Equação exponencial: veja o que é e como resolver exercícios

A primeira coisa que você precisa saber nesta aula é que a capacidade de compreender os métodos que envolvem resoluções de uma equação exponencial é uma forma de garantir a resolução de questões mais difíceis nas provas do Enem e vestibulares.

Isso porque determinados assuntos, como equações e funções, são muito cobrados, tanto em questões de Matemática como em Ciências da Natureza, e até em Geografia.

Sendo assim, para turbinar seus estudos, preparamos esta aula de matemática. Nela você irá acompanhar a resolução de equações exponenciais usando propriedades das potências. Além disso, vai revisar o significado de termos que formam a linguagem matemática no nosso glossário matemático.

O que são equações?

Primeiramente, você precisa saber que equações são expressões algébricas em que encontramos termos numéricos, letras e um sinal de igualdade. Ou seja, uma equação tem que ter um sinal de igual entre seus membros.

Além disso, toda equação tem uma característica própria como:

• A equação de 1º grau tem o expoente 1 na sua incógnita.
• Enquanto isso, a equação de 2º grau tem grau 2, isto é, o termo com maior grau tem expoente 2.
• Por fim, a equação exponencial tem uma incógnita em pelo menos um de seus termos como expoente.

Veja só: nas equações exponenciais o expoente é uma letra ou expressão algébrica! Portanto, a presença de uma letra x, y ou qualquer outra indica que você não sabe seu valor numérico e terá que calculá-lo.

Introdução às equações

Veja agora como professor Sérgio Sarkis, do canal do Curso Enem gratuito, uma introdução básica sobre as equações. E, depois você terá umja aula exclusiva sobre como resolver as equações exponenciais. Uma coisa de cada vez. Bora lá.

As dicas para você entender os termos das equações:

Para que você não se perca em seus estudos, em seguida vamos dar significado aos termos importantes usados até aqui em nosso glossário matemático:

• Expressão algébrica: fórmula que contém letras e números.
• Grau de uma equação: é o número dado pela soma ou maior expoente.
• Expoente: número que indica quantas vezes uma base deve multiplicada por ele mesmo.
• Base: número ou letra que está elevado a um expoente.

O que é equação exponencial

Você já viu ou não lembra o que é uma equação exponencial? Quem sabe com alguns exemplos fica mais fácil, não é mesmo?

5^a = 125

7^(x+1) = 245

Entendeu onde ficam as letras agora? Estão no expoente. Dessa forma, para resolver esse tipo de equação, temos que conhecer algumas propriedades da potenciação.

Introdução às Equações Exponenciais

Agora chegou a vez de ir mais fundo, e entrar nas Equações Exponenciais para abrir o seu caminho nas provas de Matemática do Enem e outros exames como os Vestibulares e o Encceja. Veja uma resolução de problema com Equação Exponencial.

Viu só como dá pra você ir aprendendo? Veja agora a Potenciação.

Propriedades da potenciação

Produto de potências de mesma base

Conservamos a base e somamos os expoentes.

xⁿ . x^m = x^n+m

5³ . 5² = 5⁵

Quociente de potências de mesma base

Conservamos a base e diminuímos os expoentes.

Base com expoente negativo

O expoente negativo indica que temos que inverter a base.

Lembramos que o expoente -1 indica sempre o inverso da base.

Se tivermos um expoente negativo diferente de -1, temos que calcular a potência. Por exemplo:

Nesse exemplo, a gente primeiro inverte a base 7 pelo sinal negativo do expoente. O expoente permanece com mesmo valor numérico, no entanto, seu sinal fica positivo.

Só depois da inversão da base é que a elevamos ao quadrado, isto é, multiplicamos um sétimo por um sétimo.

Base elevada ao expoente zero

Nesse caso, qualquer que seja o valor da base, a potência é igual a 1.

Exemplos: 49⁰ = 1 e x⁰= 1

Base elevada ao expoente 1

Por fim, o resultado da potência elevada ao expoente 1 é sempre o valor da base, como, 1000000¹ = 1000000 e 0¹ = 0.

Como já revisamos as principais propriedades da potenciação, podemos prosseguir na resolução das equações exponenciais.

