Funções Trigonométricas: Seno, Cosseno e Tangente

Venha aprender sobre as funções seno, cosseno e tangente: lei de formação, gráfico e características.

Funções trigonométricas pode ser uma área da matemática forte que dá medo em muita gente, mas não tenha medo porque estamos aqui pra te ajudar com esse assunto. Podemos dizer então que na trigonometria aprendem-se as relações trigonométricas, tanto no triângulo retângulo quanto no ciclo trigonométrico.

Agora chegou a vez de estudarmos a respeito das funções trigonométricas. Sendo assim, na aula de hoje trataremos a respeito das funções: seno, cosseno e tangente.

Funções trigonométricas: Seno

A função seno é definida da seguinte forma:

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f: R _ R;f (x) =senx

Perceba então que a função trigonométrica seno possui como domínio o conjunto R, o seu contradomínio também é R e esta função leva cada valor de X do seu domínio no valor senX

O gráfico da função seno é mostrado a seguir:

Representação da função seno. Representação da função seno.

Perceba no gráfico acima que a imagem da função seno é o intervalo 1,1cR e, com isso, tal função tem amplitude dada por: 1- (-1) =2. Note que ainda podemos encontrar um padrão de repetição no gráfico.

Explicando a função Seno

Quando o seno é estudado através do ciclo trigonométrico, aprende-se que os valores de seno para o 1º quadrante começam em zero e vão subindo até chegar no valor 1 e no 2º quadrante os valores começam em 1 e vão decrescendo até chegar em 0 (mas ainda permanecem positivos). No 3º quadrante os valores partem de zero e vão decrescendo até chegar em -1 (e nesse caso tornam-se negativos) e no 4º quadrante os valores partem de -1 e vão crescendo até chegar em 0 novamente.

Este comportamento do seno nas funções trigonométricas pode ser visualizado no gráfico acima, em cada um dos intervalos em x. Observe a imagem abaixo para exemplificar o que estamos dizendo aqui:

Representação da função seno no intervalo 0,2π. funções trigonométricasFigura 2: Representação da função seno no intervalo 0,2π.

Na figura acima representamos este comportamento do seno na 1ª volta do ciclo.

Por meio da imagem acima podemos perceber o seguinte a respeito da função seno:

  • No 1º quadrante tal função é crescente e assume valores positivos;
  • No 2º quadrante tal função é decrescente e assume valores positivos;
  • No 3º quadrante tal função ainda é decrescente e assume valores negativos;
  • No 4º quadrante tal função volta a ser crescente e assume valores negativos.

Funções trigonométricas e seu ciclo

Ainda falando sobre o seno, estuda-se que os seus valores se repetem nas demais voltas do ciclo trigonométrico. Este fato faz com que a curva da figura 2 se estenda para os demais pontos da função seno – fazendo com que cheguemos ao gráfico da função. Perceba então que para desenharmos o gráfico da função seno, podemos desenhar primeiro o gráfico no intervalo 0,2π e depois estendermos o mesmo comportamento para o resto do domínio.

O intervalo 0,2π é chamado de período fundamental do seno, ou simplesmente período. Este período nada mais é do que o menor conjunto possível de valores em x de forma que o gráfico da função não se repita.

Definição de função periódica

Uma função é periódica quando existe um número a>0 tal que f (x)=f(x+a), para todo X no domínio da função e o menor valor de a possível que satisfaça a igualdade é chamado de período da função. O gráfico de uma função periódica é caracterizado por ser a repetição do gráfico do seu período estendido para todo o domínio da função.

Podemos dizer então que a função seno é uma função periódica, de período .

Observação: costuma-se dizer que o gráfico da função seno é uma senoide.

Veja abaixo a expressão mais geral para a função seno:

f(x)=A+Bsen(Mx+N)

Nessa expressão temos o seguinte:

  • O período da função é dado por: 2π/M;
  • N gera uma translação da função seno no eixo x;
  • A gera uma translação da função seno no eixo y;
  • B altera a amplitude da função.

Veja o exemplo abaixo, com a representação gráfica da função:

f(x)=1+2sen(3x- π)

Representação da função: f(x)=1+2sen(3x- π)Figura 3: Representação da função: f(x)=1+2sen(3x- π)

Note que para esta função temos:

  • Domínio é o conjunto R;
  • Imagem é o intervalo –1,3 e consequentemente sua amplitude é: 3- (-1)=4;
  • A função está deslocada em 1 unidade acima do zero;
  • A função está deslocada em π unidades no eixo x;
  • O período da função é 2 π / 3.

Agora que estudamos a respeito da função seno, podemos tratar a respeito da função cosseno.

O Cosseno nas funções trigonométricas

As funções trigonométricas cosseno são definidas da seguinte forma:

f:R _ R; f(x)=cosx

Perceba então que a função cosseno possui como domínio o conjunto R, o seu contradomínio também é R e esta função leva cada valor de X do seu domínio no valor cosx.

O gráfico da função cosseno é mostrado a seguir:

Figura 4: Representação da função cosseno. funções trigonométricasFigura 4: Representação da função cosseno.

