Função Logarítmica

As funções logarítmicas têm um papel bem importante na construção do conhecimento.  Elas são utilizadas, por exemplo, para expressar crescimentos ou quedas populacionais. Acompanhe esta aula e, ao final, teste seus conhecimentos com os exercícios!

Podemos aplicar função logarítmica na sociologia, na biologia, na física, na química e em tantas outras disciplinas. Sendo assim, focar somente na matemática seria um erro! O estudo interdisciplinar faz você criar conexões entre as mais variadas áreas de estudo. Isso te ajuda a aumentar ainda mais seu conhecimento e desenvolver habilidades em potencial. Ora, não é porque você quer cursar medicina ou música que vai deixar de lado a matemática. Afinal, tudo está conectado!

Sendo assim, nesta aula de funções logarítmicas você vai ver algumas propriedades e maneiras de se empregar estas funções com inúmeras possibilidades de aplicação. Também vai aprender como aplicar conhecimentos de logaritmos e expoentes para solucionar as questões que envolvem esses conteúdos. Vamos lá?

O que é uma função logarítmica?

Uma função logarítmica é definida por uma lei de formação que associa cada  ao número . É denominada função logarítmica de base a, onde a é real, positivo e a ≠ 1, e se apresenta na forma:

funções logarítmicas

Mas, por que esse  precisa ser necessariamente diferente de 1? Bem, o logaritmo de um número é definido como o expoente ao qual devemos elevar uma base a para obter o número x, ou seja,

função logarítmica

Por esse motivo, o valor não pode assumir o valor 1, pois 1 elevado em qualquer expoente continua sendo 1. Podemos dizer que o número 1 é o elemento neutro das funções exponenciais e, portanto, também das logarítmicas.

Veja alguns exemplos de funções logarítmicas:

funções logarítmicas

Domínio e Imagem de uma função logarítmica

 O domínio de uma função representa os valores de x onde a função é definida. Ou seja, são todos os valores que x pode assumir e que resultam em um valor real para a função. Já a imagem de uma função logarítmica são todos os números reais.

Para determinar o domínio de uma função logarítmica, é preciso levar em consideração as restrições (condições de existência) dos logaritmos.

Exemplo:

Dada a função

Solução: Pela condição de existência do logaritmo, espera-se que o logaritmando  seja maior do que zero (> 0). Sendo assim, resolvendo a inequação temos:

Dessa maneira, o domínio da função pode ser representado por:

função logarítmica

Propriedades das funções logarítmicas

O estudo das funções logarítmicas requer o conhecimento de duas propriedades. São elas:

1- As funções e  são inversas uma da outra.

Dizer que duas funções são inversas significa que uma “anula” a outra. É possível observar isso através da demonstração com função composta, observe:

função logarítmica

Essa demonstração leva em consideração conhecimentos prévios sobre propriedades destinadas ao estudo dos logaritmos. Ela nos diz que todo logaritmo com base e logaritmandos iguais, cujo logaritmando esteja elevado em um expoente qualquer, é igual ao expoente.

2- A função logarítmica  é:

  1. Crescente, se e somente se a > 1
  2. Decrescente, se e somente se 0 < a < 1

Por meio dessas propriedades podemos fazer um estudo sobre crescimento ou decrescimento. Esse estudo pode ser, por exemplo, a descrição de um fenômeno social (população), biológico (população de microrganismos) ou físico (de escoamento e vazão). Enfim, são muitos fatores que podem ser determinados através das propriedades de crescimento e decrescimento de uma função logarítmica. Vamos agora ver um exemplo de aplicação dos logaritmos em abalos sísmicos, evento da natureza que, dependendo da magnitude, pode gerar grandes estragos.

Exemplo:

(ENEM 2018) Em março de 2011, um terremoto de 9,0 graus de magnitude na escala Richter atingiu o Japão matando milhares de pessoas e causando grande destruição. Em janeiro daquele ano, um terremoto de 7,0 graus na escala Richter atingiu a cidade de Santiago Del Estero, na Argentina. A magnitude de um terremoto, medida pela escala Richter, é função logarítmica, em que A é a amplitude do movimento vertical do solo, informado em um sismógrafo, A0 é uma amplitude de referência e log representa o logaritmo na base 10.

Disponível em: http://earthquake.usgs.gov.
Acesso em: 28 fev. 2012 (adaptado).

A razão entre as amplitudes dos movimentos verticais (A) dos terremotos do Japão e da Argentina é

a) 1,28

b) 2,0

c)

d) 100

e) 109 – 107

Solução: Para resolver a questão acima e encontrar a razão entre as amplitudes dos terremotos, primeiro iremos analisar a magnitude do terremoto do Japão e da Argentina separadamente.

Devemos levar em consideração a relação de equivalência que nos diz que:

função logarítmica

No Japão a magnitude foi de 9,0 graus, logo, R = 9,0, assim:

Além disso, de acordo com a relação de equivalência temos que:

função logarítmicaJá na Argentina, a magnitude foi de 7,0 graus, logo, R = 7,0, assim:

função logarítmica

Além disso, de acordo com a relação de equivalência temos que:

função logarítmicaAgora, o enunciado nos pede que calculemos a razão entre as amplitudes dos movimentos verticais, assim:

função logarítmica
Sendo assim, a alternativa correta é a alternativa D.

Para complementar ainda mais seus estudos, veja essa aula do professor Ferreto

Precisa relembrar o conteúdo de logaritmos? Veja a aula de Matemática no nosso canal!

Exercícios

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Sobre o(a) autor(a):

Os textos e exemplos de apresentação desta aula foram preparados pela professora Andréia Zanchetti para o Blog do Enem. Andréia é formada em Matemática pelo IFRS e possui mestrado pela FURG.