Semelhança entre Triângulos e o Teorema de Tales

Tales de Mileto mediu a altura de uma pirâmide com base no comprimento de sua sombra. Descubra como nessa revisão sobre Semelhança entre Triângulos! Ao final, resolva os exercícios para testar seus conhecimentos!

A História da Matemática mostra que por volta de 2500 a.C. os povos não tinham a tecnologia que temos para construir obras faraônicas como as Pirâmides.

Imagine como as pessoas mediam as distâncias que precisavam percorrer entre cidades, o tempo que tinham para cumprir uma meta, ou medir a altura de montes, construções entre outras necessidades. Conseguiu?

Para resolver esse problema, Tales de Mileto achou uma estratégia lógico-matemática para medir a altura de uma pirâmide usou a comparação, percebendo a semelhança entre formas desenhadas pelas sombras. Saiba mais sobre a semelhança entre triângulos e o Teorema de Tales nesta aula de Matemática para o Enem.

A Semelhança entre Triângulos e o Teorema de Tales

O Teorema de Tales aplica o conceito de proporcionalidade entre segmentos de retas paralelas e perpendiculares. Já a semelhança entre triângulos aplica a proporcionalidade para estimar medidas, então aqui o ponto comum entre os dois temas é a proporção.

Mas, quem foi Tales? Tales foi um filósofo, matemático, engenheiro, astrônomo da Grécia Antiga. Nasceu na cidade de Mileto, e por isso ficou conhecido como Tales de Mileto.

Além de elaborar o Teorema de Tales, que é considerado o mais importante nos estudos de Geometria, também foi o primeiro matemático a explicar o eclipse solar.

Fonte: <https://goo.gl/EPHje9>

Como sabemos existem várias aplicações para esse Teorema, porém existe uma histórica que diz que Tales mediu uma pirâmide comparando a medida de sua sombra com a sombra de uma estaca, na qual ele sabia a altura exata.
Como você faria para calcular a altura da pirâmide apenas com uma estaca?

Fonte: <https://goo.gl/2yQ3cS>

Tales de Mileto percebeu que os raios do sol incidem paralelamente, como feixe de retas paralelas, fazendo assim com que as sombras dos objetos sejam proporcionais a sua altura.

Então, para descobrir a altura da pirâmide, Tales fincou uma estaca na areia, mediu as sombras da pirâmide e depois da estaca em uma determinada hora do dia e estabeleceu uma proporção:


Sendo assim, a partir desse experimentou Tales enunciou seu Teorema:

“Um feixe de retas paralelas determina segmentos proporcionais em duas retas transversais quaisquer.”

O “matematiquês” complicou? Vamos traduzir essa frase para você:
Um conjunto de retas paralelas forma em duas retas transversais ( retas que cortam as paralelas) pedaços menores e proporcionais dessas retas (segmentos).

Com isso, quero que você entenda que:

  • Retas paralelas são aquelas que estão separadas por uma mesma distância e nunca se tocam.
  • Retas transversais: são retas que cortam outras retas formando ângulos e segmentos de retas.
  • Segmentos de retas: são pedacinhos de uma reta.

Aplicação do Teorema de Tales:

Considere a figura abaixo e considere que AB = 4cm, DB = 6 cm, AE = 12 cm e EC = x.

Semelhança entre Triângulos - 3

Multiplicamos os meios pelos os extremos, isto é:

Para obtermos o valor de x precisamos multiplicar e dividir:

Então o valor do segmento 

O Teorema de Tales e a Semelhança de Triângulos:

Como vimos, a comparação entre triângulos foi a solução para que Tales descobrisse a altura da pirâmide.

Para que os triângulos sejam semelhantes devem obedecer a seguinte condição de semelhança:

“Dois triângulos serão considerados semelhantes se, e somente se, possuírem os três ângulos ordenadamente congruentes e os três lados homólogos e proporcionais.”

O que isso quer dizer? Se tivermos dois triângulos e formos compará-los, para que sejam semelhantes temos que observar se:

a) se seus três ângulos correspondentes têm mesma medida.

b) seus três lados devem ser parecidos e proporcionais.

Veja a imagem abaixo:

Semelhança entre Triângulos - 5 Fonte: Wikibooks < https://goo.gl/TMCvdF>

Esses dois triângulos são semelhantes? Sim, pois os lados AB e DE são homólogos e proporcionais aos outros lados BC e EF, AC e DF.

Se calcularmos as razões entre os lados AB e DE temos:

Se calcularmos as razões entre BC e EF, temos:

A razão entre AC e DF é:

Você já deve ter percebido que as razões entre os lados correspondentes dos triângulos deram o mesmo valor, não é mesmo? Isso ocorre porque os lados são proporcionais.

E quanto aos ângulos? Com certeza são iguais (congruentes).

Com isso podemos concluir que para dois triângulos semelhantes a razão entre seus lados correspondentes sempre será igual a uma constante de proporcionalidade.

Veja a aula do prof. Sarkis sobre a Semelhança entre Triângulos:

Teorema Fundamental da Semelhança

O Teorema Fundamental da Semelhança usa o Teorema de Tales para o cálculo de segmentos de um mesmo triângulo cortado por uma reta paralela e diz que:

“Toda a reta paralela a um lado de um triângulo e que corta os outros dois lados em pontos diferentes vai formar outro triângulo semelhante ao primeiro.”

Vamos analisar o triângulo ABC:

Fonte: Wikimedia < https://goo.gl/7E1Y4K>

Nosso triângulo inicial era o ABC, a reta paralela que corta o triângulo é a DE e com isso forma outro triângulo semelhante ao primeiro que é o ADE.

Se a reta r é paralela à BC, então:

a) Os lados AB e AD são proporcionais.
b) Os lados AC e AE são proporcionais.
c) Os lados BC e DE são proporcionais.

E a constante de proporcionalidade deve ser a mesma.

A semelhança de triângulos e o Teorema de Tales deram origem as relações métricas e trigonométricas entre triângulos retângulos. Esse conhecimento ainda será aplicado a outras áreas da Geometria como na Geometria Espacial e Estudo de Quadriláteros e na Física no estudo da Estática de corpos Rígidos.

Exercícios sobre semelhança entre triângulos:

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Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é especialista em Psicopedagogia Institucional com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atua na rede particular, estadual e municipal há 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades privadas na área de Matemática e Metodologia de Ensino de Matemática. Facebook: www.facebook.com/WMariaAP. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.