Função exponencial

Veja o que é uma função exponencial e quais são as suas características. Estude Matemática para o Exame Nacional do Ensino Médio com o Curso Enem Gratuito.

A função exponencial pode aparecer nas questões de várias disciplinas na prova do Enem. Ela surge, por exemplo, nos estudos de tratamento da informação (como crescimento e decréscimo populacional), nos decaimentos radioativos, crescimento de populações bacterianas e em seus controles entre tantos outros estudos fascinantes.

Na economia, os gráficos de funções exponenciais aparecem a todo instante.

função exponencial - gráfico
Gráfico mostrando um estudo do crescimento populacional X tempo

A função exponencial nos dá informações e a possibilidade de interpretar eventos importantes. Com esses dados, por exemplo, podemos prever e prevenir danos colaterais como uma superpopulação de bactérias em um ser humano doente.

Com isso, posso te afirmar que é muito importante entender como interpretar esse tipo de função e seus respectivos gráficos.

Vamos lá?

Dizemos que uma função exponencial é escrita na seguinte forma:

função exponencial - f (x) = a elevado a x

Onde os símbolos representam:

f(x) : função
a: número Real, positivo (a>0) e diferente de 1.
x: variável independente, sendo um número Real.

E por isso tem as seguintes características:

  • a > 0 se a fosse igual a zero teríamos uma função
  •  e para x = 0 , a função  tem um valor indeterminado. E não chegamos a lugar algum.
  • a ≠0 se a for igual a zero , não temos mais uma função exponencial. Ela seria uma função constante. Veja:  Para qualquer valor de x a função terá sempre o valor zero, menos quando x = 0, que é indeterminado como vimos.

O Domínio e a Imagem dessa função são definidas como:

( números Reais positivos e diferentes de zero).

Veja alguns exemplos de função exponencial:

função exponencial

No plano cartesiano o gráfico a função exponencial nos dá um gráfico com uma Curva Exponencial.

Uma função exponencial muito utilizada é aquele que a assume o valor neperiano, número representado pela letra e.

Seu valor é dado por uma dízima não periódica que é:
e = 2,718281828459…

Esse número foi descoberto por John Napier ao inventar os logaritmos em 1614. Mas, quem deu o símbolo a esse número foi Euler em 1739.

Essa função exponencial é denominada função natural e toma a forma:

função exponencial sendo 

função exponencial - função natural
Fonte: Wikimedia

A função exponencial tem alguma características em relação a seu comportamento e em relação ao seu crescimento/decrescimento:

A função exponencial em relação a seu comportamento:

  • a > 0: acima do eixo x.
  • a > 1: a função tende a zero quando x se aproxima de valores negativos.
  • a > 0 e a ≠1: os pontos 
  • 0 < a < 1: a função tende a zero quando x assume valores positivos.
  • x = 0: então 

Isso quer dizer que a curva corta o eixo y no ponto P(0,1)

Toda a função exponencial pode ser classificada em relação ao seu crescimento / decrescimento como:

  • Crescente: quando a > 1.

função exponencial - gráfico crescente
Neste gráfico, a curva se aproxima do zero quando x assume valores negativos.

  • Decrescente: quando 0 < a < 1.

função exponencial - gráfico decrescente

Perceba que a curva do gráfico tende a zero para valores de x positivos.

Uma função importante de ser estudada é a logarítmica, essa função é a inversa da função exponencial. E no Enem e nos vestibulares muitas questões envolvem os dois assuntos.

Bom, agora é hora de um exemplo resolvido sobre esse tema tão importante, não é mesmo?

(PUCC-SP) Numa certa cidade, o número de habitantes, num raio de r m a partir do seu centro é dado por  em que k é constante e r > 0. Se há 98 304 habitantes num raio de 5 km do centro, quantos habitantes há num raio de 3 km do centro?

Solução:

Sabemos do enunciado do problema que
P(r) = 98 304 habitantes.
r = 5 km

Esses valores deverão ser substituídos na função dada, onde o asterisco simboliza uma multiplicação:

Vamos calcular a constante k:

Na etapa acima, devemos elevar a base 2 à 15ª potência, que é igual a 32 768.
98 304 = k * 32 768
k = 3 (

O objetivo da resolução é o cálculo do número de habitantes num raio de 3 km, então usamos a mesma função só que substituímos r por 3:

Multiplicamos os expoentes:

Elevamos a base 2 à 9ª potência, que dá 512:

P (3) = 3 * 512

Multiplicamos e está pronto!
P(3) = 1536

Encontramos o número de habitantes num raio de 3 km é igual a 1536.

Veja a aula do nosso canal no YouTube sobre função exponencial e continue estudando:

Agora é com você! Não esqueça de acessar nossos Simulados para ir treinando, ok? Até outra aula!

1) (UERJ-1998) Uma empresa acompanha a produção diária de um funcionário recém-admitido, utilizando uma função f(d), cujo valor corresponde ao número mínimo de peças que a empresa espera que ele produza em cada dia (d), a partir da data de sua admissão. Considere o gráfico auxiliar, que representa a função 

função exponencial - exercício 1

Utilizando  e o gráfico acima, a empresa pode prever que o funcionário alcançará a produção de 87 peças num mesmo dia, quando d for igual a :

a) 5

b) 10

c) 15

d) 20

2) (Vunesp-2003) Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de certo reservatório é dada pela função q(t) = q0.2(-0,1)t sendo  a quantidade inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após t meses. Em quantos meses a quantidade de água do reservatório se reduzirá à metade do que era no início?

a) 5.

b) 7.

c) 8.

d) 9.

e) 10.

3) (PUC-PR-2003) Determinando as soluções da equação  verificamos que elas estão somente no intervalo:

I. (0, 1) se a > 1.

II. (1, ∞) se 0 < a < 1. III. (-∞, 0) se a > 1.

IV. (-1, 1) se 0 < a < 1.

Com respeito às afirmações acima, podemos afirmar que:

a) exatamente duas são verdadeiras.

b) todas as afirmações são falsas.

c) somente uma é verdadeira.

d) somente uma é falsa.

e) todas as afirmações são verdadeiras.

Gabarito:

1) b;

2) e;

3) c

Bibliografia:

Telecurso 2000 – aula 10. Disponível em https://youtu.be/WXMm5sJzMpk.

Khan Academy. Análise de gráficos de uma função exponencial . Disponível em: https://goo.gl/SYGsUg.

Oliveira, Rafael H. Um Estudo Sobre A Função Exponencial. UNESP. Rio Claro.2015.

Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é especialista em Psicopedagogia Institucional com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atua na rede particular, estadual e municipal há 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades privadas na área de Matemática e Metodologia de Ensino de Matemática. Facebook: www.facebook.com/WMariaAP. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.

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