Dízimas periódicas e não periódicas: simples e compostas

Você sabe o que são dízimas? E como fazemos os cálculos com elas? Vem com a gente aprender sobre o tema dízimas periódicas e dízimas não periódica no Curso Enem Gratuito.

Nesta aula, você vai entender que os números decimais podem se apresentar como dízimas. Além disso, compreenderá a diferença entre a dízima finita e a infinita e vai diferenciar as dízimas que fazem parte de conjuntos numéricos diferentes.

Essas dízimas podem ser denominadas de periódicas ou não periódicas. E, é claro, aprenderá como transformar Dízimas Periódicas Simples e Compostas em sua fração geratriz.

Vem com a gente revisar esses conceitos de Matemática Básica para não dar bobeira no Enem e nos Vestibulares!

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O que é uma dízima?

A palavra dízima vem do latim e significa “décima”. Na matemática, dízimas são números decimais. As dízimas podem ser:

  • Finitas: são números racionais que tem um fim. Exemplo: 2,46.
  • Infinitas: podem ser números racionais ou irracionais. Exemplo: 0,464646…

As dízimas infinitas podem ser classificadas como periódicas ou não periódicas:

a) Dizimas periódicas: são números decimais que pertencem ao conjunto dos números racionais.

Lembre-se de que número racional é todo o número que pode ser representado por uma razão (ou fração) entre dois números inteiros (com denominador diferente de zero), podendo apresentar ainda a forma decimal (casos em que não há resto).

b) Dízimas não periódicas pertencem ao conjunto dos números irracionais.

Números irracionais são números decimais infinitos e não periódicos, o que podemos concluir que não há um período. Por exemplo, o número Pi:

Dica do Curso Enem Gratuito: Quer aprofundar seus estudos? Indico esta aula do Blog do Enem sobre Transformação de Números Decimais para Frações.

Resumo para entender as dízimas

Confira agora com o professor Lucas Borghesan, do canal do Youtube do Curso Enem Gratuito as principais dicas sobre as Dízimas Periódicas.

A base para você dominar as dízimas periódicas começa com a transformação dos números decimais em frações, e vice-versa. Confira com o professor Lucas aí acima.

Entendendo as dízimas periódicas

Outra coisa importante que precisamos lembrar sobre as dízimas periódicas é que elas são números formados por infinitos algarismos que se repetem periodicamente. E o número que se repete é chamado de período.

As dízimas periódicas são classificadas em simples ou compostas.

Observe os exemplos de dízimas periódicas simples:

a) 1, 44444O período da dízima é 4.

b) 0,565656 – O período é 56.

Note que para reconhecermos o período, basta olharmos para o número que se encontra logo após a vírgula.

As Dízimas Compostas têm entre o período e a vírgula,  uma parte não-periódica.

Veja os exemplos a seguir:

a) 3,422222 – Note que após a vírgula temos o número 4 e, em seguida, o número 2 se repete várias vezes. Sendo assim, neste exemplo, o período é 2 e a parte não-periódica é 4.

b) 0, 256666 – Neste outro exemplo, o período é 6 e a parte não-periódica é 25.

Geratriz de uma dízima periódica

A geratriz é uma fração que originou a dízima periódica. Veja como encontrar a fração geratriz dos diferentes tipos de dízimas periódicas:

  • Fração geratriz de uma dízima periódica simples:

Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica simples, basta escrever a fração com numerador igual ao período e o denominador 9.

Exemplo: Transforme a Dízima Periódica Simples em uma fração Geratriz:

a) 0, 22222… =

O período da Dízima Periódica Simples é 2 então a fração geratriz é 2/9.

b) 0,151515151515…=

O período da Dízima Periódica Simples é 5, logo a fração Geratriz é 15/99.

Veja que o número de “números 9” no denominador é igual ao número de algarismos do período.

  • Fração geratriz de uma dízima periódica simples com período não-inteiro:

Quando a dízima apresentar um período não-inteiro, devemos separá-la em duas partes: inteira e decimal, somadas. Depois, transformamos a parte decimal em fração Geratriz de uma Dízima Periódica Simples e aplicamos a soma de fração para encontrar a solução final:

Exemplo: 1,4545 =

a) separamos em duas partes: inteira e decimal, somadas:

1 + 0,4545 =

b) Transformamos a parte decimal em fração Geratriz de uma Dizima Periódica Simples:

1 + 45/99  =

c) Somamos usando o M.M.C:

(99 + 45)/99 = 144/99

Encontramos a fração geratriz.

Dica: Revise diferentes maneiras de encontrar o Mínimo Múltiplo Comum para acelerar a resolução de exercícios no Enem e nos vestibulares. Veja este resumo da professora Wânia para o Curso Enem Gratuito.

III. Fração Geratriz de uma Dízima Periódica Composta:

As dízimas compostas são convertidas em fração através de um método prático que forma a fração. Veja o passo-a-passo:

a) Para cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9 no denominador.

b) Para cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também no denominador.

Atenção! O antiperíodo é formado pelos algarismos antes do período.

c) Calcule o denominador do seguinte modo:

Observe o exemplo: Determine a fração Geratriz da Dízima Periódica Composta:

a)

O período da Dízima Periódica Composta é 5 e o antiperíodo é 3.

Sendo assim, a fração geratriz é 32/90.

b)

O período da Dízima Periódica Composta é 2 e o antiperíodo é 25.

Dessa maneira, a fração geratriz é 227/90.

E aí, conseguiu aprender tudo sobre dízima periódica? Beleza! Assista ao vídeo do nosso canal para aprender de uma outra forma, com o professor Sérgio Sarkis, como resolver as questões com dízimas periódicas!

Resumindo

  • Você aprendeu que as dízimas podem ser classificadas em finitas e em infinitas.
  • Também podem ser periódicas que fazem parte do conjunto dos números racionais e as não-periódicas estão no conjunto dos números Irracionais.
  • As dízimas periódicas podem ser simples ou compostas e podemos determinar sua fração geratriz.

Agora, para ver se você aprendeu tudo o que vimos aqui, resolva as questões que selecionei para você:

  1. (ENEM) Um estudante se cadastrou numa rede social na internet que exibe o índice de popularidade do usuário. Esse índice é a razão entre o número de admiradores do usuário e o número de pessoas que visitam seu perfil na rede. Ao acessar seu perfil hoje, o estudante descobriu que seu índice de popularidade é 0,3121212…

O índice revela que as quantidades relativas de admiradores do estudante e pessoas que visitam seu perfil são

A) 103 em cada 330.

B) 104 em cada 333.

C) 104 em cada 3 333.

D) 139 em cada 330.

E) 1 039 em cada 3 330.

  1. (UFAC) Sejam x e y dois números reais. Sendo x = 2,333… e y = 0,1212…, dízimas periódicas. A soma das frações geratrizes de x e y é:

A) 7/3.

B) 4/33.

C) 27/11.

D) 27/33.

E) 27/3.

  1. (PUC – RJ) A soma 1,3333… + 0,1666666… é igual a:

A) 1/2

B) 5/2

C) 4/3

D) 5/3

E) 3/2

Gabarito: 1 – A, 2 – C, 3 – E.

Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é Psicopedagoga com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atuou na rede particular, estadual e municipal por 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades públicas e privadas na área de Matemática, Metodologia de Ensino de Matemática e Psicopedagogia. Atualmente trabalha na área de Projetos de Tecnologias Digitais de Informação e Comunicação (TDICs). LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.

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