Classificação dos ângulos: medidas, congruência e bissetriz

O ângulo agudo é um ângulo convexo quando 0° < α < 90°. Já o ângulo reto é aquele em que α é igual a 90°. O ângulo é considerado obtuso quando 90° < α < 180°.

Conheça os tipos de ângulos e as diferentes formas de classificar os ângulos, bem como aprender os conceitos de ângulos congruentes e o que é a bissetriz interna de um ângulo.

Você já se deu conta de que a biologia vive classificando os seres vivos? Vou te contar um segredo: na matemática também fazemos muitas classificações! Uma delas é a classificação dos ângulos.

Classificação dos ângulos

Há três maneiras de classificarmos os ângulos. São elas:

  • Classificação quanto às medidas do ângulo;
  • Quanto às posições de um ângulo;
  • E também quanto às somas de um ângulo.

Classificação dos ângulos quanto às suas medidas

Antes de falarmos da classificação de um ângulo quanto às suas medidas, precisamos definir o que é um ângulo côncavo e um ângulo convexo.

Dizemos que um ângulo qualquer é convexo quando sua medida é maior que 0° e menor que 180° (0° < α < 180°).

Por outro lado, dizemos que esse ângulo é côncavo quando sua medida é maior que 180° e menor que 360° (180° < α < 360°).

Por que você precisa saber essa definição? Porque no caso de ângulos convexos, ainda podemos fazer uma distinção mais específica. Veja a seguir:

Ângulo agudo

Ele é classificado agudo quando 0° < α < 90°.

Ângulo reto

Já o ângulo reto é aquele em que α é igual a 90°.

Ângulo obtuso

O ângulo é considerado obtuso quando 90° < α < 180°.

Observe a diferença entre esses ângulos através da imagem abaixo.

tipos de ângulos
Figura 1: o primeiro ângulo é agudo, o segundo reto e o terceiro obtuso.

Perceba que no caso do ângulo reto, ao invés de fazermos um arco para nos referirmos ao ângulo, fazemos um quadrado com um ponto no meio.

Observações
  • é chamado de ângulo raso quando α = 180°;
  • bem como é chamado de ângulo nulo quando α = 0°;
  • por outro lado é chamado de ângulo completo (ou ângulo de uma volta) quando α = 360°;
  • Não existe classificação quanto à medida dos ângulos no caso de ângulos côncavos.

Beleza! Agora você já sabe a classificação dos ângulos através das suas medidas. O próximo passo é falarmos da classificação quanto às suas posições. Mas segura um pouco a curiosidade que já chegaremos lá! Antes, precisamos falar sobre a congruência de dois ou mais ângulos.

O que são ângulos congruentes?

Congruência, de um modo geral, significa algo que seja parecido, que faça sentido. No caso dos ângulos, quando dizemos que dois ou mais ângulos são congruentes, significa que os ângulos possuem mesma medida.

Em outras palavras, dizemos que dois ângulos são congruentes se, e somente se, possuírem a mesma medida.

Da definição acima podemos dizer que se dois ângulos possuem a mesma medida, então esses ângulos são congruentes.

Preste bastante atenção: congruência não significa que os ângulos são iguais, significa apenas que os ângulos possuem a mesma medida. A diferença é sutil, mas relevante!

Outro ponto de atenção é o seguinte: a notação para congruência na matemática é ≡. Veja a imagem abaixo.

congruencia de tipos de angulos
Figura 2: Representação de dois ângulos AÔB e MÔN, ambos com medidas de 60°.

Perceba que os dois ângulos possuem a mesma medida, logo, podemos dizer que eles são congruentes e escrevemos AÔB ≡ MÔN . Não podemos dizer que os dois ângulos são iguais pois as semirretas que formam cada ângulo são diferentes.

Fique ligado/a porque em trigonometria é bastante comum aparecer a expressão “arcos côngruos”, que não significa arcos com a mesma medida, mas que ocupam a mesma posição no ciclo trigonométrico.

Exemplos de ângulos congruentes

Nesse ponto da matéria você deve estar se lembrando de questões com o seguinte formato: dados dois ângulos com medidas 2x – 30° e x + 20° , sabendo que esses ângulos são congruentes, qual o valor de um deles?

Neste caso, para resolver um exercício desse tipo, basta igualarmos as medidas dadas e resolvermos a equação gerada, da seguinte forma:

2x – 30° = x + 20°

Assim 2x – x = 20° + 30°

Portanto x = 50°.

Encontrado o valor do x, para encontrarmos a resposta do exercício, basta substituir este valor em qualquer uma das medidas, conforme abaixo:

x + 20° = 50°.

Ou seja x = 70°.

Assim, o resultado é 70°. Agora, substitua o valor de x na outra medida e comprove você mesmo o valor de 70°.

E aí, achou difícil? Um outro conceito importante que envolve ângulos é o conceito de bissetriz de um ângulo.

Bissetriz interna de um ângulo

A bissetriz interna de um ângulo é a semirreta interna ao ângulo, cuja origem coincide com o vértice do ângulo e que divide este em dois ângulos congruentes.

Simples assim, não acha? Veja a imagem abaixo para clarear as ideias.

bissetriz
Figura 3: Representação do ângulo AÔB, com medida de 40° e bissetriz (OP) ⃗.