Perceba no gráfico acima que a imagem da função cosseno é o intervalo: 1,1cR . Assim, tal função tem amplitude 2.

Quando o cosseno é estudado através do ciclo trigonométrico, estuda-se que os valores de cosseno para o 1º quadrante começam em 1 e vão decrescendo até chegar no valor 0 (mas positivos), no 2º quadrante os valores de cosseno começam em 0 e vão decrescendo até chegar em -1 (sendo negativos). Já, no 3º quadrante os valores partem de -1 e vão crescendo até chegar em 0 (sendo ainda negativos) e no 4º quadrante os valores partem de 0 e vão crescendo até chegar em 1 novamente.

Perceba então o seguinte a respeito da função cosseno:

  • No 1º quadrante tal função é decrescente e assume valores positivos;
  • No 2º quadrante tal função é decrescente e assume valores negativos;
  • No 3º quadrante tal função se torna crescente e assume valores negativos;
  • No 4º quadrante tal função é crescente e assume valores positivos.

Note que ainda assim como a função seno, a função cosseno também é uma função periódica, de período 2 π.

Observação: costuma-se dizer que o gráfico da função cosseno é uma cossenoide.

Veja abaixo a expressão mais geral para a função cosseno:

f(x)=A+Bcos(Mx+N)

Da mesma forma que a função seno, nessa expressão temos o seguinte:

  • O período da função é dado por: 2π/M ;
  • N gera uma translação da função cosseno no eixo x;
  • A gera uma translação da função cosseno no eixo y;
  • B altera a amplitude da função.

Função Tangente em funções trigonométricas

Essa função trigonométrica pode ser definida com um número real x tal que x ∉ π / 2+ kπ, com K ∈ Z, podemos associar o valor tgx. Assim, como para todo número real que satisfaça a desigualdade acima podemos associar o valor da tangente deste x, à função que associa para todos estes valores de x o valor tgx damos o nome de função tangente.

Denotamos tal função como f(x)=tgx.

Note que a função tangente, diferente da função seno e cosseno, não possui como domínio o conjunto R. Na verdade, o domínio da função tangente é dado pelo seguinte conjunto:

funções trigonométricas

O gráfico da função tangente é mostrado a seguir:

Representação da função tangente em funções trigonométricas.Figura 5: Representação da função tangente em funções trigonométricas.

Perceba no gráfico acima que a imagem da função tangente é justamente R.

Quando a tangente é estudada através do ciclo trigonométrico, estuda-se que os valores da tangente para o 1º quadrante começam em 0 e vão crescendo infinitamente quando os valores de x se aproximam de π / 2, no 2º quadrante os valores da tangente vão crescendo de valores muito grandes mas negativos (para valores de que estão próximos de π / 2) até chegarem no valor 0 quando x= π. Já, no 3º quadrante os valores partem de 0 e vão crescendo infinitamente quando os valores de x se aproximam de 3π / 2 e no 4º quadrante os valores vão crescendo de valores muito grandes mas negativos (para valores de x que estão próximos de 3π / 2) até chegarem no valor 0 quando x=2π.

Perceba então o seguinte a respeito da função tangente:

  • A função tangente é sempre crescente;
  • No 1º quadrante tal função assume valores positivos;
  • No 2º quadrante tal função assume valores negativos;
  • No 3º quadrante tal função assume valores positivos;
  • No 4º quadrante tal função assume valores negativos.

Note que como as funções seno e cosseno, a função tangente também é uma função periódica, mas de período π.

Observação: podemos chamar o gráfico da função tangente de tangentoide, mas esta denominação não é comum.

Veja abaixo a expressão mais geral para a função tangente:

f(x)=A+Btg(Mx+N)

Nessa expressão temos o seguinte:

  • O período da função é dado por: π / M;
  • N gera uma translação da função tangente no eixo x;
  • A gera uma translação da função tangente no eixo y;
  • B gera uma mudança de inclinação da função tangente.

Video-aulas

Gostou do conteúdo sobre funções trigonométricas e quer ver mais detalhes sobre o assunto? Então acesse as vídeo-aulas a seguir do professor Paulo Pereira do canal Equaciona:

Exercícios

Questão 01 – (UFPR/2020)

A maior variação de maré do Brasil ocorre na baía de São Marcos, no estado do Maranhão. A diferença entre o nível mais alto e o nível mais baixo atingidos pela maré pode chegar a 8 metros em algumas épocas do ano. Suponha que em determinado dia do ano o nível da maré da baía de São Marcos possa ser descrito pela expressão:

n(t) = 3sen((t – 5π)/6) + 4, com ∈ t[0, 24]

sendo t o tempo (medido em horas) e n(t) o nível da maré no instante t (dado em metros). Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas:

1. O nível mais alto é atingido duas vezes durante o dia.

2. Às 11 h é atingido o nível mais baixo da maré.

3. Às 5 h é atingido o nível mais alto da maré.

