Regra de três simples e composta

A regra de três é uma ferramenta matemática simples que nos auxilia a resolver problemas complexos, inclusive de geometria.

Nessa aula você aprenderá noções sobre grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais, o que é uma regra de três simples, como usá-la e as aplicações da regra de três composta. Vem com a gente revisar Matemática para mandar bem no Enem!

Usamos a “técnica” da regra de três, quando em um conjunto de 2 grandezas, 3 valores são conhecidos e um é desconhecido. Chamamos esse valor desconhecido de incógnita. Sendo assim, a regra serve para descobrirmos o valor da incógnita.

Vale lembrar que o termo grandeza é valido para tudo o que podemos medir de algum modo.

Tipos de Regras de Três

Regra de Três Simples

Esse é o procedimento que utilizamos para resolver problemas de um conjunto de duas grandezas. Essas grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.

Para você entender melhor como e quando usá-las, vamos apresentar a Regra de Três Simples através de exemplos. Veja:

A sombra de uma torre mede 4,5 metros e a de uma estaca, colocada verticalmente e no mesmo instante, 90 cm. Calcule a altura da torre, sabendo-se que a vara tem 2 metros de comprimento.

Resolução:

Poderíamos resolver o problema apresentado normalmente através da Semelhança de Triângulos.

Porém, usando a Regra de Três Simples a resolução é mais rápida. Vamos ver como?

Em primeiro lugar vamos fazer uma tabela e relacionar as grandezas por seu tipo. Não esqueça de observar se todas as grandezas estão com a mesma unidade!

No caso desse problema, temos a sombra da estaca em cm então dividimos por 100 e a transformamos em metros: 90 cm = 0,9 m.

regra de três - 1

Agora vamos comparar as medidas para descobrir se essas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais

Se aumentarmos a altura da estaca, sua sombra também aumentará, ou se diminuirmos a altura dessa mesma estaca, sua sombra também diminuirá em mesma proporção. Então concluímos que é uma grandeza diretamente proporcional e nesse caso basta multiplicar as grandezas em Xis:regra de três - 2Resposta: A partir da resolução dessa regra de três, podemos concluir que a torre tem 10 metros de altura.

Exemplo 2:

Um trem a 60 km/h demora 2 horas para percorrer uma distância de 120 km.

a) Qual a distância percorrida em 4 horas?

Solução:

Se aumentarmos as horas aumentamos a distância percorrida, dizemos que as duas grandezas são diretamente proporcionais. Então basta montar a tabela e relacionar as grandezas:regra de três - 3Agora vamos usar a Regra de Três Simples e multiplicar as grandezas em Xis:regra de três - 4A distância percorrida pelo trem em 4 horas foi de 240 km.

b) A 90 km/h quanto tempo será necessário para percorrer 120 km?
Solução:

Se aumentarmos a velocidade diminuímos o tempo necessário para percorrermos um distância fixa. Dizemos que as duas grandezas são inversamente proporcionais.

Para resolvermos o problema, basta montarmos as proporções, invertendo a última.

regra de três - 5

Invertendo a última proporção, ficamos com a seguinte relação:

regra de três - 6

O momento de usar a Regra de Três Simples chegou:

regra de três - 7

O trem percorrerá em 1,33 horas o percurso de 120 km a 90 km/h

Regra de três composta

Regra de três composta é o procedimento para resolver um problema que envolva mais de duas grandezas e uma delas é um valor desconhecido, ou seja, é uma incógnita. A solução para esse caso é aplicação da seguinte propriedade:

“Se uma grandeza é diretamente proporcional a outras duas ou mais grandezas, então será diretamente proporcional ao produto dessas grandezas.”

Caso uma grandeza seja inversamente proporcional, no cálculo sua razão será invertida, tornando-se diretamente proporcional.

Vamos detalhar passo a passo como usar a regra de três composta nos exemplos a seguir:

1. (ENEM) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de:

A) 920kg

B) 800kg

C) 720kg

D) 600kg

E) 570kg

Solução:

O que podemos tirar do enunciado do problema:

Nos 10 primeiros dias foram arrecadados (12kg x 10) = 120kg de alimentos.
Nos 20 dias restantes haverá 50 alunos trabalhando 4 horas por dia.
Identificamos as grandezas envolvidas no problema: nº de alunos, horas/dia, dias trabalhados, Kg arrecadados.

