Dízimas Periódicas e Não Periódicas

Você sabe o que são dízimas? E como fazemos os cálculos com elas? Vem com a gente aprender sobre o tema dízimas periódicas e dízimas não periódica no Curso Enem Gratuito.

Nesta aula, você vai entender que os números decimais podem se apresentar como dízimas. Além disso, compreenderá a diferença entre a dízima finita e a infinita e vai diferenciar as dízimas que fazem parte de conjuntos numéricos diferentes. Essas dízimas podem ser denominadas de periódicas ou não periódicas. E, é claro, aprenderá como transformar Dízimas Periódicas Simples e Compostas em sua fração geratriz. Vem com a gente revisar esses conceitos de Matemática Básica para não dar bobeira no Enem e nos Vestibulares!

O que é uma dízima?

A palavra dízima vem do latim e significa “décima”. Na matemática, dízimas são números decimais. As dízimas podem ser:

  • Finitas: são números racionais que tem um fim. Exemplo: 2,46.
  • Infinitas: podem ser números racionais ou irracionais. Exemplo: 0,464646…

As dízimas infinitas podem ser classificadas como periódicas ou não periódicas:

a) Dizimas periódicas: são números decimais que pertencem ao conjunto dos números racionais.

Lembre-se de que número racional é todo o número que pode ser representado por uma razão (ou fração) entre dois números inteiros (com denominador diferente de zero), podendo apresentar ainda a forma decimal (casos em que não há resto).

b) Dízimas não periódicas pertencem ao conjunto dos números irracionais.

Números irracionais são números decimais infinitos e não periódicos, o que podemos concluir que não há um período.

Por exemplo, o número Pi:

Dica: Quer aprofundar seus estudos? Indico esta aula do Blog do Enem sobre Transformação de Números Decimais para Frações.

Entendendo as dízimas periódicas

Outra coisa importante que precisamos lembrar sobre as dízimas periódicas é que elas são números formados por infinitos algarismos que se repetem periodicamente. E o número que se repete é chamado de período.

As Dízimas Periódicas são classificadas em Simples ou Compostas.

Observe os exemplos de Dízimas Periódicas Simples:

a) 1, 44444O período da dízima é 4.

b) 0,565656 – O período é 56.

Note que para reconhecermos o período, basta olharmos para o número que se encontra logo após a vírgula.

As Dízimas Compostas têm entre o período e a vírgula,  uma parte não-periódica.

Veja os exemplos a seguir:

a) 3,422222 – Note que após a vírgula temos o número 4 e, em seguida, o número 2 se repete várias vezes. Sendo assim, neste exemplo, o período é 2 e a parte não-periódica é 4.

b) 0, 256666 – Neste outro exemplo, o período é 6 e a parte não-periódica é 25.

Geratriz de uma dízima periódica

A geratriz é uma fração que originou a Dízima Periódica. Veja como encontrar a fração geratriz dos diferentes tipos de dízimas periódicas:

  • Fração geratriz de uma dízima periódica simples:

Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica simples, basta escrever a fração com numerador igual ao período e o denominador 9.

Exemplo: Transforme a Dízima Periódica Simples em uma fração Geratriz:

a) 0, 22222… =

O período da Dízima Periódica Simples é 2 então a fração geratriz é 2/9.

b) 0,151515151515…=

O período da Dízima Periódica Simples é 5, logo a fração Geratriz é 15/99.

Veja que o número de “números 9” no denominador é igual ao número de algarismos do período.

  • Fração geratriz de uma dízima periódica simples com período não-inteiro:

Quando a dízima apresentar um período não-inteiro, devemos separá-la em duas partes: inteira e decimal, somadas. Depois, transformamos a parte decimal em fração Geratriz de uma Dízima Periódica Simples e aplicamos a soma de fração para encontrar a solução final:

Exemplo: 1,4545 =

a) separamos em duas partes: inteira e decimal, somadas:

1 + 0,4545 =

b) Transformamos a parte decimal em fração Geratriz de uma Dizima Periódica Simples:

1 + 45/99  =

c) Somamos usando o M.M.C:

(99 + 45)/99 = 144/99

Encontramos a fração geratriz.

Dica: Revise diferentes maneiras de encontrar o Mínimo Múltiplo Comum para acelerar a resolução de exercícios no Enem e nos vestibulares. Veja este resumo da professora Wânia para o Curso Enem Gratuito.

III. Fração Geratriz de uma Dízima Periódica Composta:

As dízimas compostas são convertidas em fração através de um método prático que forma a fração. Veja o passo-a-passo:

a) Para cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9 no denominador.

b) Para cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também no denominador.

Atenção! O antiperíodo é formado pelos algarismos antes do período.

c) Calcule o denominador do seguinte modo:

Observe o exemplo: Determine a fração Geratriz da Dízima Periódica Composta:

a)

O período da Dízima Periódica Composta é 5 e o antiperíodo é 3.

Sendo assim, a fração geratriz é 32/90.

b)

O período da Dízima Periódica Composta é 2 e o antiperíodo é 25.

Dessa maneira, a fração geratriz é 227/90.

E aí, conseguiu aprender tudo sobre dízima periódica? Beleza! Quer aprender mais? Então, assista o Vídeo de nosso colega Rafael Procópio sobre DIZIMA PERIODICA E FRAÇÃO GERATRIZ:


Resumindo

  • Você aprendeu que as dízimas podem ser classificadas em finitas e em infinitas.
  • Também podem ser periódicas que fazem parte do conjunto dos números racionais e as não-periódicas estão no conjunto dos números Irracionais.
  • As dízimas periódicas podem ser simples ou compostas e podemos determinar sua fração geratriz.

Agora, para ver se você aprendeu tudo o que vimos aqui, resolva as questões que selecionei para você:

  1. (ENEM) Um estudante se cadastrou numa rede social na internet que exibe o índice de popularidade do usuário. Esse índice é a razão entre o número de admiradores do usuário e o número de pessoas que visitam seu perfil na rede. Ao acessar seu perfil hoje, o estudante descobriu que seu índice de popularidade é 0,3121212…

O índice revela que as quantidades relativas de admiradores do estudante e pessoas que visitam seu perfil são

A) 103 em cada 330.

B) 104 em cada 333.

C) 104 em cada 3 333.

D) 139 em cada 330.

E) 1 039 em cada 3 330.

  1. (UFAC) Sejam x e y dois números reais. Sendo x = 2,333… e y = 0,1212…, dízimas periódicas. A soma das frações geratrizes de x e y é:

A) 7/3.

B) 4/33.

C) 27/11.

D) 27/33.

E) 27/3.

  1. (PUC – RJ) A soma 1,3333… + 0,1666666… é igual a:

A) 1/2

B) 5/2

C) 4/3

D) 5/3

E) 3/2

 

Gabarito: 1 – A, 2 – C, 3 – E.

Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é especialista em Psicopedagogia Institucional com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atua na rede particular, estadual e municipal há 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades privadas na área de Matemática e Metodologia de Ensino de Matemática. Facebook: www.facebook.com/WMariaAP. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.