Aprenda a definição de ângulo, suas classificações, unidades de medida e operações. Aproveite para revisar o conteúdo em vídeo e testar o que aprendeu com exercícios!
Se alguma vez você ficou perdido quando viu uma questão sobre ângulos, chegou no lugar certo. Na segunda aula da série “Aprenda geometria de uma vez por todas” você vai aprender o que é um ângulo, quais suas classificações e unidade de medida. No final ainda tem uma lista de exercícios para você treinar o que aprendeu.
O que são ângulos
Dentre as coisas que podemos medir, temos uma muito importante, que permeia uma série de estudos dentro da geometria. Intuitivamente, vemos ela como a abertura entre duas coisas (nesse caso, retas). A esta abertura damos o nome de ângulo.
Para compreender melhor esse conceito, observe a figura a seguir. Nesta imagem temos duas retas concorrentes (que se encontram em um ponto). O ângulo entre elas será a medida de abertura ou inclinação.
Como você pode observar na imagem anterior, o ângulo foi representado pelo pequeno setor circular em preto, como uma legenda da letra grega α. Sempre que utilizarmos legendas para um ângulo, ou ao dar nome a ele, vamos priorizar o uso de letras gregas, tais como α, β, γ e θ.
Os ângulos são importantes porque a partir deles podemos descrever aberturas menores ou maiores. Veja na imagem a seguir que a abertura entre as retas AB e BC é menor que abertura entre as retas DE e EF. Portanto, o ângulo entre as retas DE e EF será maior.
Entretanto, é importante atentar que o ângulo não depende do tamanho do setor circular, ele é apenas uma representação ilustrativa. Na figura a seguir, temos dois setores circulares de tamanhos diferentes representando o mesmo tamanho de ângulo (ou seja, a mesma abertura):
Unidade de medida dos ângulos
Agora, para atribuir valores a um ângulo, precisamos de uma unidade de medida. Assim como outras unidades de medidas (metros, centímetros etc.) vamos construir uma unidade apropriada. Para isso, nota-se que a maior abertura possível é um círculo completo.
Com esse fato em mente, para criar uma unidade de medida de ângulos, vamos usar como referência um círculo inteiro. A partir do círculo, vamos separá-lo em 360 pedacinhos aos quais daremos o nome de graus, representado pelo símbolo º. Os graus serão a unidade de medida mais comum atribuídas aos ângulos. Eles são uma referência para sabermos o quão aberto ou fechado é um ângulo.
Veja na imagem a seguir alguns exemplos:
Para termos mais precisão na hora de medir um ângulo podemos ainda usar graus de medida não inteira. Por exemplo, da mesma forma que podemos falar em 1 hora e meia, podemos falar em 1 grau e meio. Essas formas “quebradas” de graus, são representadas com números por vírgula. No nosso exemplo temos 1,5º.
Alternativamente, também podemos usar o sistema de minutos e segundos, assim como fizemos com o círculo, dividimos um grau em 60 partes iguais e isso será chamado de minutos. Faça isso mais uma vez, dessa vez com minutos, e essa pequena parte será chamada de segundos.
Ângulos notáveis e classificação
Existem medidas de ângulos que ganham nomes especiais de acordo com seus valores. Vamos ver algumas classificações que podem ser úteis nas provas.
Ângulo reto
Damos o nome de ângulo reto àqueles que têm o valor de exatamente 90º. Esse também é o ângulo que forma as retas perpendiculares.
Ângulo raso
Damos o nome de ângulo raso àqueles que têm o valor de exatamente 180º. Também falamos que eles se referem a meia volta, já que ele é metade de um círculo.
Ângulo completo
O ângulo completo é aquele que tem o valor de exatamente 360º. Também falamos que esses ângulos se referem a uma volta, já que são um círculo inteiro.
Ângulo nulo
Damos o nome de ângulo nulo àqueles que têm o valor de exatamente 0º. Isso ocorre porque, neste caso, a abertura neste caso não existe. Quando não estamos falando no contexto de movimentação, os ângulos rasos e completos são equivalentes.
