Representação gráfica de uma inequação

Vamos aqui aprender a construir e interpretar as representações gráficas de uma inequação para sempre ser uma questão ganha nas provas.

Você consegue imaginar o gráfico de uma função de segundo grau como f(x) = x²? Se imaginou uma parábola fofinha você está num ótimo caminho já! Mas e uma inequação como y < x²? Será que você pode criar uma visualização gráfica do que ela representa? Esse é seu objetivo lendo essa aula, vamos geometrizar as inequações! Ou seja, vamos aprender a fazer a representação gráfica de uma inequação.

Antes de mais nada, é importante que você já tenha estudado os conteúdos de função do primeiro grau e função do segundo grau. Essas aulas te darão base para compreender tudo o que está neste post.

Representação gráfica de de uma Inequação do Primeiro Grau

Uma inequação como y < x−6 é irmã da função do primeiro grau f(x) = x−6. Elas vão funcionar de forma muito semelhantemente em todos os conceitos, principalmente quando se trata de gráficos.

Passo a passo para fazer a representação gráfica de uma função do primeiro grau

Assim como todo tipo de função, a função do primeiro grau (também chamada de função afim) requer um passo a passo para ser representada graficamente (vamos chamar isso de plotar). No caso da função afim, esse será seu passo a passo:

Encontrar a raiz da função;

Marcar essa raiz no plano cartesiano;

Entregar para o x da função algum número simples;

Marcar o ponto desse número simples;

Ligar os dois pontos formando uma reta.

Seguindo os passos direitinho, sua função afim deve ter ficado assim:

representação gráfica de uma inequação do primeiro grau
Função f(x) = x 6 representada em sua forma de gráfico como uma reta diagonal aos eixos perpendiculares do plano cartesiano.

Transformando a função em inequação

Agora que você tem o gráfico da função afim f(x) = x−6, vamos transformá-la na inequação y < x−6. No gráfico da imagem, destaquei o ponto (6, 0) que é a raiz da função. Todavia, você vai precisar de algum ponto diferente dele para raciocinar a plotagem da inequação. Mais que isso, você precisa de um ponto que não pertence à reta.

Que tal pegar o ponto (0, 0)? É comum usar esse como o escolhido, se ele não pertence a sua função. Esse ponto tem coordenadas x = 0 e y = 0 e, agora você substitui elas na sua inequação:

y < x−6

0 < 0−6

0 < −6

Te pergunto: 0 < −6 é uma afirmação falsa ou verdadeira? Como ela é falsa, então sei que o ponto (0, 0) não vai pertencer ao meu gráfico de inequação. Observe que se tu tivesse escolhido substituir o ponto (10, 0) você chegaria a uma afirmação verdadeira:

0 < 10−6

0 < 4

Assim, o ponto (10, 0) vai pertencer ao gráfico dessa inequação. Professor Lucas, eu vou ter que testar todos os pontos do plano cartesiano? Não! Isso porque eles são infinitos! Dessa forma, somente com esses dois testes já temos certeza de como será o gráfico. Aliás, um ponto já bastaria.

A reta da função f(x) = x−6 secciona o plano cartesiano em duas partes, a da esquerda e a da direita, como você pode ver na imagem. Se você tem que o ponto (0, 0) não pertence à imagem, enquanto o ponto (10, 0) pertence, então a representação gráfica de y < x−6 é todo o lado direito particionado do plano cartesiano. Veja a imagem:

representação gráfica de uma inequação do primeiro grau 2
Inequação do primeiro grau y < x-6 representada sua forma de gráfico, pintada como metade de uma folha dobrada na diagonal.

Gráficos dos outros tipos de Inequação

gráficos de outros tipos de equação
Função exponencial, função senoidal e função modular, todas representadas no plano cartesiano com uma curva, uma onda e uma letra v.

Já parou para pensar que toda função divide o plano cartesiano em duas partes? Ok, provavelmente quase ninguém parou para pensar nisso. Mas sim, isso é verdade e a gente pode usar essa informação a nosso favor para aprender este conteúdo. Isso porque não importa se temos uma função do tipo f(x) = ex, f(x) = sen(x) ou f(x) = |x|, já que todas elas sempre vão “cortar” o plano cartesiano em duas partes.

Dessa forma, basta construir primeiro o gráfico delas, estudando o conteúdo de cada separada e fazer o teste se algum ponto esperto torna a inequação verdadeira ou falsa.

Passo a passo para fazer a representação gráfica de outros tipos de função

Vamos de exemplo agora com a inequação y ≥ x². Se liga no passo a passo:

Plotar a função;

Ver se um ponto deixa a inequação verdadeira;

Se deixar verdadeira, pintar o espaço do ponto;

Se deixar falsa, pintar o espaço que não é do ponto.

Temos que o gráfico da função é o seguinte:

representação gráfica de uma inequação do segundo grau
Função do segundo grau f(x) = x² no plano cartesiano com uma parábola de concavidade virada para cima.

Agora, o ponto (0, 0) não parece interessante para nosso teste. Isso porque ele pertence ao gráfico (e é até o vértice dessa parábola). Sendo assim, vamos testar o ponto (0, 5).

y ≥ x²

5 ≥ 0²

5 ≥ 0

Parece que temos uma preposição verdadeira, então toda aquela parte onde o ponto (0, 5) habita será pintada:

representação gráfica de uma inequação do segundo grau 2
Dica: Reparou na diferença que o sinal > ou o sinal ≥ provoca no gráfico? Para o primeiro, função foi plotada tracejada após ser pintada, para o segundo, a função foi plotada sem tracejar após ser pintada.
Por fim, veja o vídeo do canal Khan Academy sobre representação gráfica de uma inequação:

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