Como resolver sistemas lineares

Sistemas lineares são conjuntos de equações que devem ser resolvidas ao mesmo tempo. Elas podem ter várias incógnitas e várias equações. Saiba como resolvê-las!

Sistemas lineares são conjuntos de equações lineares das quais nos interessam apenas soluções em comum. Suas aplicações podem ser encontradas em diversas áreas do conhecimento. Portanto, é extremamente importante estudá-los, já que vão aparecer não somente nas provas de matemática, mas também em outras disciplinas. Nesta aula, vamos aprender como resolver sistemas lineares utilizando diferentes métodos.

Se você ainda não sabe os conceitos básicos sobre sistemas e equações lineares, confira nossa aula sobre o assunto.

Como resolver sistemas lineares pelo método da adição

Este método é especialmente eficiente para sistemas com duas equações e duas incógnitas. No contexto certo, também pode ser usado para resolução de problemas mais complexos. O método consiste em somar as equações com o objetivo de zerar uma das incógnitas obtendo, assim, o resultado da outra.

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Exemplo 1

Sistema linear

Note que quando somamos as duas equações obtemos a expressão:

(x + y) + (-x + y) = 1 +3

E, quando a simplificamos, obtemos o valor para y:

2y = 4

y = 2

Agora, com o valor de y, podemos facilmente calcular o valor de x substituindo y por 2 em qualquer uma das equações:

x + y = 1

x + 2 = 1

x = -1

Ou ainda:

– x + y = 3

– x + 2 = 3

x = -1

E, com isso, obtemos a solução para o sistema:

x = -1 e y = 2

O primeiro exemplo foi uma aplicação bem direta do método. Entretanto, existem situações em que você vai precisar manipular as equações para que ele funcione. Vamos ver uma dessas situações em seguida.

Exemplo 2

Sistema linear 2

Note que quando somamos as equações, nenhuma das incógnitas será zerada, o que vai contra o objetivo do método. Ainda é possível seguir pela adição, só precisamos fazer algumas operações para que a soma fique apropriada.

Aqui, podemos realizar o mesmo tipo de operação que usamos quando vamos resolver equações. As mais utilizadas serão a multiplicação e divisão de ambos os lados. Quando fazemos esse tipo de operação, dizemos que os sistemas, o original e o alterado, são equivalentes. Isso quer dizer que eles possuem o mesmo conjunto solução.

Como escolher quais operações e quais valores utilizar? Isso tudo vai depender de sua análise do problema! Nesse exemplo, precisamos que a soma de uma das duas incógnitas seja igual a zero. Então, veja que um dos caminhos possíveis é escolher multiplicar a segunda equação por -2. Dessa forma, quando somamos ambas as equações, os elementos com a incógnita x são zerados:

Sistemas lineares

Somando as equações:

(2x + 3y) + (-2x – 2y) = 13 – 10

y = 3

Substituindo y na primeira equação:

2x + 3y = 13

2x + 3.3 = 13

2x = 4

x = 2

Sendo assim, a solução para o sistema é:

x = 2 e y = 3

Método do escalonamento

O método do escalonamento é muito similar ao método da adição. Nele, o nosso objetivo é diminuir ao máximo o número de incógnitas nas equações do nosso sistema e ordená-las em ordem decrescente. Para isso, organizamos os sistemas lineares da seguinte forma:

Sistemas lineares escalonados

Note como nos sistemas escalonados temos a formação de um tipo de escada invertida com as variáveis. É esse formato que vamos buscar, pois ele nos fornece a resposta logo de cara. Veja que em ambos os casos temos o valor de uma das variáveis. Por isso, podemos “subir” a escada substituindo os valores encontrados para calcular o valor de todas elas!

Para chegar nesse formato, vamos usar as mesmas regras que utilizamos no método da adição: podemos fazer operações sobre as equações. Além disso, podemos somar, subtrair e trocar as linhas entre si, pois essas operações também mantêm o sistema inicial e final equivalentes. Veja como no exemplo 3.

Exemplo 3

Sistemas lineares

Para escalonar esse sistema podemos, por exemplo, subtrair da segunda linha duas vezes a linha 1:

Resolução de sistema linear

Fazendo os devidos cálculos, obtemos o sistema escalonado.

