Tales de Mileto mediu a altura de uma pirâmide com base no comprimento de sua sombra. Descubra como nessa revisão sobre Semelhança entre Triângulos! Ao final, resolva os exercícios para testar seus conhecimentos!
A História da Matemática mostra que por volta de 2500 a.C. os povos não tinham a tecnologia que temos para construir obras faraônicas como as Pirâmides.
Imagine como as pessoas mediam as distâncias que precisavam percorrer entre cidades, o tempo que tinham para cumprir uma meta, ou medir a altura de montes, construções entre outras necessidades. Conseguiu?
Para resolver esse problema, Tales de Mileto achou uma estratégia lógico-matemática para medir a altura de uma pirâmide usou a comparação, percebendo a semelhança entre formas desenhadas pelas sombras. Saiba mais sobre a semelhança entre triângulos e o Teorema de Tales nesta aula de Matemática para o Enem.
A Semelhança entre Triângulos e o Teorema de Tales
O Teorema de Tales aplica o conceito de proporcionalidade entre segmentos de retas paralelas e perpendiculares. Já a semelhança entre triângulos aplica a proporcionalidade para estimar medidas, então aqui o ponto comum entre os dois temas é a proporção.
Mas, quem foi Tales? Tales foi um filósofo, matemático, engenheiro, astrônomo da Grécia Antiga. Nasceu na cidade de Mileto, e por isso ficou conhecido como Tales de Mileto.
Além de elaborar o Teorema de Tales, que é considerado o mais importante nos estudos de Geometria, também foi o primeiro matemático a explicar o eclipse solar.
Fonte: <https://goo.gl/EPHje9>
Como sabemos existem várias aplicações para esse Teorema, porém existe uma histórica que diz que Tales mediu uma pirâmide comparando a medida de sua sombra com a sombra de uma estaca, na qual ele sabia a altura exata.
Como você faria para calcular a altura da pirâmide apenas com uma estaca?
Fonte: <https://goo.gl/2yQ3cS>
Tales de Mileto percebeu que os raios do sol incidem paralelamente, como feixe de retas paralelas, fazendo assim com que as sombras dos objetos sejam proporcionais a sua altura.
Então, para descobrir a altura da pirâmide, Tales fincou uma estaca na areia, mediu as sombras da pirâmide e depois da estaca em uma determinada hora do dia e estabeleceu uma proporção:
Sendo assim, a partir desse experimentou Tales enunciou seu Teorema:
“Um feixe de retas paralelas determina segmentos proporcionais em duas retas transversais quaisquer.”
O “matematiquês” complicou? Vamos traduzir essa frase para você:
Um conjunto de retas paralelas forma em duas retas transversais ( retas que cortam as paralelas) pedaços menores e proporcionais dessas retas (segmentos).
Com isso, quero que você entenda que:
Retas paralelas são aquelas que estão separadas por uma mesma distância e nunca se tocam.
Retas transversais: são retas que cortam outras retas formando ângulos e segmentos de retas.
Segmentos de retas: são pedacinhos de uma reta.
Aplicação do Teorema de Tales:
Considere a figura abaixo e considere que AB = 4cm, DB = 6 cm, AE = 12 cm e EC = x.
Multiplicamos os meios pelos os extremos, isto é:
Para obtermos o valor de x precisamos multiplicar e dividir:
Então o valor do segmento
O Teorema de Tales e a Semelhança de Triângulos:
Como vimos, a comparação entre triângulos foi a solução para que Tales descobrisse a altura da pirâmide.
Para que os triângulos sejam semelhantes devem obedecer a seguinte condição de semelhança:
“Dois triângulos serão considerados semelhantes se, e somente se, possuírem os três ângulos ordenadamente congruentes e os três lados homólogos e proporcionais.”
O que isso quer dizer? Se tivermos dois triângulos e formos compará-los, para que sejam semelhantes temos que observar se:
a) se seus três ângulos correspondentes têm mesma medida.
b) seus três lados devem ser parecidos e proporcionais.
Veja a imagem abaixo:
Fonte: Wikibooks < https://goo.gl/TMCvdF>
Esses dois triângulos são semelhantes? Sim, pois os lados AB e DE são homólogos e proporcionais aos outros lados BC e EF, AC e DF.
Se calcularmos as razões entre os lados AB e DE temos:
Se calcularmos as razões entre BC e EF, temos:
A razão entre AC e DF é:
Você já deve ter percebido que as razões entre os lados correspondentes dos triângulos deram o mesmo valor, não é mesmo? Isso ocorre porque os lados são proporcionais.
E quanto aos ângulos? Com certeza são iguais (congruentes).
Com isso podemos concluir que para dois triângulos semelhantes a razão entre seus lados correspondentes sempre será igual a uma constante de proporcionalidade.
