Funções trigonométricas: seno, cosseno e tangente

Venha aprender sobre as funções seno, cosseno e tangente: lei de formação, gráfico e características.

Funções trigonométricas pode ser uma área da matemática forte que dá medo em muita gente, mas não tenha medo porque estamos aqui pra te ajudar com esse assunto. Podemos dizer então que na trigonometria aprendem-se as relações trigonométricas, tanto no triângulo retângulo quanto no ciclo trigonométrico.

Funções trigonométricas

Agora chegou a vez de estudarmos a respeito das funções trigonométricas. Sendo assim, na aula de hoje trataremos a respeito das funções: seno, cosseno e tangente.

Função seno

A função seno é definida da seguinte forma:

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f: R _ R;f (x) = senx

Perceba então que a função trigonométrica seno possui como domínio o conjunto R, o seu contradomínio também é R e esta função leva cada valor de X do seu domínio no valor senX

O gráfico da função seno é mostrado a seguir:

Representação da função seno. Representação da função seno.

Perceba no gráfico acima que a imagem da função seno é o intervalo -1,1cR e, com isso, tal função tem amplitude dada por: 1- (-1) =2. Note que ainda podemos encontrar um padrão de repetição no gráfico.

Explicando a função seno

Quando o seno é estudado através do ciclo trigonométrico, aprende-se que os valores de seno para o 1º quadrante começam em zero e vão subindo até chegar no valor 1 e no 2º quadrante os valores começam em 1 e vão decrescendo até chegar em 0 (mas ainda permanecem positivos). No 3º quadrante os valores partem de zero e vão decrescendo até chegar em -1 (e nesse caso tornam-se negativos) e no 4º quadrante os valores partem de -1 e vão crescendo até chegar em 0 novamente.

Este comportamento do seno nas funções trigonométricas pode ser visualizado no gráfico acima, em cada um dos intervalos em x. Observe a imagem abaixo para exemplificar o que estamos dizendo aqui:

Representação da função seno no intervalo 0,2π. funções trigonométricasFigura 2: Representação da função seno no intervalo 0,2π.

Na figura acima representamos este comportamento do seno na 1ª volta do ciclo.

Por meio da imagem acima podemos perceber o seguinte a respeito da função seno:

  • No 1º quadrante tal função é crescente e assume valores positivos;
  • No 2º quadrante tal função é decrescente e assume valores positivos;
  • No 3º quadrante tal função ainda é decrescente e assume valores negativos;
  • No 4º quadrante tal função volta a ser crescente e assume valores negativos.

Funções trigonométricas e seu ciclo

Ainda falando sobre o seno, estuda-se que os seus valores se repetem nas demais voltas do ciclo trigonométrico. Este fato faz com que a curva da figura 2 se estenda para os demais pontos da função seno – fazendo com que cheguemos ao gráfico da função. Perceba então que para desenharmos o gráfico da função seno, podemos desenhar primeiro o gráfico no intervalo 0,2π e depois estendermos o mesmo comportamento para o resto do domínio.

O intervalo 0,2 π é chamado de período fundamental do seno, ou simplesmente período. Este período nada mais é do que o menor conjunto possível de valores em x de forma que o gráfico da função não se repita.

Definição de função periódica

Uma função é periódica quando existe um número a>0 tal que f (x)=f(x+a), para todo X no domínio da função e o menor valor de a possível que satisfaça a igualdade é chamado de período da função. O gráfico de uma função periódica é caracterizado por ser a repetição do gráfico do seu período estendido para todo o domínio da função.

Podemos dizer então que a função seno é uma função periódica, de período 2π.

Observação: costuma-se dizer que o gráfico da função seno é uma senoide.

Veja abaixo a expressão mais geral para a função seno:

f(x)=A+Bsen(Mx+N)

Nessa expressão temos o seguinte:

  • O período da função é dado por: 2π/M;
  • N gera uma translação da função seno no eixo x;
  • A gera uma translação da função seno no eixo y;
  • B altera a amplitude da função.

