Função Logarítmica

As funções logarítmicas têm um papel bem importante na construção do conhecimento.  Elas são utilizadas, por exemplo, para expressar crescimentos ou quedas populacionais. Acompanhe esta aula e garanta uma ótima nota na prova do Enem!

Podemos aplicar função logarítmica na sociologia, na biologia, na física, na química e em tantas outras disciplinas. Sendo assim, focar somente na matemática seria um erro! O estudo interdisciplinar faz você criar conexões entre as mais variadas áreas de estudo. Isso te ajuda a aumentar ainda mais seu conhecimento e desenvolver habilidades em potencial. Ora, não é porque você quer cursar medicina ou música que vai deixar de lado a matemática. Afinal, tudo está conectado!

Sendo assim, nesta aula de funções logarítmicas você vai ver algumas propriedades e maneiras de se empregar estas funções com inúmeras possibilidades de aplicação. Também vai aprender como aplicar conhecimentos de logaritmos e expoentes para solucionar as questões que envolvem esses conteúdos. Vamos lá?

O que é uma função logarítmica?

Uma função logarítmica é definida por uma lei de formação que associa cada  ao número . É denominada função logarítmica de base a, onde a é real, positivo e a ≠ 1, e se apresenta na forma:

funções logarítmicas

Mas, por que esse  precisa ser necessariamente diferente de 1? Bem, o logaritmo de um número é definido como o expoente ao qual devemos elevar uma base a para obter o número x, ou seja,

função logarítmica

Por esse motivo, o valor não pode assumir o valor 1, pois 1 elevado em qualquer expoente continua sendo 1. Podemos dizer que o número 1 é o elemento neutro das funções exponenciais e, portanto, também das logarítmicas.

Veja alguns exemplos de funções logarítmicas:

funções logarítmicas

Domínio e Imagem de uma função logarítmica

 O domínio de uma função representa os valores de x onde a função é definida. Ou seja, são todos os valores que x pode assumir e que resultam em um valor real para a função. Já a imagem de uma função logarítmica são todos os números reais.

Para determinar o domínio de uma função logarítmica, é preciso levar em consideração as restrições (condições de existência) dos logaritmos.

Exemplo:

Dada a função

Solução: Pela condição de existência do logaritmo, espera-se que o logaritmando  seja maior do que zero (> 0). Sendo assim, resolvendo a inequação temos:

Dessa maneira, o domínio da função pode ser representado por:

função logarítmica

Propriedades das funções logarítmicas

O estudo das funções logarítmicas requer o conhecimento de duas propriedades. São elas:

1- As funções e  são inversas uma da outra.

Dizer que duas funções são inversas significa que uma “anula” a outra. É possível observar isso através da demonstração com função composta, observe:

função logarítmica

Essa demonstração leva em consideração conhecimentos prévios sobre propriedades destinadas ao estudo dos logaritmos. Ela nos diz que todo logaritmo com base e logaritmandos iguais, cujo logaritmando esteja elevado em um expoente qualquer, é igual ao expoente.

2- A função logarítmica  é:

  1. Crescente, se e somente se a > 1
  2. Decrescente, se e somente se 0 < a < 1

Por meio dessas propriedades podemos fazer um estudo sobre crescimento ou decrescimento. Esse estudo pode ser, por exemplo, a descrição de um fenômeno social (população), biológico (população de microrganismos) ou físico (de escoamento e vazão). Enfim, são muitos fatores que podem ser determinados através das propriedades de crescimento e decrescimento de uma função logarítmica. Vamos agora ver um exemplo de aplicação dos logaritmos em abalos sísmicos, evento da natureza que, dependendo da magnitude, pode gerar grandes estragos.

Exemplo:

(ENEM 2018) Em março de 2011, um terremoto de 9,0 graus de magnitude na escala Richter atingiu o Japão matando milhares de pessoas e causando grande destruição. Em janeiro daquele ano, um terremoto de 7,0 graus na escala Richter atingiu a cidade de Santiago Del Estero, na Argentina. A magnitude de um terremoto, medida pela escala Richter, é função logarítmica, em que A é a amplitude do movimento vertical do solo, informado em um sismógrafo, A0 é uma amplitude de referência e log representa o logaritmo na base 10.

Disponível em: http://earthquake.usgs.gov.
Acesso em: 28 fev. 2012 (adaptado).

A razão entre as amplitudes dos movimentos verticais (A) dos terremotos do Japão e da Argentina é

a) 1,28

b) 2,0

c)

d) 100

e) 109 – 107

Solução: Para resolver a questão acima e encontrar a razão entre as amplitudes dos terremotos, primeiro iremos analisar a magnitude do terremoto do Japão e da Argentina separadamente.

Devemos levar em consideração a relação de equivalência que nos diz que:

função logarítmica

No Japão a magnitude foi de 9,0 graus, logo, R = 9,0, assim:

Além disso, de acordo com a relação de equivalência temos que:

função logarítmicaJá na Argentina, a magnitude foi de 7,0 graus, logo, R = 7,0, assim:

função logarítmica

Além disso, de acordo com a relação de equivalência temos que:

função logarítmicaAgora, o enunciado nos pede que calculemos a razão entre as amplitudes dos movimentos verticais, assim:

função logarítmica
Sendo assim, a alternativa correta é a alternativa D.

Para complementar ainda mais seus estudos, veja essa aula do professor Ferreto

Precisa relembrar o conteúdo de logaritmos? Veja a aula de Matemática no nosso canal!

Exercícios

Questão 01) Considere a função logarítmica  definida por f(x) = log7 (x).

Quanto vale a razão função logarítmica?

 

 

 

 

 

 

 

 

Questão 02)   O valor de  com x, y  Z, sabendo que log2(x) + log4(y) = 2 e 2x+y = 32, é igual a:

a) 4

b) 8

c) 2

d) 6

e) 10

 

Questão 03)   Considerando-se as funções f(x) = 2x e g(x) = log2 x, constata-se que

a) f e g se interceptam no ponto (0,1).

b) f é uma função crescente e g é uma função decrescente.

c) f(0) = 1 e g(1) = 0.

d) f(x) ≤ 0 para x ≤ 0.

e) g(–1) ≤ 0.

 

01) Gab: E

02) Gab: A

03) Gab: C

Sobre o(a) autor(a):

Os textos e exemplos de apresentação desta aula foram preparados pela professora Andréia Zanchetti para o Blog do Enem. Andréia é formada em Matemática pelo IFRS e possui mestrado pela FURG.