Veja a aula do prof. Sarkis sobre a Semelhança entre Triângulos:
Teorema Fundamental da Semelhança
O Teorema Fundamental da Semelhança usa o Teorema de Tales para o cálculo de segmentos de um mesmo triângulo cortado por uma reta paralela e diz que:
“Toda a reta paralela a um lado de um triângulo e que corta os outros dois lados em pontos diferentes vai formar outro triângulo semelhante ao primeiro.”
Vamos analisar o triângulo ABC:
Fonte: Wikimedia < https://goo.gl/7E1Y4K>
Nosso triângulo inicial era o ABC, a reta paralela que corta o triângulo é a DE e com isso forma outro triângulo semelhante ao primeiro que é o ADE.
Se a reta r é paralela à BC, então:
a) Os lados AB e AD são proporcionais.
b) Os lados AC e AE são proporcionais.
c) Os lados BC e DE são proporcionais.
E a constante de proporcionalidade deve ser a mesma.
A semelhança de triângulos e o Teorema de Tales deram origem as relações métricas e trigonométricas entre triângulos retângulos. Esse conhecimento ainda será aplicado a outras áreas da Geometria como na Geometria Espacial e Estudo de Quadriláteros e na Física no estudo da Estática de corpos Rígidos.
Exercícios sobre semelhança entre triângulos:
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Pergunta 1 de 10
1. Pergunta
(Enem)
A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metros. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é
Correto
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Incorreto
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Pergunta 2 de 10
2. Pergunta
Questão Própria
Em um triângulo ABC, os pontos D e E pertencem, respectivamente, aos lados AB e AC e são tais que DE / / BC . Se F é um ponto de AB tal que EF / / CD e as medidas de AF e FD e são, respectivamente, 4 e 6, a medida do segmento DB é:
Correto
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Incorreto
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Pergunta 3 de 10
3. Pergunta
(Fadesp)
Uma praça tem a forma de um triângulo ABC, retângulo em A, cuja hipotenusa a mede 250 metros e o cateto c mede 200 metros. Para garantir a execução de um serviço, houve necessidade de se interditar uma parte da praça com uma corda MN perpendicular à hipotenusa, distando 150 metros do vértice B, com M na hipotenusa e N no cateto c. O comprimento dessa corda, em metros, é:
Correto
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Incorreto
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Pergunta 4 de 10
4. Pergunta
(Matsubara, 2017, p. 300)
A mão de uma garoto que segura uma pipa está a 1,50 m de altura do solo.
O cordão usado para empinar essa pipa tem 6 nós igualmente espaçados, sendo o primeiro deles para apoio da mão do garoto e o último para amarrar a pipa. Sabendo que a pipa se encontra com o cordão de 75 m esticada a uma altura de 46,5 m do solo, a que altura do solo está o terceiro nó desse cordão?
Correto
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Pergunta 5 de 10
5. Pergunta
(Matsubara, 2017, p. 300)
O lado menor de um triângulo mede 10 cm e cada diagonal mede 40 cm. Distante 8 cm de cada vértice desse retângulo, marcam -se sobre as diagonais quatro pontos que são os vértices de um novo retângulo. Sabendo que as diagonais de um triângulo se cruzam no ponto médio, qual a medida do lado do novo retângulo?
Correto
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Incorreto
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Pergunta 6 de 10
6. Pergunta
(Matsubara, 2017, p. 300)
Os triângulo ABC e DEF são semelhantes. Os lados do primeiro medem AB = 5 cm, BC = 6 cm e AC = 4 cm. No segundo triângulo só se conhece o lado EF = 8 cm. As outras medidas do triângulo DEF são:
Correto
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Incorreto
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Pergunta 7 de 10
7. Pergunta
Questão Própria
Todos os triângulos equiláteros são semelhantes, pois eles:
Correto
Parabéns, resposta correta! Siga com o simulado.
Incorreto
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Pergunta 8 de 10
8. Pergunta
Questão Própria
O Sol projeta no chão plano as sombras de um poste e de uma haste verticais, que medem respectivamente, 12 m e 0,6 m. Se a altura da haste é de 1 m, a do poste é:
Correto
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Incorreto
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Pergunta 9 de 10
9. Pergunta
(ENEM)
A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2, 00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a ser:
Correto
Parabéns, resposta correta! Siga com o simulado.
Incorreto
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Pergunta 10 de 10
10. Pergunta
(ENEM)
A rampa de um hospital tem sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 m e alcançou a altura de 0,8 metros.
A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é:
Correto
Parabéns, resposta correta! Siga com o simulado.
Incorreto
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Sobre o(a) autor(a):
Wania Maria de A. Pereira - A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é Psicopedagoga com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atuou na rede particular, estadual e municipal por 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades públicas e privadas na área de Matemática, Metodologia de Ensino de Matemática e Psicopedagogia. Atualmente trabalha na área de Projetos de Tecnologias Digitais de Informação e Comunicação (TDICs). LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.
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