Veja o exemplo abaixo, com a representação gráfica da função:

f(x)=1+2sen(3x- π)

Representação da função: f(x)=1+2sen(3x- π)Figura 3: Representação da função: f(x)=1+2sen(3x- π)

Note que para esta função temos:

  • Domínio é o conjunto R;
  • Imagem é o intervalo -1,3 e consequentemente sua amplitude é: 3- (-1)=4;
  • A função está deslocada em 1 unidade acima do zero;
  • A função está deslocada em π unidades no eixo x;
  • O período da função é 2 π / 3.

Agora que estudamos a respeito da função seno, podemos tratar a respeito da função cosseno.

Função cosseno

As funções trigonométricas cosseno são definidas da seguinte forma:

f:R _ R; f(x)=cosx

Perceba então que a função cosseno possui como domínio o conjunto R, o seu contradomínio também é R e esta função leva cada valor de X do seu domínio no valor cosx.

O gráfico da função cosseno é mostrado a seguir:

Figura 4: Representação da função cosseno. funções trigonométricasFigura 4: Representação da função cosseno.

Perceba no gráfico acima que a imagem da função cosseno é o intervalo: -1,1cR . Assim, tal função tem amplitude 2.

Quando o cosseno é estudado através do ciclo trigonométrico, estuda-se que os valores de cosseno para o 1º quadrante começam em 1 e vão decrescendo até chegar no valor 0 (mas positivos), no 2º quadrante os valores de cosseno começam em 0 e vão decrescendo até chegar em -1 (sendo negativos). Já, no 3º quadrante os valores partem de -1 e vão crescendo até chegar em 0 (sendo ainda negativos) e no 4º quadrante os valores partem de 0 e vão crescendo até chegar em 1 novamente.

Perceba então o seguinte a respeito da função cosseno:

  • No 1º quadrante tal função é decrescente e assume valores positivos;
  • No 2º quadrante tal função é decrescente e assume valores negativos;
  • No 3º quadrante tal função se torna crescente e assume valores negativos;
  • No 4º quadrante tal função é crescente e assume valores positivos.

Note que ainda assim como a função seno, a função cosseno também é uma função periódica, de período 2 π.

Observação: costuma-se dizer que o gráfico da função cosseno é uma cossenoide.

Veja abaixo a expressão mais geral para a função cosseno:

f(x)=A+Bcos(Mx+N)

Da mesma forma que a função seno, nessa expressão temos o seguinte:

  • O período da função é dado por: 2π/M ;
  • N gera uma translação da função cosseno no eixo x;
  • A gera uma translação da função cosseno no eixo y;
  • B altera a amplitude da função.

Função tangente

Essa função trigonométrica pode ser definida com um número real x tal que x ∉ π / 2+ kπ, com K ∈ Z, podemos associar o valor tgx. Assim, como para todo número real que satisfaça a desigualdade acima podemos associar o valor da tangente deste x, à função que associa para todos estes valores de x o valor tgx damos o nome de função tangente.

Denotamos tal função como f(x)=tgx.

Note que a função tangente, diferente da função seno e cosseno, não possui como domínio o conjunto R. Na verdade, o domínio da função tangente é dado pelo seguinte conjunto:

Domínio da função tangente

Perceba, então, que a função tangente não está definida para valores de x que são múltiplos de π/2.

O contradomínio da função tangente também é R e esta função leva cada valor x do seu domínio no valor tgx.

O gráfico da função tangente é mostrado a seguir:

Representação da função tangente em funções trigonométricas.Figura 5: Representação da função tangente em funções trigonométricas.

Perceba no gráfico acima que a imagem da função tangente é justamente R.

Quando a tangente é estudada através do ciclo trigonométrico, estuda-se que os valores da tangente para o 1º quadrante começam em 0 e vão crescendo infinitamente quando os valores de x se aproximam de π / 2, no 2º quadrante os valores da tangente vão crescendo de valores muito grandes mas negativos (para valores de que estão próximos de π / 2) até chegarem no valor 0 quando x= π.