4. A diferença entre o nível mais alto e o nível mais baixo é de 3 metros.

Assinale a alternativa correta.

a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.

b) Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras.

c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.

d) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras.

e) As afirmativas 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras.

A área do retângulo ABCD é:

a) 6 π

b) 5 π

c) 4 π

d) 3 π

Questão 03 – (UEM PR/2019)

O preço dos produtos no mercado varia de acordo com a procura. A função que descreve o preço P (em reais) de uma bermuda em função do mês t do ano é dada por P(t)=80+20sen(πt / 4). Suponha que os meses sejam enumerados de 1 a 12, e que janeiro é o mês 1. Assinale o que for correto.

01. Dom(P) = {1, 2,3,…,11,12}.

02. Em fevereiro a bermuda custa R$80,00.

04. Existem três meses no ano em que a bermuda custa R$80,00.

08. O preço mínimo de uma bermuda ocorre no mês de junho.

16. O melhor preço de venda ocorre em apenas um mês do ano.

Questão 05 – (IBMEC SP Insper/2019)

Uma empresa que fabrica um produto de venda sazonal tem sua produção mensal P(n), em unidades, modelada pela seguinte função:

Para essa função, n = 1 corresponde a janeiro, n = 2 corresponde a fevereiro, n = 3 corresponde a março, e assim sucessivamente.

A partir do mês em que a produção mensal atinge 50.000 unidades, essa empresa contrata funcionários temporários. Nesse caso, a contratação ocorrerá no mês de

Dados: adote:

tg 10º = 0,18 tg 40º = 0,84
tg 20º = 0,36 tg 50º = 1,19
tg 30º = 0,58 tg 60º = 1,73

a) novembro.
b) maio.
c) março.
d) julho.
e) setembro.

Questão 06 – (UEG GO/2019)

Os valores de x, sendo 0 <X<2π, para os quais as funções f(x)=senx e g(x)=cosx se interceptam, são:

Questão 07 – (UFSC/2019)

O dólar americano (US$) é moeda bastante usada em transações financeiras internacionais, mas, em decorrência de vários fatores, o seu preço pode variar bastante. Em um dia de forte variação, o preço, em reais, de venda e de compra de um dólar americano comercializado no Brasil foi

01. Os valores máximo e mínimo do preço do dólar para venda foram de, respectivamente, R$ 3,80 e R$ 0,40.

02. Apenas para t = 13h, o preço de compra do dólar foi de R$ 3,30.

04. Uma pessoa que comprou US$ 130,00 quando t = 8 e vendeu essa quantia quando t = 14 perdeu R$ 13,00. Contudo, se a venda fosse feita quando t = 16, obteria um lucro de R$ 39,00.

08. Usando cartão de crédito, uma pessoa comprou um produto em um site americano ao preço de US$ 50,00. Considerando que a cobrança da fatura do cartão de crédito ocorre segundo o preço de compra sempre às 17, então o produto custou mais do que R$ 175,00.

16. Para cada t pertencente ao intervalo {t∈R; 12 < t < 16}, a diferença entre o preço de venda e o preço de compra foi maior que US$ 0,30.

Questão 08 – (ENEM/2019)

Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão está representado na figura.

A função:

Definida para t>0 descreve como varia a altura h, medida em centímetro, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo t, medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos.

O valor do parâmetro β, que é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante t = 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm. Para os cálculos, utilize 3 como aproximação para π.

O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro β, de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é

a) 1.

b) 2.

c) 4.

d) 5.

e) 8.

Questão 09 – (UNITAU SP/2018)

A Unidade Básica de Saúde (UBS) de um determinado bairro atende das 6 h às 18 h, de segunda a sexta-feira. Após estudos, verificou-se que, diariamente, o fluxo f (t) de pessoas que passam nessa UBS, a cada hora t, contada a partir do instante de sua abertura (t = 0), pode ser modelada pela função:

Desse modo, é CORRETO afirmar que

a) o número de pessoas que comparecem à UBS diariamente no momento de sua abertura, é de 36 pessoas.

b) o número mínimo de pessoas que passam pela UBS diariamente é de 22 pessoas, e isso ocorre às 12h.

c) o número mínimo de pessoas que passam pela UBS diariamente é de 22 pessoas, e isso ocorre às 14h.

d) o número máximo de pessoas que passam pela UBS diariamente é de 50 pessoas, e isso ocorre às 8h.

e) o número máximo de pessoas que passam pela UBS diariamente é de 50 pessoas, e isso ocorre às 10h.

Questão 10 – (Faculdade Pequeno Príncipe PR/2019)

Observe a curva esboçada a seguir:

É CORRETO afirmar que existe a possibilidade de que essa curva seja a representação gráfica da função

a) f(x) = 2.sen(0,5x)

b) f(x) = 3.cos(0,5x)

c) f(x) = sen(x)

d) f(x) = cos(x)

e) f(x) = sen(2x)

GABARITO

1 – A

2 -C

3 – 13

4 – B

5 – E

6 – C

7 – 28

8 – D

9 – E

10 – A

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