Média Aritmética e Média Ponderada

Confira como calcular uma média aritmética. Saiba que este é um conteúdo essencial para você gabaritar as questões de matemática do Enem e dos vestibulares!

Um colega seu precisa calcular sua média final para saber se passou de ano ou não. Você saberia ajudá-lo? Para poder ajudar seu amigo, você precisará recorrer aos parâmetros da Estatística para ajudá-lo a resolver seu problema.

Neste post você vai estudar sobre o que é média, quais os tipos e suas aplicações em problemas cotidianos.

Animado, então? Começaremos com a média aritmética.

Média aritmética

A média aritmética é um parâmetro que permite comparar e entender a distribuição de dados relativos a um fenômeno estatístico. Para entendermos melhor, vejamos um exemplo.

Exemplo 01: Em um time de futebol, as idades dos jogadores titulares são: 25 anos, 27 anos, 22 anos, 30 anos e 31 anos. Qual a idade média dos jogadores do time?

Solução:

Para resolver esse problema, vamos somar as idades apresentadas, ou seja,
25+27+22+30+31=135

Feito isso, devemos dividir o resultado obtido pelo número de jogadores titulares, que no caso, são 5.
135/5=27

O número 27 é chamado de média aritmética. Os números 25, 27, 22, 30 e 31 são chamados de variáveis ou números. Assim, podemos escrever que:

A média aritmética de n números (ou fatores) representa a soma de todos os números dividida por n. Vamos resolver mais um exemplo para você ficar fera no cálculo de médias.

Exemplo 02: Paulo recebeu suas notas de Matemática do último bimestre. São elas: 6,0; 7,0 e 5,0. Sabendo que a média bimestral deve ser maior ou igual a 7,0 determine se Paulo ficou ou não recuperação.

Solução:

As notas de Paulo são os n números e o total de notas são 3. Calculando a média, obtemos:
M= (6,0+7,0+5,0)/3
M= 18/3
M=6,0

Como podemos notar que a média de Paulo é menor que 7,0, logo ele irá precisar de recuperação.
Vamos supor agora, que o professor de Paulo tenha dado pesos diferentes para cada nota. Para a primeira nota o peso dado foi 2, para a segunda 7 e para a terceira 1. Será que, agora, com os pesos diferentes, Paulo ainda precisa de recuperação? Podemos responder essa pergunta a ele, calculando a sua média ponderada, e é o que estudaremos a seguir.

Média Ponderada

A média aritmética ponderada de n números é a soma dos produtos entre cada número e o seu respectivo peso. Depois, basta fazer a divisão entre o resultado obtido e a soma dos pesos. Vamos aplicar essa definição no exemplo do Paulo.

Solução:

São os números: 6,0; 7,0 e 5,0
São os pesos: 2, 7 e 1.

Calculando a média ponderada, obtemos:
Mp= (6,0 x 2+7,0 x 7+5,0 x 1)/(2+7+1)
Mp= (12+49+5)/9
Mp= 66/9
Mp=7,3

Portanto, Paulo não teria a necessidade de realizar a recuperação, pois 7,3 é maior que a média exigida para passar direto. Bom, agora é o Paulo que ficará responsável de convencer a sua professora a optar pela média aritmética ponderada.

Não esqueça que: a média aritmética ponderada depende das regras estabelecidas, dos pesos que você atribui para cada número, para o seu cálculo.

Os pesos atribuídos são chamados de fatores de ponderação, que na verdade é, o quanto você da relevância para determinado número. Analisaremos a seguinte situação:

Exemplo 03: Suponha que Paulo trocou de escola esse ano. Como Paulo é atleta ele ganhou um desconto na mensalidade de 90%, diferentemente, da escola do ano passado, que oferecia um desconto de 40%. Você saberia dizer qual a média geométrica dos números dados?

Solução:

Vamos colocar os números dados em uma tabela, para facilitar a resolução do problema.tabela médiaPara calcularmos a média geométrica, inicialmente devemos determinar o índice.

O índice é a quantidade de fatores analisados, no caso de Paulo, é a quantidade de anos que recebeu o desconto, ou seja, 2. Esse índice representará o índice do radical.

Assim, a média geométrica é calculada pela fórmula:índice médiaResposta: A média geométrica é igual a 60.

Portanto, a média geométrica é um conjunto de n números positivos é o número positivo, que se obtém, multiplicando os n números dados e extraindo a raiz de índice n deste produto. Utilizamos a média geométrica em situação que há aumentos sucessivos. Tente resolver o próximo exercício, e depois confira a sua resposta.

Exemplo 04: Suponha que você recebeu um aumento de 10% em sua mesada no ano passado e de 20% neste ano. Não seria correto analisar o aumento utilizando média aritmética, pois o aumento de 20% também incidiu sobre o aumento anterior de 10%. Sendo assim, usaremos a média geométrica.

Solução:

Fatores: 10% e 20%
Índice: 2 (quantidades de anos)
Calculando a média obtemos:

resultado média

Concluímos que, receber um aumento de 10% no primeiro e outro de 20% no segundo ano é equivalente a receber dois aumentos de 14%.

Viu como é fácil calcular as médias? Assista à videoaula abaixo para complementar seus estudos!

Agora, tente resolver os exercícios propostos pelo professor:

1 – (ENEM – 2013) As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora.

exercício média

Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor nota atribuída ao professor.

A nova média, em relação à média anterior, é:

a) 0,25 pontos maior.

b) 1,00 pontos maior.

c) 1,00 pontos menor.

d)1,25 pontos maior.

e) 2,00 pontos menor.

2 – (ENEM – 2012) A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas (ME) que se encontram à venda.

exercício 2 média

Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhem as duas empresas de maior média anual.As empresas que este investidor escolhe comprar são:

a) Balas W e Pizzaria Y.
b) Chocolates X e Tecelagem Z.
c) Pizzaria Y e Alfinetes V.
d) Pizzaria Y e Chocolates X.
e) Tecelagem Z e Alfinetes V.

3 – ( FUVEST – 2008) Sabe-se que a média aritmética de 5 números inteiros distintos, estritamente positivos, é 16. O maior valor que um desses inteiros pode assumir é:

a) 16
b) 20
c) 50
d) 70
e) 100

Gabarito

1 – B
2 – D
3 – D

Faça o Simulado

Sobre o(a) autor(a):

Os textos e exemplos acima foram elaborados pela professora Cristiane Olska para o Blog do Enem. Cristiane é formada em Licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual de Santa Catarina (UDESC), em Joinville. Dá aulas de Matemática em escolas da Grande Florianópolis desde 2016 e elabora módulos de Matemática para empresas do Estado de Santa Catarina e outros.