Regra de Três simples e composta: veja no resumo Enem

A regra de três é uma ferramenta matemática simples que nos auxilia a resolver problemas complexos, inclusive de geometria.

Nessa aula você aprenderá noções sobre grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais, o que é uma regra de três simples, como usá-la e as aplicações da regra de três composta. Vem com a gente revisar Matemática para mandar bem no Enem!

O que é Regra de Três

Regra de três é aquela conta “simples”, porém importantíssima e que você com certeza vai achar útil para o resto da vida! Mas, cuidado, porque existem questões para resolver com a “Regra de Três Simples”,  que pode ser “Direta”ou “Inversa”, e outros problemas que exigem a “Regra de Três Composta”.

Usamos a “técnica” da regra de três, quando em um conjunto de 2 grandezas, 3 valores são conhecidos e um é desconhecido. Chamamos esse valor desconhecido de incógnita. Sendo assim, a regra serve para descobrirmos o valor da incógnita.

Vale lembrar que o termo grandeza é valido para tudo o que podemos medir de algum modo.

Tipos de Regras de Três: Simples; e Composta

Regra de Três Simples

Esse é o procedimento que utilizamos para resolver problemas de um conjunto de duas grandezas. Essas grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.

Para você entender melhor como e quando usá-las, vamos apresentar a Regra de Três Simples através de exemplos. Veja:

A sombra de uma torre mede 4,5 metros e a de uma estaca, colocada verticalmente e no mesmo instante, 90 cm. Calcule a altura da torre, sabendo-se que a vara tem 2 metros de comprimento.

  • Resolução:
  • Poderíamos resolver o problema apresentado normalmente através da Semelhança de Triângulos.
  • Porém, usando a Regra de Três Simples a resolução é mais rápida. Vamos ver como?
  • Em primeiro lugar vamos fazer uma tabela e relacionar as grandezas por seu tipo.
  • Não esqueça de observar se todas as grandezas estão com a mesma unidade!

No caso desse problema, temos a sombra da estaca em cm então dividimos por 100 e a transformamos em metros: 90 cm = 0,9 m.regra de três - 1Agora vamos comparar as medidas para descobrir se essas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais

Se aumentarmos a altura da estaca, sua sombra também aumentará, ou se diminuirmos a altura dessa mesma estaca, sua sombra também diminuirá em mesma proporção.

Então concluímos que é uma grandeza diretamente proporcional e nesse caso basta multiplicar as grandezas em Xis:regra de três - 2Resposta: A partir da resolução dessa regra de três, podemos concluir que a torre tem 10 metros de altura.

Resumo de Regra de Três

Confira agora com o professor Sérgio Sarkis um resumo completo para você gabaritar em Regra de Três:

Muito boa esta aula do canal do Curso Enem Gratuito com o professor Sarkis. Agora, vamos continuar com resoluções de Regra de Tres.

Exercício Resolvido:

Exemplo 2 com exercício de Regra de Três:

Um trem a 60 km/h demora 2 horas para percorrer uma distância de 120 km.

a) Qual a distância percorrida em 4 horas?

Solução:

Se aumentarmos as horas aumentamos a distância percorrida, dizemos que as duas grandezas são diretamente proporcionais. Então basta montar a tabela e relacionar as grandezas:regra de três - 3Agora vamos usar a Regra de Três Simples e multiplicar as grandezas em Xis:regra de três - 4Resposta: A distância percorrida pelo trem em 4 horas foi de 240 km.

b) A 90 km/h quanto tempo será necessário para percorrer 120 km?
Solução:

Se aumentarmos a velocidade diminuímos o tempo necessário para percorrermos um distância fixa. Dizemos que as duas grandezas são inversamente proporcionais.

Para resolvermos o problema, basta montarmos as proporções, invertendo a última.

regra de três - 5Invertendo a última proporção, ficamos com a seguinte relação:
regra de três - 6

O momento de usar a Regra de Três Simples chegou:regra de três - 7Resposta: O trem percorrerá em 1,33 horas o percurso de 120 km a 90 km/h

Regra de três composta

Regra de três composta é o procedimento para resolver um problema que envolva mais de duas grandezas e uma delas é um valor desconhecido, ou seja, é uma incógnita. A solução para esse caso é aplicação da seguinte propriedade:

“Se uma grandeza é diretamente proporcional a outras duas ou mais grandezas, então será diretamente proporcional ao produto dessas grandezas.”

