Função modular e módulo

Com essa aula sobre módulo e função modular você vai chegar com tudo na prova do Enem e dos vestibulares! Aproveite este momento para tirar todas suas dúvidas sobre construção de gráficos. Vem com a gente!

Você já deve ter reparado que toda a vez que você resolve uma equação e o enunciado se trata de uma medida de comprimento, o resultado que você obtém precisa ser positivo. Além disso, em casos em que temos dois resultados, como em uma fórmula de Bhaskara, ao se tratar de distâncias “escolhemos” apenas o resultado positivo. Você sabe por que isso acontece? Simplesmente porque uma distância nunca pode ser negativa. Imagine você andando por 300 metros: existe a possibilidade de andar 300 metros negativos? É para expressar esse conceito de distância negativa que surgiram o módulo e a função modular.

Módulo 

O módulo de um número real surgiu da necessidade de medir a distância de um número negativo até o zero. Mas, na verdade, a definição do módulo é que expressa o conceito de distância. Matematicamente falando, o módulo é a distância de um determinado número da reta real (independente se for negativo ou positivo) até o zero. Sendo assim, o módulo de um número real sempre será positivo, pois a distância sempre será positiva.

Como um exemplo, a distância de – 3 até o 0 é 3 u.c.:

função modular

Então:

|- 3 | = 3

Da mesma forma, a distância de 5 até 0 é 5 u.c.

função modular

Então:

| 5 | = 5

Por definição, podemos dizer que:

|x| = x, se x ≥ 0 (positivo)

-x, se x < 0 (negativo)

 

Para entendermos melhor, vamos ver exemplos: 

Exemplo: Calcule o valor de x na equação |2x – 1| = 9
Para que os dois lados da equação sejam equivalentes, significa que o que está dentro do módulo deve ser igual a 9 ou igual a – 9. Dessa forma:

2x – 1 = 9        ou         2x – 1 = – 9
2x = 9 + 1                    2x = – 9 +1
2x = 10                        2x = – 8
x = 5                            x = -4

Isso quer dizer que tanto para x = 5 quanto para x = – 4, a equação  |2x – 1| = 9 é verdadeira. O conjunto solução se apresenta da forma:

S = { -4, 5 }

Exemplo 2:

Quais são as possíveis soluções da equação | 5x-6 | = x² ?

Segundo a definição: temos que 5x – 6 = x² ou 5x-6 = -x². Resolvendo cada uma das equações:

f5x – 6 = x²

x² – 5x + 6 = 0

S = -5 , P = 6

(x-2)(x-3) = 0

x = 2 ou x = 3

 

5x – 6 = -x²

x² + 5x – 6 = 0

S = 5, P = -6

(x+6)(x-1) = 0

x = -6 ou x = 1

Assim, teremos quatro soluções, S = { – 6 , 1, 2, 3 }

Função Modular

Uma função qualquer pode ser definida por duas ou mais sentenças. Isso vale também para a função modular, ela apresenta a característica do valor absoluto. Para definir uma função modular basta levar em consideração que para cada valor escolhido de x existirá uma f(x) = |x| onde:

função modular

Então, para a função modular, temos duas possibilidades: quando a função está positiva ela permanece positiva, e quando a função que está no módulo for negativa, inverte-se o sinal da função.

Isso significa que, no gráfico, para todos os valores negativos de x a função que está em módulo não assumirá valores de y. Ou seja, não assume valores na Imagem porque o domínio não está definido. Vejamos como fica a simples função do enunciado representada graficamente:

função modular

Atribuindo valores para x, encontramos o valor correspondente á f(x):

x f(x) = y
-2 – ( – 2)
-1 – ( – 1)
0 0
1 1
2 2

 

Substituindo os valores no plano cartesiano:

função modular

Perceba que, como não é possível obter valores negativos para a imagem, o gráfico não avança para valores negativos de y. Mas, cuidado! Nem toda função que apresenta módulo em sua composição será dessa forma! Afinal, só o que está dentro do módulo deixa de assumir valores negativos, o que está fora do módulo ainda pode assumir. Entenda isso com o exemplo abaixo:

Exemplo: Vamos determinar o gráfico de f(x) = |x +1| – 2.

S: para solucionar questões como essa devemos seguir alguns passos. Primeiro fazemos o estudo do sinal da função que está dentro do módulo, encontrando a raiz. Então

x + 1 = 0
x = -1

função modular

Assim, para todos os valores de a função f(x) = |x +1| – 2 pode ser reescrita como:

f(x) = x + 1 – 2
f(x) = x -1
(os valores de dentro do módulo mantiveram seu sinal)

Já para os valores de  a função f(x) = |x +1| – 2 se transforma em:

f(x) = – ( x+1) -2

f(x) = – x -1 – 2
f(x) = – x – 3

Escrevendo a função definida por duas sentenças, a fim de organização, tem-se:

função modular

Para o gráfico da função modular, fazemos da mesma forma, atribuindo valores para x e encontrando seu correspondente em y.

x f(x) = y
-2 -1
-1 -2
0 -1
1 0
2 1

 

Atribuindo os valores ao plano cartesiano:

função modular

Perceba como o gráfico possui valores negativos para a imagem, mesmo possuindo módulo na função, isso se dá pelo fato de o – 2 em  f(x) = |x +1| – 2 indicar que o gráfico inteiro se desloca duas unidades para baixo do eixo x.

 

Agora, eu selecionei esse compilado de vídeos em sequência para você. Assista a essas aulas sobre função modular do professor Ferreto para compreender ainda mais todos os conceitos!

Exercícios

Questão 01)    

Sabendo que o gráfico a seguir representa a função real f(x) = |x – 2| + |x + 3|, então o valor de a + b + c é igual a

função modular

a)  –7.

b)  –6.

c) 4.

d) 6.

e) 10.

 

Questão 02)    

Considere a função y = f(x) representada no sistema de coordenadas cartesianas abaixo.

função modular

O gráfico que pode representar a função  é

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Questão 03)    

Na figura a seguir, é apresentado o gráfico de uma função f, de R em R

A função f é dada por

 

 

 

 

 

 

 

 

Questão 04)    

O conjunto de todos os valores de x pertencentes aos números reais, para os quais , é

 

 

 

 

 

 

 

 

 

01) Gab: C

02) Gab: B

03) Gab: A

04) Gab: B

Sobre o(a) autor(a):

Os textos e exemplos de apresentação desta aula foram preparados pela professora Andréia Zanchetti para o Blog do Enem. Andréia é formada em Matemática pelo IFRS e possui mestrado pela FURG.