Aprenda sobre as posições relativas das retas na geometria analítica e confira exemplos resolvidos. No final da aula revise o conteúdo com uma videoaula e lista de exercícios.
A posição relativa entre retas é uma característica muito relevante no estudo da geometria analítica. Da mesma forma que podemos descrever a posição entre dois objetos – acima, abaixo, etc – podemos também usar termos específicos para descrever a posição entre duas retas.
Na geometria analítica o estudo dessas posições se torna ainda mais interessante, já que teremos alguns resultados acerca das equações das retas dependendo de suas posições relativas.
Retas concorrentes
Dizemos que duas retas são concorrentes quando elas têm um único ponto em comum. Sendo assim, podemos entender que duas retas são concorrentes quando elas se cruzam em um único ponto. Veja um exemplo na imagem a seguir:
Dessa forma, para que elas se encontrem, o ponto de encontro deve pertencer a ambas as retas. No contexto de geometria analítica, um ponto pertencer a uma reta significa que o seu par de coordenadas (x, y) é solução para a equação da reta. Assim, duas retas são concorrentes se existir um único ponto cujas coordenadas sejam soluções para as equações de ambas as retas.
Por exemplo, sabemos que a reta r de equação r: 3x – 2 = y e a reta s de equação s: x = y são concorrentes, já que em ambas podemos substituir as variáveis x e y pelas coordenadas (1,1) e as equações se mantêm verdadeiras. Veja só:
3x – 2 = y ⇒ 3 . 1 – 2 = 1 ⇒ 3 – 2 = 1 ⇒ 1 = 1
x = y ⇒ 1 = 1
Como ambas as equações se mantiveram verdadeiras após a substituição – se manter verdadeira significa que não chegamos em um absurdo, como, por exemplo, 1 ser igual a 0 –, sabemos que elas têm um ponto em comum e, portanto, são concorrentes.
Retas com todos os pontos em comum
Aqui é importante notar que também seria necessário verificar se existe algum outro ponto nas retas em que elas se encontram. Isso poderia ser feito encontrando um ponto em uma das retas e verificando se ele pode ser substituído na segunda.
Se um segundo ponto for encontrado, sabemos que essas retas não são concorrentes, já que definimos que retas são concorrentes quando elas possuem apenas um único ponto em comum.
Ainda é importante notar que quando duas retas possuem dois ou mais pontos em comum, sabemos que ambas as retas possuem todos os pontos em comum. Isto é, duas retas não podem se cruzar mais de uma vez.
Tente verificar usando o ponto (2,2), você verá que ele pertence a uma das retas, mas não pertence à outra.
Felizmente, temos uma forma de facilitar este processo. Para isso, vamos fazer uma análise das equações de nossas retas. Entretanto, a análise irá depender do tipo de equação de reta estamos trabalhando, equação geral ou equação reduzida.
Retas concorrentes pela equação geral
Considerando as equações gerais das retas r dada por a1x + b1y + c1 = 0 e s dada por a2x + b2y + c2 = 0, sabemos que as retas r e s são concorrentes se a seguinte desigualdade for verdadeira:
Ou seja, duas retas são concorrentes quando a razão entre os coeficientes “a” e a razão entre os coeficientes “b” forem diferentes. Veja a aplicação desse princípio no exemplo a seguir.
Exemplo: verifique se as retas das equações 3x + 5x + 3 = 0 e -6x + 6y = 0 são concorrentes.
Vamos calcular as razões necessárias:
Como essas razões possuem valores diferentes, sabemos que as retas em questão são concorrentes.
Retas concorrentes pela equação reduzida
Considerando as equações reduzidas das retas r dada por a1x + b1 = y e s dada por a2x + b2 = y, sabemos que as retas r e s são concorrentes se a seguinte desigualdade for verdadeira:
a1 ≠ a2
Ou seja, duas retas são concorrentes se os seus coeficientes angulares (os coeficientes “a”) em suas equações reduzidas forem diferentes. Veja:
Exemplo: verifique se as retas dadas pelas equações 2x + 2 = y e x + 3 = y são concorrentes.
Note que a1 = 2 e a2 = 1. Como a1 e a2 são diferentes, então as retas em questão são concorrentes.
Retas concorrentes perpendiculares
Retas concorrentes perpendiculares são aquelas que formam ângulos de 90º no ponto de encontro. Observe na imagem a seguir:
Quando partimos para um estudo analítico, teremos relações especiais que acontecem com as equações de retas perpendiculares. Mais uma vez, vamos separar nossa análise pelo tipo de equação.
Perpendiculares pela equação geral
Considerando as equações gerais das retas r dada por a1x + b1y + c1 = 0 e s dada por a2x + b2y + c2 = 0, sabemos que a posição relativa entre as retas r e s é perpendicular se elas forem concorrentes e uma das seguintes duplas de igualdades forem verdadeiras:
- a1 . a2 = 1
- b1 . b2 = -1
ou
- a1 . a2 = -1
- b1 . b2 = 1
Perpendiculares pela equação reduzida
Considerando as equações reduzidas das retas r dada por a1x + b1 = y e s dada por a2x + b2 = y, sabemos que as retas r e s são perpendiculares se elas forem concorrentes e a seguinte igualdade for satisfeita:
a1 . a2 = -1
Alternativamente, a igualdade pode ser reescrita das duas seguintes maneiras:
Retas paralelas
Duas retas são consideradas paralelas se elas não tiverem nenhum ponto em comum, isto é, não existem encontros ou intersecções em toda extensão de ambas. Entretanto, também diremos que retas são paralelas se TODOS os seus pontos são pontos em comum. De forma intuitiva, podemos entender que neste caso as retas são iguais.
No primeiro caso, diremos que elas são retas paralelas distintas, já no segundo caso, diremos que elas são retas paralelas coincidentes. Em provas, você pode encontrar a seguinte notação r//s, onde r e s são retas. Essa simbologia significa que r e s são retas paralelas. Veja na representação a seguir:
Da mesma maneira que nas retas concorrentes, podemos verificar que suas retas são paralelas utilizando geometria analítica. Basta fazermos uma análise de suas equações.
Antes de partir para as equações, confira a videoaula do professor Lucas sobre a posição relativa entre retas paralelas:
Retas paralelas pela equação geral
Considerando as equações gerais das retas r dada por a1x + b1y + c1 = 0 e s dada por a2x + b2y + c2 = 0, sabemos que as retas r e s são paralelas distintas se elas não forem paralelas coincidentes e a seguinte igualdade for verdadeira:
Adicionalmente, elas serão paralelas coincidentes se a seguinte igualdade for verdadeira:
Retas paralelas pela equação reduzida
Considerando as equações reduzidas das retas r dada por a1x + b1 = y e s dada por a2x + b2 = y, sabemos que as retas r e s são paralelas distintas se não forem paralelas coincidentes e a seguinte igualdade for satisfeita:
a1 = a2
Adicionalmente, diremos que duas retas são paralelas coincidentes se a seguinte dupla de igualdades for satisfeita:
a1 = a1e b1 = b2
Exercícios sobre posição relativa entre retas
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