Aprenda várias manhas para mandar bem nas questões de geometria analítica do Enem! Você vai entender como calcular o ponto médio, a mediatriz e a distância entre ponto e reta.
Na geometria analítica temos muitas ferramentas que nos ajudam na hora de resolver exercícios. Nesta aula, veremos algumas delas incluindo: a fórmula do ponto médio, a equação da mediatriz e fórmulas de distância entre pontos e retas.
Ponto médio de um segmento de reta
Como o nome já revela, o ponto médio é o ponto que está exatamente no meio de um segmento de reta. Como um segmento de reta pode ser definido por dois pontos, o ponto médio pode também ser estudado em relação a dois pontos.
Para pontos quaisquer A e B, o ponto médio será aquele que tem a mesma distância para ambos os pontos e que também pertence à reta definida pelos pontos A e B.
O método para calcular o ponto médio entre dois pontos é muito simples. Dados os pontos A = (x1, y1) e B = (x2, y2), para calcularmos as coordenadas do ponto médio, basta fazermos a média aritmética das coordenadas x e a média aritmética das coordenadas y. Podemos até escrever as coordenadas do ponto médio entre os pontos A e B pela fórmula:
Exemplo: encontre as coordenadas do ponto médio entre os pontos A = (2, 1) e B = (8, 2).
Este exemplo é uma aplicação direta da fórmula. Vamos fazer a média aritmética das coordenadas x (que são 2 e 8) e das coordenadas y (que são 1 e 2). Aplicando temos:
Observação: note que a segunda vírgula nas coordenadas do ponto M se refere à casa decimal do número 1,5, enquanto a primeira vírgula faz a função de separar as coordenadas x = 5 e y = 1,5.
Introdução sobre geometria analítica
Antes de seguir com a aula, relembre o básico sobre geometria analítica com a videoaula introdutória do professor Lucas no nosso canal:
Mediatriz
Vimos logo acima que o ponto médio é aquele que tem a mesma distância para dois outros pontos e que também está na reta definida por estes dois pontos. Entretanto, podemos encontrar infinitos pontos que têm a mesma distância para dois pontos A e B quaisquer. Veja na imagem:
Na figura vemos 3 outros pontos que têm a mesma distância para os pontos A e B, mas que não estão na reta definida por A e B. O único que pertence a essa reta é o ponto médio M.
Para dois pontos A e B, podemos dizer que a mediatriz é a reta que contém todos os pontos equidistantes de A e B. Assim, os pontos representados na imagem fariam parte da mediatriz entre A e B. Também podemos definir que a mediatriz é uma reta perpendicular a este segmento que passa pelo ponto médio.
Sendo um segmento de reta, faz sentido nos perguntarmos qual equação desta reta especial. Supondo que tenhamos dois pontos A e B e queremos encontrar a mediatriz, podemos fazer o seguinte:
- Encontrar a equação da reta r que passa pelos pontos A e B;
- Descobrir o ponto médio M aos pontos A e B;
- Encontrar a equação da reta perpendicular à reta r que passa pelo ponto M.
Equação da mediatriz
Felizmente, podemos reduzir este processo para um modelo de equação. Dado dois pontos A = (x1, y1) e B = (x2, y2), ou um segmento definido pelos pontos A e B, a equação da mediatriz destes dois pontos será dada por:
Nesse modelo, a primeira fração representa o coeficiente angular da reta, enquanto as outras duas representam as coordenadas x e y respectivas do ponto médio. Lembrar dessas características deixa mais fácil memorizar um modelo de fórmula tão extenso: uma fração entre as variações das coordenadas e duas médias aritméticas das mesmas.
Exemplo: encontre a mediatriz dos pontos (1, 1) e (3, 5).
Como temos os dois pontos e suas coordenadas, podemos fazer uma aplicação direta do modelo e substituir nossas coordenadas.
Simplificando, obtemos a equação da mediatriz:
2x + y – 7 = 0
Distância entre ponto e reta
Da mesma forma que podemos calcular a distância entre dois pontos, podemos calcular a distância entre um ponto e uma reta. Quando falamos da distância entre ponto e reta, sempre estaremos nos referindo à menor distância possível. Isto é, calcularemos a distância entre um ponto e outro ponto pertencente à reta mais próxima do ponto inicial. Veja na imagem:
No caso da figura anterior, a distância entre o ponto A e a reta r será a distância entre A e B, já que ela é a menor distância entre A e qualquer ponto de r (veja como a distância entre A e C é claramente maior).
Veja também como a reta AB é perpendicular à reta BC. Isso acontece porque a reta que contém a menor distância entre um ponto e uma reta sempre formará um ângulo de 90º com a reta. Sabendo disso, podemos encontrar esse ponto usando propriedades de perpendicularismo entre retas e calcular a menor distância. Entretanto, podemos reduzir os procedimentos a uma fórmula simples.
Considerando um ponto A = (x1, y1) e uma reta r: ax + bx + c = 0, a distância entre o ponto A e a reta r será:
É importante notar que se o ponto pertencer à reta, a distância entre o ponto e a reta será 0 e é possível verificar isso através da fórmula.
Distância entre duas retas
Para falar sobre a distância entre duas retas precisamos, primeiramente, lembrar que duas retas sempre são concorrentes ou paralelas.
Para duas retas concorrentes, a distância entre essa dupla será sempre 0. Já para retas paralelas, a distância será aquela de uma parte dos pontos presentes em ambas as retas que fornecem uma distância mínima.
De forma similar à distância entre ponto e reta, veremos que a reta que contém a distância entre duas retas é perpendicular a ambas as retas. Veja na imagem:
Veja que na figura acima os segmentos AB e DE medem o mesmo e eles são os menores segmentos entre estas duas retas, portanto, eles serão sua distância. Diferente do segmento AC, que não é a distância entre as retas, eles formam ângulos de 90º com as respectivas retas.
Dessa forma, se quisermos calcular a distância entre duas retas, primeiro verificamos se elas são retas concorrentes. Em caso positivo, sua distância será 0. Caso contrário, podemos escolher um ponto qualquer em uma das retas e aplicar a distância deste ponto com a outra reta usando a fórmula estudada anteriormente.
Aplicando essa fórmula, estaremos calculando a menor distância entre o ponto e a reta, que será a menor distância entre as retas paralelas.
Exemplo
Calcule a distância entre as retas r: 3x – 3y + 6 e s: x – y = 0.
Para resolver esse exemplo, primeiramente, vamos verificar se essas retas são concorrentes ou paralelas. Como a equação da reta está na forma geral, vamos verificar se a razão dos coeficientes a e b é a mesma. Se elas forem, sabemos que as retas são paralelas. Veja:
Observe que o resultado é p mesmo. Portanto, 
e as retas são paralelas. Dessa fórmula, vamos encontrar um ponto qualquer em r e calcular a distância dele até s. Veja que o ponto A = (-2, 0) pertence a r, já que (3 . -2) – 3 . 0 + 6 = -6 + 6 = 0. Assim, utilizaremos A para as nossas contas. Aplicando a fórmula vista anteriormente temos:
Racionalizando o resultado obtemos:
Exercícios sobre ponto médio, mediatriz e distância entre ponto e reta
.