A semirreta é a bissetriz interna do ângulo AÔB, pois divide o mesmo em dois ângulos congruentes, AÔP e BÔP , cujas medidas valem 20°. Agora que aprendemos sobre a bissetriz, voltemos a classificação de ângulos.

Classificação quanto às posições

Neste caso, dados dois ângulos α e ß quaisquer, dizemos que:

  • α e ß são ângulos consecutivos quando possuem um lado em comum (uma semirreta em comum) e possuem pontos interiores em comum;
  • Bem como α e ß são ângulos adjacentes quando possuem um lado em comum (uma semirreta em comum) e não possuem pontos interiores em comum;
  • α e ß são ângulos opostos pelo vértice (OPV) quando os lados de um dos ângulos são as semirretas opostas dos lados do outro ângulo.

Veja cada um desses ângulos na imagem abaixo:

angulos adjacentes e opostos
Figura 4: Na figura mais à esquerda estão representados ângulos consecutivos. Na figura do meio estão representados ângulos adjacentes e, na figura mais à direita, estão representados ângulos opostos pelo vértice.

Perceba na figura à esquerda que os ângulos BÔC e BÔA são consecutivos pois possuem o lado  em comum e o ponto P está no interior de ambos.

Já, na figura do meio, os ângulos AÔC e AÔB são adjacentes pois por mais que possuam o lado  em comum, não possuem nenhum ponto interior em comum.

Por fim, na figura da direita, perceba que as semirretas opostas geram dois pares de ângulos opostos pelo vértice ( AÔB e CÔD, AÔD E BÔC).

Aqui, vale ressaltar que ângulos opostos pelo vértice são congruentes. No exemplo da imagem acima temos então que  AÔB ≡ CÔD e AÔD ≡ BÔC .

Resta então aprofundarmos nosso estudo através da classificação dos ângulos quanto às suas somas.

Classificação dos ângulos quanto às somas

Dados dois ângulos α e ß quaisquer, dizemos que:

  • são ângulos complementares quando α + ß = 90°;
  • α e ß são ângulos suplementares quando α + ß = 180°;
  • são ângulos replementares quando α + ß = 360°;
  • α e ß são ângulos explementares quando |α – ß| = 180°.

Veja cada um dos casos acima na imagem abaixo.

ângulos complementares
Figura 5: Da esquerda para a direita: representação de dois ângulos complementares, suplementares e replementares.
ângulos explementares
Exemplo de ângulo explementar.

A classificação quanto à soma foi feita através de dois ângulos, mas e se tivermos apenas um ângulo, como fazemos?

Considere neste caso um ângulo x qualquer. Temos então que:

  • O complemento de x é representado por 90° – x;
  • Já o suplemento de x é representado por 180° – x;
  • Por fim, o replemento de x é representado por 360° – x.

A classificação dos ângulos quanto à soma é bastante frequente em exercícios de vestibular. Vamos a um exemplo para fixar as ideias:

Exercício resolvido

Sabendo que o replemento de um ângulo é igual à terça parte do seu complemento, quanto vale esse ângulo?

Neste caso, resolvemos da seguinte maneira:

Seja x o nosso ângulo de interesse. Pelo enunciado temos que:

  • 360° – x é o replemento do ângulo
  • é a terça parte do complemento do ângulo

Agora, para encontrarmos o valor do ângulo, fazemos:

exercício classificação dos ângulos

Gostou do conteúdo e quer ver uma videoaula? Acesse então a aula do professor Ferretto:

Por fim, pratique o conteúdo com os exercícios abaixo:

Questão 1 (IFSP – 2015)

Na tirinha abaixo, observe que Calvin está “tentando” resolver a questão 1 apresentada na figura.

exercicio de ângulos

É correto afirmar que o resultado que Calvin deve encontrar é

a) 168°.

b) 120°.

c) 48°.

d) 24°.

e) 20°.

Questão 2 (EEAR – 2016)

Os ângulos A e B são congruentes. Sendo  = 2x + 15° e B = 5x – 9°. Assinale a alternativa que representa, corretamente, o valor de x

a) 2°.

b) 8°.

c) 12°.

d) 24°.

Questão 3 (CFTSC – 2010)

Na figura abaixo, OP é bissetriz do ângulo AÔB Determine o valor de x e y.

exercício de bissetriz

a) x = 13 e y = 49

b) x = 15 e y = 35

c) x = 12 e y = 48

d) x = 17 e y = 42

e) x = 10 e y = 50

Questão 4 (CFTMG – 2017)

Sejam dois ângulos x e y tais que 2x e y = 10°. são ângulos complementares e 5x e 3y – 40°  são suplementares. Portanto, o ângulo x mede

a) 5°.

b) 10°.

c) 15°.

d) 20°.

Gabaritos:

  1. A
  2. B
  3. E
  4. D

Sobre o(a) autor(a):

Letícia Figueredo de Carvalho é graduada em Matemática Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Atua na área educacional desde 2013, trabalhando como analista de conteúdo, professora de matemática e monitora de disciplina, atuando em diversos níveis de ensino. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/leticia-figueredo-de-carvalho/.

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