Resolução de equação exponencial

Em seguida, utilizaremos uma questão de alternativas para demostrar a resolução de uma equação exponencial:

(Autora, 2020) A solução da equação (0,5^x) = 4^(1-3x) é:

1. A) 0
2. B) 0,4
3. C) 0,5
4. D) 0,6
5. E) 0,7

Resolução:

1- Primeiramente, precisamos que as bases sejam iguais para aplicarmos as propriedades da potenciação. Então, devemos reescrever novamente a equação como o que sabemos:

0,5 = ½

4 = 2²

Em seguida, precisamos substituir na equação esses dados:

(0,5^x) = 4^(1-3x)

2-  Então, analisamos quais as propriedades da potenciação estão aplicadas nessa expressão:

E, em seguida, substituímos na equação:

(2)^-x = 2².^(1-3x)

Note que sempre multiplicamos os expoentes pelos expoentes já existentes.

Uma dica aqui: por ser uma igualdade é que simplificamos as bases e só trabalhamos na solução com os expoentes.

(2)^-x = 2².^(1-3x)

-x = 2 . (1 – 3x)

Em seguida, no segundo membro da equação, multiplicamos por 2 todos os termos entre parênteses:

-x = 2 – 6x

Por fim, resolvemos como uma equação simples de 1º grau:

-x + 6x = 2

5x = 2

x = 2/5

A solução de uma equação exponencial é o valor numérico da variável. Mas, analisando as alternativas, percebemos que não temos frações. Então, dividimos o numerador pelo denominador da fração e chegamos ao valor 0,4. Portanto, a alternativa correta é a letra B.

Resumo de Potenciação

Confira com o professor Sarkis as dicas para você resolver os problemas de Potência de Base 10, gabaritar geral nas provas.

Equação exponencial resolvida

Outro tipo de questão que aparece por aí nas provas de vestibulares e Enem sobre equação exponencial é essa em seguida.

(Enem/2016) O governo de uma cidade está preocupado com a possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população:

p(t) = 40 . 2^3t

em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em milhares de bactérias. Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 minutos, a população será: A) reduzida a um terço.

B) reduzida à metade.

C) reduzida a dois terços.

D) duplicada.

E) triplicada.

Resolução:

Nessa questão, temos uma equação exponencial a resolver de modo diferenciado. Nesse caso é o cálculo do valor numérico e precisamos substituir o tempo de 20 minutos na equação. Mas, para isso, temos que converter esses 20 minutos em horas.

Lembre que de minutos para horas sempre dividimos por 60.

Em seguida, substituímos na fórmula dada:

Esse resultado indica 80000, o dobro da quantidade inicial que era 40000. Portanto, a alternativa correta é a D.

Existem ainda muitos outros tipos de equações exponenciais. Por isso, uma dica legal é estudar com materiais da OBMEP que são gratuitos e bem aprofundados.

 

Exercícios de Equação Exponencial

1) (Autora – 2020)

A solução da equação 4^x+3 = 16^x  é:

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

2) (UFAL – Adaptada)

A população P(t) de uma metrópole, em milhões de habitantes, é dada por P(t) = 5.2ct, com t sendo o número de anos, contados a partir de 2000 (ou seja, t = 0 corresponde ao ano 2000) e c uma constante real. Se a população da metrópole em 2008 é de 10 milhões de habitantes, qual o valor de c?

A) – 2.

B) – 1/ 2.

C) 0.

D) + 1/8.

E) + 2/ 5.

3) (CFTMG 2013)

O produto das raízes da equação exponencial 3 . 9^x – 10 . 3^x + 3 = 0 é igual a:

A) – 2.

B) – 1.

C)

D) + 1.

E) + 2.

Gabarito: 

1. D
2. D
3. B

Referências Bibliográficas:

PAIVA, Manoel. Matemática. 2 ed. volume único. São Paulo: Moderna, 2006.

Portal do Saber OBMEP; < https://portaldosaber.obmep.org.br/>.

SOUZA, Joamir. Novo Olhar Matemática. Volume 1. São Paulo: FTD, 2010.

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