Equação exponencial: o que é e como resolver exercícios

Equação exponencial é uma expressão algébrica que possui uma incógnita em pelo menos um de seus termos como expoente. Veja como resolver!

A primeira coisa que você precisa saber nesta aula é que a capacidade de compreender os métodos que envolvem resoluções de uma equação exponencial é uma forma de garantir a resolução de questões mais difíceis nas provas do Enem e vestibulares.

Determinados assuntos, como equações e funções, são muito cobrados, tanto em questões de Matemática como em Ciências da Natureza, e até em Geografia.

Sendo assim, para turbinar seus estudos, preparamos esta aula de matemática. Nela você irá acompanhar a resolução de equações exponenciais usando propriedades das potências. Além, é claro, de revisar o significado de termos que formam a linguagem matemática no nosso glossário matemático.

O que são equações?

Equações são expressões algébricas em que encontramos termos numéricos, letras e um sinal de igualdade. Ou seja, uma equação tem que ter um sinal de igual entre seus membros.

Além disso, toda equação tem uma característica própria como:

  • A equação de 1º grau tem o expoente 1 na sua incógnita.
  • Enquanto isso, a equação de 2º grau tem grau 2, isto é, o termo com maior grau tem expoente 2.
  • Por fim, a equação exponencial tem uma incógnita em pelo menos um de seus termos como expoente.

Veja só: nas equações exponenciais o expoente é uma letra ou expressão algébrica! Tem uma letra x, y ou qualquer outra que indica que você não sabe seu valor numérico e terá que calcular.

Para que você não se perca em seus estudos, vamos dar significado aos termos importantes usados até aqui em nosso glossário matemático:

Expressão algébrica: fórmula que contém letras e números.

Grau de uma equação: é o número dado pela soma ou maior expoente.

Expoente: número que indica quantas vezes uma base deve multiplicada por ele mesmo.

Base: número ou letra que está elevado a um expoente.

O que é equação exponencial

Você já viu ou não lembra o que é uma equação exponencial? Quem sabe com alguns exemplos fica mais fácil, não é mesmo?

5a = 125

7(x+1) = 245

Entendeu onde ficam as letras agora? Estão no expoente.

Para a gente resolver esse tipo de equação, temos que conhecer algumas propriedades da potenciação.

Propriedades da potenciação

Produto de potências de mesma base

Conservamos a base e somamos os expoentes.

xn . xm = xn+m

5³ . 5² = 55

Quociente de potências de mesma base

Conservamos a base e diminuímos os expoentes.

Propriedades de potenciação

Base com expoente negativo

O expoente negativo indica que temos que inverter a base.

Lembramos que o expoente -1 indica sempre o inverso da base.

Se tivermos um expoente negativo diferente de -1, temos que calcular a potência. Veja o seguinte exemplo:

Nesse exemplo, a gente primeiro inverte a base 7 pelo sinal negativo do expoente. O expoente permanece com mesmo valor numérico, no entanto, seu sinal fica positivo.

Só depois da inversão da base é que a elevamos ao quadrado, isto é, multiplicamos um sétimo por um sétimo.

Base elevada ao expoente zero

Nesse caso, qualquer que seja o valor da base, a potência é igual a 1.

Exemplos: 490 = 1 e x0= 1

Base elevada ao expoente 1

O resultado da potência é sempre o valor da base, como, 1000000¹ = 1000000 e 0¹ = 0.

Agora que já revisamos as principais propriedades da potenciação, podemos prosseguir na resolução das equações exponenciais.

Como resolver uma equação exponencial

Utilizaremos uma questão de alternativas para demostrar a resolução de uma equação exponencial:

(Autora, 2020) A solução da equação (0,5x) = 4(1-3x) é:

  1. A) 0
  2. B) 0,4
  3. C) 0,5
  4. D) 0,6
  5. E) 0,7
Resolução:

1- Precisamos que as bases sejam iguais para aplicarmos as propriedades da potenciação. Então, devemos reescrever novamente a equação como o que sabemos:

0,5 = ½

4 = 2²

Em seguida, precisamos substituir na equação esses dados:

(0,5x) = 4(1-3x)

Equação exponencial

2- Analisar quais as propriedades da potenciação estão aplicadas nessa expressão:

E, em seguida, substituir na equação:

(2)-x = 2².(1-3x)

Note que sempre multiplicamos os expoentes pelos expoentes já existentes.

Uma dica aqui: por ser uma igualdade é que simplificamos as bases e só trabalhamos na solução com os expoentes:

(2)-x = 2².(1-3x)

-x = 2 . (1 – 3x)

No segundo membro da equação, multiplicamos por 2 todos os termos entre parênteses:

-x = 2 – 6x

E resolvemos como uma equação simples de 1º grau:

-x + 6x = 2

5x = 2

x = 2/5

A solução de uma equação exponencial é o valor numérico da variável. Analisando as alternativas percebemos que não temos frações. Então, dividimos o numerador pelo denominador da fração e chegamos ao valor 0,4. Portanto, a alternativa correta é a letra B.

Equação exponencial resolvida

Outro tipo de questão que aparece por aí nas provas de vestibulares e Enem sobre equação exponencial é essa em seguida.

(Enem/2016) O governo de uma cidade está preocupado com a possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população:

p(t) = 40 . 23t

em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em milhares de bactérias. Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 minutos, a população será: A) reduzida a um terço.

B) reduzida à metade.

C) reduzida a dois terços.

D) duplicada.

E) triplicada.

Resolução:

Nessa questão, temos uma equação exponencial a resolver de modo diferenciado. Nesse caso é o cálculo do valor numérico e precisamos substituir o tempo de 20 minutos na equação. Mas, para isso, temos que converter esses 20 minutos em horas.

Equação exponencial

Lembre que de minutos para horas sempre dividimos por 60.

Substituindo na fórmula dada:

Equação exponencial

Esse resultado indica 80000. Perceba que esse resultado é o dobro da quantidade inicial que era 40000, logo a alternativa correta é a D.

Existem ainda muitos outros tipos de equações exponenciais. Uma dica legal é estudar com materiais da OBMEP que são gratuitos e bem aprofundados.

Videoaula

Quer assistir a uma videoaula para complementar seus estudos? Assista ao vídeo do professor Sandro do Portal do Saber:

Exercícios

1) (Autora – 2020)

A solução da equação 4x+3 = 16x  é:

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

2) (UFAL – Adaptada)

A população P(t) de uma metrópole, em milhões de habitantes, é dada por P(t) = 5.2ct, com t sendo o número de anos, contados a partir de 2000 (ou seja, t = 0 corresponde ao ano 2000) e c uma constante real. Se a população da metrópole em 2008 é de 10 milhões de habitantes, qual o valor de c?

A) – 2.

B) – 1/ 2.

C) 0.

D) + 1/8.

E) + 2/ 5.

3) (CFTMG 2013)

O produto das raízes da equação exponencial 3 . 9x – 10 . 3x + 3 = 0 é igual a:

A) – 2.

B) – 1.

C)

D) + 1.

E) + 2.

Gabarito: 

  1. D
  2. D
  3. B

Referências Bibliográficas:

PAIVA, Manoel. Matemática. 2 ed. volume único. São Paulo: Moderna, 2006.

Portal do Saber OBMEP; < https://portaldosaber.obmep.org.br/>.

SOUZA, Joamir. Novo Olhar Matemática. Volume 1. São Paulo: FTD, 2010.

Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é especialista em Psicopedagogia Institucional com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atua na rede particular, estadual e municipal há 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades privadas na área de Matemática e Metodologia de Ensino de Matemática. Facebook: www.facebook.com/WMariaAP. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.