Progressão geométrica (PG): o que é e como calcular

A Matemática se apresenta em nossas vidas de várias formas, desde o modo de nos organizarmos até nas brincadeiras de crianças. Ela está tão presente no cotidiano que às vezes nem percebemos. Ao longo desta aula você vai entender como até a progressão geométrica está presente nas nossas vidas.

Podemos dizer que a influência da Matemática no cotidiano começa quando começamos a contar. Aprendemos essa competência a partir de coisas simples, como contar nos dedos os números 1, 2, 3, 4, 5 e, quando nos damos conta, já temos o conceito do infinito.

Essas sequências numéricas são as primeiras noções formais do estudo da Matemática e podem ser apresentadas através dos conjuntos numéricos: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais.

Entretanto, neste momento, vamos apresentar outra forma de representar uma sequência numérica: através das progressões geométricas, também conhecidas como PG.

O que é uma progressão geométrica

Como afirmamos acima, uma progressão geométrica é uma sequência. Entretanto, essa sequência tem uma característica própria: seus termos, a partir do segundo, são iguais ao produto do termo anterior por um valor constante. A esse valor constante damos o nome de “razão”.

Para calcularmos a razão de uma PG, usamos sua definição:

Onde:

• q é a razão.
• a é um termo qualquer onde os índices indicam a ordem, isto é, a₁ é o primeiro termo, a₂ é o segundo termo e assim em diante.

A progressão geométrica é conhecida como PG e é definida como uma sequência que obedece a seguinte condição:

Os números a e q são números reais e q é a razão da progressão geométrica.

Para melhor entendimento, vamos mostrar alguns exemplos de progressões geométricas.

Exemplo de progressão geométrica

Dado o conjunto A = {2,4,8,16,32,64…}, calcule a razão da PG representada por ele.

Observe que:

Se você continuar a testar, usando o termo sucessor dividido pelo termo antecessor e o valor da razão der sempre o mesmo temos, uma progressão geométrica.

Classificação das progressões geométricas

As progressões geométricas podem ser classificadas como:

• Crescentes: a PG tem uma razão sempre positiva e maior que 1, como em nosso exemplo anterior.
• Decrescentes: os termos da sequência são decrescentes, portanto, o sucessor será menor que o antecessor. A razão pode ser sempre positiva e diferente de zero.
• Constante: os termos da sequência são todos iguais.
• Oscilantes: os termos da sequência são diferentes de zero e dois termos consecutivos tem sinais diferentes. A razão dessa sequência é negativa e diferente de zero.

Tenha cuidada com as progressões geométricas oscilantes. Elas são bem exploradas no Enem e em provas de vestibulares.

Cálculo do termo geral da PG

O termo geral de progressão geométrica pode ser expresso através de uma expressão algébrica que nos garante o cálculo de qualquer termo que falte para a resolução de um problema.

A expressão algébrica que representa o termo geral da PG é:

a_n = a₁  q^(n-1)

O que representa cada termo?

• a_n é o termo que queremos encontrar.
• n é o número do termo da PG.
• q é o valor da razão da PG.
• a₁ é o primeiro termo da PG.

Voltando ao conjunto A = {2,4,8,16,32, 64, …}, você saberia qual é o valor do 12º termo dessa PG?

Primeiramente vamos ver o que já temos:

a₁ = 2

q = 2 (já calculamos no exemplo anterior)

Então é só calcular a₁₂ por meio da fórmula a_n = a₁  q^(n-1). Substituindo os valores que temos nessa expressão, temos:

a₁₂ = 2.  2 ^{(12 – 1)}

Lembre-se que primeiramente resolvemos a potência para depois multiplicar pela razão 2, ou aplicamos as propriedades de potência:

a₁₂ = 2.  2 ¹¹

Aplicamos propriedades de produto de potência de mesma base, ou seja, conservamos a base e somamos os expoentes:

a₁₂ = 2 ¹²

Calculamos a potência e temos o 12º termo de nossa PG:

a₁₂ = 4096

Soma de termos de uma progressão geométrica

As questões mais exploradas no Enem e em vestibulares envolvem a soma de termos de uma progressão geométrica.

Vamos à expressão que a representa:

Nessa expressão temos que:

• S_n representa a soma de termos.
• n é o número de termos que queremos determinar.
• a₁ é o primeiro termo da progressão geométrica.
• q representa a razão da progressão geométrica.

Como podemos usar essa expressão? Nada melhor que observarmos e compreendermos um exemplo, não é mesmo?

Exemplo de soma dos termos de uma PG

Qual a soma dos 4 termos da PG (3,6,12,24)?

Primeiramente, vamos analisar o que temos para resolver o exercício:

O que sabemos é o seguinte:

• S_n = precisamos calcular.
• n = 4
• a₁ = 3
• q = não temos esse valor ainda. Precisamos calcular primeiro.

Calculando a razão:

Em seguida, determinamos a soma dos termos substituindo os valores na fórmula:

Depois disso, calculamos a potência e resolvemos os parênteses, e o denominador:

Por fim, multiplicamos:

Portanto, a soma dos 4 primeiros termos da progressão geométrica é 45.

Soma dos termos de uma progressão geométrica infinita

Em uma progressão geométrica infinita, a expressão algébrica da soma dos termos é:

A linguagem matemática é a mesma aqui, então vamos diretamente a um exemplo prático.

Dada a progressão geométrica Infinita PG= (3,1,…), calcule:

a) A razão da PG:

Aplicando a expressão para o cálculo da razão, temos:

b) A soma dos termos dessa progressão geométrica:

Vamos usar a expressão definida para progressões geométricas infinitas e substituir os termos:

Resolvendo o denominador, fazendo o mínimo múltiplo comum, temos:

Usando a divisão de frações: mantemos o numerador e multiplicamos pelo inverso do denominador:

Pronto! A soma progressão geométrica infinita está calculada.

Videoaula

Assista ao vídeo do professor Lucas sobre progressões geométricas e revise o conteúdo:

Exercícios sobre progressão geométrica

Resolva os exercícios sobre progressão geométrica e para você estar bem preparado para a prova!

1- (OBMEP – IMPA)

Os números a, b, 1/3, 1/9, c, d, e, f formam, nessa ordem, uma PG. Calcule o valor do termo f.

a) 1/234

b) 1/326

c) 2/231

d) 1/729

e) 2/789

2- (Famema – 2019)

A progressão aritmética (a1, a2, a3, …) tem razão 2 e os termos a1, a2e a5 formam, nesta ordem, uma progressão geométrica. A razão da progressão geométrica é
a) 1.
b) 2.
c) 5.
d) 4.
e) 3.

3- (PUC-RIO 2008)

Na sequência (1, 3, 7,…), cada termo é duas vezes o anterior mais um. Assim, por exemplo, o quarto termo é igual a 15. Então o décimo termo é:

a) 1000

b) 1002

c) 1015

d) 1023

e) 1024

Gabarito:

1. D
2. E
3. D

Referências Bibliográficas:

PARENTE, Ulisses. NETO, Antonio. Progressões Geométricas: Lei de formação e Definição. Disponível em: <cosyyelb57kgs.pdf (impa.br)>. Acesso em 07/12/2020.

PARAÍZO, Ricardo Ferreira. Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas. Aula 10. E-TecBrasil. Disponível em: <Aula_10.pdf (rnp.br)>

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