Produto Cartesiano

Você já deve estar craque em operações entre conjuntos não é mesmo? Mas aqui no Blog do Enem sempre tem algo a mais para você aprender. Vamos descobrir juntos?

Trabalhar com conjuntos na matemática parece algo bastante abstrato se você não fizer conexões com seu dia a dia. Mas, a parte sobre conjuntos é algo que você aprende no ensino fundamental e caminha contigo pelo resto da vida. Hoje você vai aprender um pouquinho mais sobre o produto cartesiano, que pelo nome, parece não ter nenhuma ligação com as teorias de conjuntos.

Na verdade, o produto cartesiano pode ser visto como um tipo de operação entre conjuntos. Mas preste atenção! Não vale confundir o que é conjunto e o que é elemento! Então, “bora” distinguir essas palavrinhas matemáticas umas das outras?

produto cartesiano e elementos

Produto Cartesiano e exemplos

Chamamos de produto cartesiano o conjunto de todas as possibilidades de relações entre os elementos do conjunto de partida e os elementos do conjunto de chegada. Ou seja, o produto cartesiano é o conjunto de todos os pares ordenados, cujo primeiro termo pertence a A e o segundo termo pertence a B. Mas, quem são esses conjuntos de partida e de chegada? Vamos usar uma imagem para entender melhor.

exemplo de plano cartesiano

Consideramos o conjunto A como sendo A = {1, 2, 3} e o conjunto B = {-1, 0, 1}. Os três elementos do conjunto A podem se relacionar de diversas formas com os três elementos do conjunto B, e por isso vamos considerar o conjunto A como sendo o conjunto de partida e o conjunto B, o de chegada.

ligações em planos cartesianos

Todo esse emaranhado de relações pode ser expresso por extenso (imagine se fossem mais do que 3 elementos em cada conjunto, o tamanho da confusão), através de um novo conjunto, indicado por A x B, cujos elementos serão chamados de pares ordenados.

Esses pares ordenados são formados pelos elementos de A e de B, ou seja, o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo elemento pertence ao conjunto B.

Veja como exemplo, a relação dada pela primeira seta preta.

relação em pares ordenados plano cartesiano

O par ordenado resultante desta relação é o (1,-1) onde

exemplos de plano cartesiano

Então, se escrevermos um conjunto dado por A x B, onde todos os elementos são dados por pares ordenados que estabelecem uma relação entre os conjuntos A e B, temos:

A X B = { (1,-1) ; ( 1,0) ; (1,1) ; (2,-1) ; (2,1) ; (3,-1) ; (3,0) ; (3,1) }

O número de elementos dos conjuntos A e B pode ser expresso por n (A) e n (B). Como o conjunto A possui 3 elementos (n(A) = 3) e o conjunto B possui também 3 elementos (n(B) = 3) , o produto cartesiano A x B é um conjunto que possui 9 elementos ( n(A x B) =9), e esses elementos são os pares ordenados.

Importante: Perceba que mesmo levando o nome de produto, os elementos do conjunto A não são multiplicados pelos elementos do conjunto B, mas sim formam pares ordenados.

É imprescindível que você saiba qual a ordem em que aparecem os elementos dentro do par ordenado, pois isso é determinado por qual dos conjuntos é o conjunto de partida. Veja, por exemplo, se invertêssemos a ordem, determinando o conjunto B como sendo o conjunto de partida e o conjunto A como sendo o conjunto de chegada.

pares ordenados e produto cartesiano

O produto cartesiano nesse caso seria dado por

B X A = { (-1,1) ; (-1,2) ; (-1,3) ; (0,1) ; (0,2) ; (0,3) ; (1,1) ; (1,2) ; (1,3) }

Note que os elementos (pares ordenados) do produto cartesiano A x B são diferentes dos elementos do produto cartesiano B x A.

Podemos representar um produto cartesiano através de um axioma, ele é escrito dessa forma:

Lê-se: o produto cartesiano de A x B é igual ao par ordenado (x, y) tal que x pertence ao conjunto A e y pertence ao conjunto B.

Agora, para finalizar sua revisão de produto cartesiano, veja esta aula do canal “Pense Matemática”

Gostou dessa explicação? Que tal dar fazer uns exercícios para ter certeza que não restou dúvida alguma?

Questão 01)

Sejam os conjuntos:

Então o número de elementos do produto cartesiano  é igual a:

a) 2.

b) 4.

c) 6.

d) 8.

e) 9.

Gab: B

Questão 02)

Com os elementos (0,2), (1,4) (1,5) e (2,6), que são alguns dos elementos do produto cartesiano M x N, é possível determinar os conjuntos M e N. Com base nestes dados, assinale o que for correto.

Gab: 3.

Sobre o(a) autor(a):

Os textos e exemplos de apresentação desta aula foram preparados pela professora Andréia Zanchetti para o Blog do Enem. Andréia é formada em Matemática pelo IFRS e possui mestrado pela FURG.