Caso uma grandeza seja inversamente proporcional, no cálculo sua razão será invertida, tornando-se diretamente proporcional.

Exercício1:

(ENEM) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia.

Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de:

  • A) 920kg
  • B) 800kg
  • C) 720kg
  • D) 600kg
  • E) 570kg

Solução:

O que podemos tirar do enunciado do problema:

Nos 10 primeiros dias foram arrecadados (12kg x 10) = 120kg de alimentos.
Nos 20 dias restantes haverá 50 alunos trabalhando 4 horas por dia.
Identificamos as grandezas envolvidas no problema: nº de alunos, horas/dia, dias trabalhados, Kg arrecadados.

Vamos construir a tabela: Organizamos as grandezas em colunas e usamos a letra x para identificar o termo a ser calculado.regra de três - 8Vamos analisar as grandezas por coluna:

1ª coluna: Se tivermos mais alunos trabalhando, teremos mais arrecadação, então essas grandezas são diretamente proporcionais.
2ª coluna: Se os alunos trabalharem mais horas por dia, teremos mais arrecadação. Então temos grandezas diretamente proporcionais.
3ª coluna: Se tivermos mais dias trabalhados, teremos maior arrecadação. São grandezas diretamente proporcionais.

  • Usando a propriedade:
  • Se uma grandeza é diretamente proporcional a outras duas ou mais grandezas, então será diretamente proporcional ao produto dessas grandezas.
  • Temos:

regra de três - 9Como você pode perceber, simplificamos os valores das frações antes de multiplicar. Isso facilita quando temos cálculos grandes.

Então o total arrecadado nos dois períodos foi de (120kg + 800kg) = 920kg.
Resposta: Alternativa A.

Exercício 2 de Regra de Três.

Se 10 carros consomem em 6 dias a quantidade de 1000 litros de gasolina, quantos carros usaremos para consumir somente 500 litros de gasolina no espaço de 2 dias?

  • Solução:
  • Identificamos as grandezas envolvidas no problema: nº de carros, nº de dias e litros de gasolina.
  • Vamos construir a tabela: Organizamos as grandezas em colunas e usamos a letra x para identificar o termo a ser calculado.

regra de três - 10Analisamos as grandezas listadas por coluna:

1ª coluna: Número de carros: coluna com incógnita.
2ª coluna: Consumindo a mesma quantidade de gasolina em menos dias indica que usaremos mais carros. São grandezas inversamente proporcional.  Nesse caso temos que inverter as grandezas quando usarmos a regra de três.

3ª coluna: Se consumirmos menos gasolina indica que usaremos menos. Grandezas diretamente proporcional.

  • Usando a propriedade:
  • Se uma grandeza é diretamente proporcional a outras duas ou mais grandezas, então será diretamente proporcional ao produto dessas grandezas.
  • Temos

regra de três - 11Resposta: Então, usaremos 10 carros para consumir somente 500 litros de gasolina em 2 dias.

Nesta aula você aprendeu que duas grandezas são diretamente proporcionais quando aumentando uma delas, a outra aumenta em mesma proporção ou quando diminuindo uma delas, a outra diminui na mesma proporção;

Também vimos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção ou quando, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção;

Você aprendeu ainda que a regra de três simples compara duas grandezas e a regra de três composta compara três ou mais grandezas.

Não esqueça de organizar a tabela com grandezas do mesmo tipo que é fundamental para organizar a resolução dos problemas na regra de três composta.

Resolvendo com a Regra de Três

Confira agora com o professor Vinny como você pode resolver os problemas clássicos de Regra de Três. Aprenda a identificar as Grandezas Diretamente Proporcionais e as Grandezas Inversamente Proporcionais, e os critérios de Unidades de Medida:

Gostou de acompanhar os exercícios resolvidos? Excelente. vale a pena ver de novo!

Referências

BELLO, Pedro. Matemática Básica para Concurso, v1. RJ: Ed. Ferreira, 2006.

MORAES, J. L. de. Matemática e Lógica para Concursos. São Paulo: Saraiva, 2013.

Simulado Enem sobre Regra de Três:

 

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Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é especialista em Psicopedagogia Institucional com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atua na rede particular, estadual e municipal há 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades privadas na área de Matemática e Metodologia de Ensino de Matemática. Facebook: www.facebook.com/WMariaAP. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.

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