Ângulos agudos
Ângulos agudos são aqueles que têm valores maiores que 0º e menores que 90º. Alguns exemplos são 30º, 60º, 45º e 1º.
Ângulos obtusos
Os ângulos obtusos são aqueles que têm valores maiores que 90º e menores que 180º. Os valores 100º, 120º, 145º e 170º, por exemplo, são ângulos obtusos.
Ângulos côncavos
Ângulos côncavos são aqueles que têm valores maiores que 180º e menores que 360º. Alguns exemplos são 190º, 210º, 270º e 350º.
Soma e subtração
Assim como números e medidas, podemos fazer a soma e subtração de ângulos. Numericamente, não precisamos nos preocupar com nada de diferente para essas operações, basta realizá-las normalmente mantendo a unidade de medida. Veja alguns exemplos:
- 30º + 30º = 60º
- 10,5º + 79,5º = 90º
- 30º – 10º = 20º
Somar ou subtrair ângulos de maneira geométrica (a partir de figuras) também não é nada complicado. Para somar, basta juntar os extremos das retas. A fim de compreender melhor, observe o exemplo a seguir.
Vamos somar os ângulos de 30º e 90º graficamente:
Como o primeiro ângulo tinha valor de 30º e o segundo ângulo tinha valor de 90º, sabemos que o ângulo resultante terá um valor de 120º.
Para a subtração faremos a mesma coisa, mas dessa vez a o segundo ângulo será “colado” internamente ao primeiro, e retiraremos a parte do segundo do primeiro.
Como o primeiro ângulo tinha medida de 80º e o segundo tinha medida de 20º, sabemos que o ângulo resultante medirá 60º.
Se o resultado for um ângulo negativo (isso acontece se o segundo ângulo for maior que o primeiro), o ângulo ainda terá abertura igual ao resultado, só que para o lado contrário.
Ângulos complementares, suplementares e replementares
Ainda no assunto de somas, podemos classificar dois ângulos se a sua soma for um valor específico. Por exemplo, a soma de 30º e 60º é 90º. Neste caso, falamos que eles são complementares. Vamos ver todas as classificações deste tipo:
Complementares
Quando a soma de dois ângulos for igual a 90º, dizemos que são complementares. Veja alguns exemplos:
- 0º + 90º = 90º
- 1º + 89º = 90º
- 45º + 45º = 90º
Lembre-se que essa classificação se refere a duplas, então só faz sentido se falarmos dos dois ângulos. Assim, 1º é complementar a 89º, 45º é complementar a 45º, 60º é complementar a 30º, etc. Nunca falamos que um ângulo é complementar sem referenciar a sua dupla.
Suplementares
Quando a soma de dois ângulos for igual a 180º, dizemos que são suplementares. Por exemplo:
- 60º + 120º = 180º
- 90º + 90º = 180º
- 0º + 180º = 180º
Replementares
Quando a soma de dois ângulos for igual a 360º, dizemos que são replementares. Veja alguns exemplos:
- 270º + 90º = 360º
- 359º + 1º = 360º
- 180º + 180º = 360º
Bissetriz
A bissetriz de um ângulo é uma reta que o divide pela metade. Intuitivamente, podemos pensar que a bissetriz é um eixo de simetria do ângulo.
Por exemplo: a bissetriz de um ângulo de 60º o divide em dois ângulos aberturas de 30º cada.
Ângulos adjacentes
Se você sabe o significado de adjacência já deve imaginar o significado de ângulos adjacentes. A adjacência tem sentido de coisas que são vizinhas uma à outra. Dessa forma, ângulos adjacentes são vizinhos um do outro. Mais formalmente, dizemos que ângulos adjacentes compartilham pelo menos uma reta
Note que os ângulos formados pela bissetriz são adjacentes um ao outro, já que eles compartilham a bissetriz como reta comum. Da mesma forma, quando somamos ângulos os colocamos um adjacente ao outro.
Videoaula
Se você ainda não assistiu, recomendamos que estude este post acompanhado da videoaula a seguir. Ela é a primeira da série “Aprenda geometria de uma vez por todas”:
Exercícios
Por fim, para finalizar seus estudos, confira a lista de exercícios do Enem e vestibulares:
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