Já, no 3º quadrante os valores partem de 0 e vão crescendo infinitamente quando os valores de x se aproximam de 3π / 2 e no 4º quadrante os valores vão crescendo de valores muito grandes mas negativos (para valores de x que estão próximos de 3π / 2) até chegarem no valor 0 quando x=2π.

Perceba então o seguinte a respeito da função tangente:

  • A função tangente é sempre crescente;
  • No 1º quadrante tal função assume valores positivos;
  • No 2º quadrante tal função assume valores negativos;
  • No 3º quadrante tal função assume valores positivos;
  • No 4º quadrante tal função assume valores negativos.

Note que como as funções seno e cosseno, a função tangente também é uma função periódica, mas de período π.

Observação: podemos chamar o gráfico da função tangente de tangentoide, mas esta denominação não é comum.

Veja abaixo a expressão mais geral para a função tangente:

f(x)=A+Btg(Mx+N)

Nessa expressão temos o seguinte:

  • O período da função é dado por: π / M;
  • N gera uma translação da função tangente no eixo x;
  • A gera uma translação da função tangente no eixo y;
  • B gera uma mudança de inclinação da função tangente.

Videoaula

Saiba mais sobre o cálculo de seno, cosseno e tangente com a videoaula com o prof. Lucas:

Exercícios sobre funções trigonométricas

Para terminar, resolva os exercícios sobre funções trigonométricas a seguir, selecionados pela professora!

1 – (UFPR/2020)

A maior variação de maré do Brasil ocorre na baía de São Marcos, no estado do Maranhão. A diferença entre o nível mais alto e o nível mais baixo atingidos pela maré pode chegar a 8 metros em algumas épocas do ano. Suponha que em determinado dia do ano o nível da maré da baía de São Marcos possa ser descrito pela expressão:

n(t) = 3sen((t – 5π)/6) + 4, com ∈ t[0, 24]

sendo t o tempo (medido em horas) e n(t) o nível da maré no instante t (dado em metros). Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas:

1. O nível mais alto é atingido duas vezes durante o dia.

2. Às 11 h é atingido o nível mais baixo da maré.

3. Às 5 h é atingido o nível mais alto da maré.

4. A diferença entre o nível mais alto e o nível mais baixo é de 3 metros.

Assinale a alternativa correta:

a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.

b) Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras.

c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.

d) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras.

e) As afirmativas 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras.

2- (UERJ/2020)

O gráfico a seguir representa a função periódica definida por f(x) = 2sen(x), x ∈ R. No intervalo Funções trigonométricas A e B são pontos do gráfico nos quais são valores máximos dessa função.

A área do retângulo ABCD é:

a) 6 π

b) 5 π

c) 4 π

d) 3 π

3 – (UEM PR/2019)

O preço dos produtos no mercado varia de acordo com a procura. A função que descreve o preço P (em reais) de uma bermuda em função do mês t do ano é dada por P(t)=80+20sen(πt / 4). Suponha que os meses sejam enumerados de 1 a 12, e que janeiro é o mês 1. Assinale o que for correto.

01. Dom(P) = {1, 2,3,…,11,12}.

02. Em fevereiro a bermuda custa R$80,00.

04. Existem três meses no ano em que a bermuda custa R$80,00.

08. O preço mínimo de uma bermuda ocorre no mês de junho.

16. O melhor preço de venda ocorre em apenas um mês do ano.

GABARITO

  1. A
  2. C
  3. 13

Sobre o(a) autor(a):

Letícia Figueredo de Carvalho é graduada em Matemática Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Atua na área educacional desde 2013, trabalhando como analista de conteúdo, professora de matemática e monitora de disciplina, atuando em diversos níveis de ensino. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/leticia-figueredo-de-carvalho/.

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