Probabilidade de união e intersecção de eventos

Você que está estudando para o Enem já se deparou com diversos conteúdos e muitos deles envolvem conjuntos. Na parte da probabilidade não é tão diferente, afinal, um agrupamento de elementos nada mais é do que um conjunto. Ao determinarmos a possibilidade de ocorrer um evento A ou um evento B, também temos que calcular a probabilidade da união entre esses dois eventos, e então, mais uma vez, relembramos conceitos dos conjuntos, como união e intersecção. Nessa aula, você vai entender um pouco melhor sobre como são calculadas as probabilidades nesses casos.

Probabilidade da intersecção de dois eventos

Matematicamente falando, a probabilidade da união de dois eventos é igual à soma das probabilidades de ocorrência de cada um dos eventos, subtraída da probabilidade da ocorrência dos dois eventos simultaneamente. O que esse tanto de palavra complicada significa?

Bem, nada melhor do que um bom desenho para exemplificar o que o enunciado acima significa. Sendo assim, sejam dois eventos A e B, dados abaixo pelos círculos vermelho e azul, respectivamente, qual a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B?

A probabilidade de que ocorra o evento A é representada por toda região em vermelho na imagem, e é dada por P (A).

Já a probabilidade de que ocorra o evento B, é representado na imagem pela região em azul, e é dada por P (B).

Mas também existe a probabilidade de que ocorra um evento que está na intersecção entre os eventos A e B, representada na imagem pela cor cinza. E como se trata da intersecção entre dois eventos, a probabilidade é dada por P (A ∩ B).

Logo a probabilidade da união de dois eventos pode ser dada pela fórmula matemática:

Onde

Vamos ver um exemplo para entender como essa fórmula funciona na prática?

Exemplo: Em uma caixa existem 15 bolinhas. Elas contêm os números de 1 a 15. Ao retirar uma bola ao acaso, qual a probabilidade de o número ser múltiplo de 3 ou de 5?

Para solucionar o exemplo, devemos levar em consideração o espaço amostral S, dado pelo conjunto de todas as bolinhas possíveis, ou seja, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}.

Agora, utilizando a fórmula da probabilidade da união de dois eventos, temos:

(P) A = probabilidade de o número ser múltiplo de 3;

Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15

Pois existem 5 múltiplos de 3 em um conjunto de 15 elementos.

(P) B = probabilidade de o número ser múltiplo de 5;

Múltiplos de 5: 5, 10, 15

Pois existem 3 múltiplos de 5 em um conjunto de 15 elementos.

P (A ∩ B) = probabilidade de o número ser múltiplo de 3 e 5. Múltiplos de 3 e de 5: 15.

Pois o único múltiplo de 3 e de 5 simultaneamente é o número 15.

Ou seja, a probabilidade de que a bolinha retirada da caixa tenha um número múltiplo de 3 ou de 5 é de.

Probabilidade da união de dois eventos

Este foi um exemplo de quando existe a intersecção entre dois conjuntos, porém, existem casos onde não ocorre a intersecção. Se não há a possibilidade de dois eventos ocorrerem simultaneamente, então a probabilidade da união de A com B será dada por:

Pois

Exemplo: Ao lançarmos um dado, qual a probabilidade de sair um número menor do que 2 ou um número par?

Lançamento de dado requer que tenhamos um conjunto dado por S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

P (A) = número menor do que 2: 1

P (B) =número par: 2, 4, 6

Você percebeu que

Isso ocorre porque nenhum elemento faz parte de A e de B ao mesmo tempo. Assim:

E então? O que achou dessa aula? Mais simples do que parece, não é mesmo?

Veja agora esta videoaula sobre probabilidade de união e intersecção de eventos e acabe com qualquer dúvida que tenha restado:

Exercícios:

Questão 1 – (UNCISAL/2018)    

Em uma reunião na Secretaria de Saúde de certo município, reuniram-se 28 profissionais da Medicina, (dos quais 18 são mulheres), 27 profissionais da Enfermagem (dos quais 10 são mulheres), e 72 Agentes de Saúde (dos quais 53 são mulheres). Um dos participantes dessa reunião foi sorteado para lavrar a ata da reunião. Sabendo que a pessoa sorteada é mulher, a probabilidade de ela ser médica é igual a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Questão 2 – (FAMEMA SP/2018)    

Em um curso para profissionais da saúde, há 25 alunos, dos quais 16 são mulheres. Entre as mulheres, 12 têm curso de especialização e, entre os homens, 8 têm curso de especialização. Sorteando-se aleatoriamente dois alunos desse curso, a probabilidade de eles serem de sexos diferentes e pelo menos um deles ter curso de especialização é

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Questão 3 – (ESPM SP/2018)    

Um dado em forma de cubo tem suas faces numeradas de 1 a 6. Outro dado, em forma de octaedro regular, tem suas faces numeradas de 1 a 8. Jogando-se esses dois dados, a probabilidade de que o número obtido no cubo seja maior que o número obtido no octaedro é:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GABARITO:

1 – A

2 – E

2 – C