

Bem, agora que você já sabe que o eixo das abcissas contém o primeiro elemento x do par ordenado (x, y) e que o eixo das ordenadas contém o segundo elemento y, vamos usar o produto cartesiano do exemplo anterior para representar no gráfico, cada um dos pontos.

Vale lembrar que os elementos do conjunto de partida A = {1, 2, 3} são representados no eixo x e os elementos do conjunto de chegada B = {- 2, -1, 0} são representados no eixo y. Então, os pares ordenados do produto cartesiano

A X B = { (1,-2) ; (1,-1) ; (1,0) ; (2,-2) ; (2,-1) ; (2,0) ; (3,-2) ; (3,-1) ; (3,0) }

São apresentados no gráfico por:

representações no plano cartesiano

Vamos ver outro exemplo?

Exemplo 2: Sejam os conjuntos F = {-2, 2} e H = {-2, 2}. Apresente em um sistema de coordenadas cartesianas o produto cartesiano F x H.

Resolução:

Primeiramente, devemos escrever o produto cartesiano como um conjunto de pares ordenados. Então

F X H = { (-2,-2) ; (-2,2) ; (2,-2) ; (2,2) }

Inserindo os pares ordenados na forma de pontos em um gráfico temos:

pares ordenados

Já está no auge com o estudo das coordenadas cartesianas? Então, para finalizar, dá uma olhada nessas dicas do professor Ferreto para iniciar seus estudos em funções:

Viu como é fácil? Agora você está pronto para avançar nos estudos de gráfico, mas antes disso, vamos fazer uns exercícios?

Questão 01. Considerando K = { 1, 2, 3, 4 }, marque a opção cuja figura representa o produto cartesiano K x K .

Gab: A

Questão 02) Sejam . Quantos pares ordenados, cujas coordenadas são todas inteiras, existem no produto cartesiano A X B?

a) 12

b) 10

c) 9

d) 8

e) 6

Gab: A

 

Sobre o(a) autor(a):

Os textos e exemplos de apresentação desta aula foram preparados pela professora Andréia Zanchetti para o Blog do Enem. Andréia é formada em Matemática pelo IFRS e possui mestrado pela FURG.