Vamos construir a tabela: Organizamos as grandezas em colunas e usamos a letra x para identificar o termo a ser calculado.

regra de três - 8

Vamos analisar as grandezas por coluna:

1ª coluna: Se tivermos mais alunos trabalhando, teremos mais arrecadação, então essas grandezas são diretamente proporcionais.
2ª coluna: Se os alunos trabalharem mais horas por dia, teremos mais arrecadação. Então temos grandezas diretamente proporcionais.
3ª coluna: Se tivermos mais dias trabalhados, teremos maior arrecadação. São grandezas diretamente proporcionais.

Usando a propriedade:

Se uma grandeza é diretamente proporcional a outras duas ou mais grandezas, então será diretamente proporcional ao produto dessas grandezas.

Temos:

regra de três - 9

Como você pode perceber, simplificamos os valores das frações antes de multiplicar. Isso facilita quando temos cálculos grandes.

Então o total arrecadado nos dois períodos foi de (120kg + 800kg) = 920kg.
Alternativa A.

2. Se 10 carros consomem em 6 dias a quantidade de 1000 litros de gasolina, quantos carros usaremos para consumir somente 500 litros de gasolina no espaço de 2 dias?

Solução:

Identificamos as grandezas envolvidas no problema: nº de carros, nº de dias e litros de gasolina.

Vamos construir a tabela: Organizamos as grandezas em colunas e usamos a letra x para identificar o termo a ser calculado.

regra de três - 10

Analisamos as grandezas listadas por coluna:

1ª coluna: Número de carros: coluna com incógnita.
2ª coluna: Consumindo a mesma quantidade de gasolina em menos dias indica que usaremos mais carros. São grandezas inversamente proporcional.

Nesse caso temos que inverter as grandezas quando usarmos a regra de três.

3ª coluna: Se consumirmos menos gasolina indica que usaremos menos. Grandezas diretamente proporcional.

Usando a propriedade:

Se uma grandeza é diretamente proporcional a outras duas ou mais grandezas, então será diretamente proporcional ao produto dessas grandezas. Temos:

regra de três - 11

Então, usaremos 10 carros para consumir somente 500 litros de gasolina em 2 dias.

Nesta aula você aprendeu que duas grandezas são diretamente proporcionais quando aumentando uma delas, a outra aumenta em mesma proporção ou quando diminuindo uma delas, a outra diminui na mesma proporção;

Também vimos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção ou quando, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção;

Você aprendeu ainda que a regra de três simples compara duas grandezas e a regra de três composta compara três ou mais grandezas.

Não esqueça de organizar a tabela com grandezas do mesmo tipo que é fundamental para organizar a resolução dos problemas na regra de três composta.

Para finalizar seus estudos sobre Regra de Três, assista ao vídeo abaixo:

Exercícios sobre Regra de Três:

1. Na extremidade de uma mola, colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com a massa de 10 Kg. Verificamos que ocorreu um deslocamento no comprimento da mola de 54 cm. Se colocarmos um corpo com 15 Kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o deslocamento no comprimento da mola?

A) 54cm.
B) 65cm.
C) 81cm.
D) 30 cm.
E) 55 cm.

2. Um automóvel viaja a uma velocidade constante de 60 km/h, leva 4 horas para percorrer uma distância de 240 km entre duas cidades. Na volta o motorista fez sua viagem em 3 h. Qual a velocidade constante que ele deve viajar de volta fazendo o mesmo percurso?

A) 40km/h.
B) 60 km/h.
C) 50 km/h.
D) 80 km/h.
E) 90 km/h.

3. Para ler os 8 livros indicados por seu professor, Lucas precisa ler 6 horas durante 7 dias para conseguir entregar no tempo em que o professor estipulou.

Porém, o professor mudou de ideia e precisa que o Lucas entregue os livros em apenas 4 dias. Assim, quantas horas ele terá de ler por dia?

A) 17
B) 15
C) 13
D) 11
E) 10,5

Gabarito:

1 – C

2 – D

3 – E

Referências

BELLO, Pedro. Matemática Básica para Concurso, v1. RJ: Ed. Ferreira, 2006.

MORAES, J. L. de. Matemática e Lógica para Concursos. São Paulo: Saraiva, 2013.

Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é especialista em Psicopedagogia Institucional com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atua na rede particular, estadual e municipal há 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades privadas na área de Matemática e Metodologia de Ensino de Matemática. Facebook: www.facebook.com/WMariaAP. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.