Sistemas lineares

Sabendo que y = 3, podemos substituir esse valor na primeira linha:

x + 2y = 3

x + 2.3 = 3

x = -3

Uma técnica muito importante para aplicar esse método é sempre começar zerando as variáveis da primeira coluna e seguir o trabalho coluna a coluna até ter sua matriz escalonada.

Exemplo 4

Sistema linear

O primeiro procedimento que vamos realizar para resolver essa matriz vai ser realizar uma troca entre a linha 1 e a linha 2. Dessa forma vamos ter uma equação com 1x na primeira linha, o que facilita os cálculos.

Sistema linear

Em seguida, vamos nos lembrar da técnica: primeiro zeramos a coluna da variável x. Para isso, precisamos subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda e 4 vezes a primeira linha da terceira.

Resolução de sistema linear

Dando procedimento à técnica, vamos zerar a coluna da próxima variável. Para isso, precisamos subtrair 4 vezes a segunda coluna da terceira:

Resolução de sistema linear

Agora que temos o sistema escalonado podemos calcular o valor das variáveis. Começando com z:

-6z = -4

z = 2/3

Substituindo z na segunda equação, obtemos y:

Resolução de sistema linear

Por fim, substituindo y e z na primeira equação, encontramos x:

Resolução de sistema linear

Método da substituição

Assim como nos outros métodos, o objetivo é simples: reduzir o número de variáveis até que consigamos achar um valor para uma delas. Para chegar neste objetivo, o método da substituição visa substituir uma variável pela combinação de outras. Vamos ver como isso acontece na prática.

Exemplo 5

Sistemas lineares

Primeiro, vamos utilizar a primeira linha para isolar x em função das outras variáveis:

2x – 4y + 2z = 10

2x = 4y – 2z + 10

x = 2y – z + 5

Agora que temos um “valor” para x, podemos substituí-lo nas outras equações e tentar repetir a substituição para outra variável. Vamos fazer isso na segunda equação para variável y:

x – y – z = -1

2y – z + 5 – y – z = -1

y = 2z – 6

Em seguida, vamos fazer o mesmo procedimento na terceira equação para a variável z, substituindo x e y pelos “valores” encontrados:

2x + y – z = -6

2(2y – z + 5) + 2z – 6 – z = -6

4y – 2z + 10 + 2z – z = 0

4y – z = -10

Note que é necessário fazer a substituição do valor de y duas vezes.

4(2z – 6) – z = -10

8z – 24 – z = -10

7z = 14

z = 2

Como chegamos a um valor numérico, podemos retornar as expressões anteriores para calcular o valor numérico de outras variáveis, começando por y:

y = 2z – 6

y = 2.2 – 6

y = 4 – 6

y = -2

Fazemos a mesma coisa para x, agora substituindo y e z:

x = 2y – z + 5

x = 2 . (-2) – 2 + 5

x = -4 -2 + 5

x = -1

Sistemas lineares não convencionais

Nesta aula, vimos exemplos de sistema “clássicos”. Eles são os que mais aparecem em provas e são mais eficientes para se fazer uma introdução aos métodos. Mas, também é possível que apareçam sistemas um pouco diferentes. Será que podemos usar os mesmos métodos para resolvê-los?

Exemplo 6

Embora esse sistema seja bem diferente daqueles que vimos nessa aula, podemos utilizar as ferramentas que aprendemos até agora para resolvê-lo. Uma estratégia interessante para esse sistema é resolvê-lo em duas partes. Portanto, vamos começar resolvendo para a e b e, em seguida, pensamos em como resolver para x, y e z.

Sistemas lineares

Para resolver a e b, vamos usar o método da adição. Mas, desta vez, vamos considerar só as duas primeiras equações, já que elas são as únicas relevantes para essas variáveis. Somando as duas primeiras linhas temos:

a + b + 2 a – b = 3 + 0

3a = 3

a = 1

Substituindo na primeira equação, podemos calcular o valor de b:

a + b = 3

1 + b = 3

b = 2

Agora que resolvemos para a e b, vamos tentar resolver para x, y e z. Vamos usar o mesmo tipo de procedimentos que no método da substituição:

x + y + z = 4

x = 4 – y – z

Substituindo na quarta equação:

2x + y + 3z = 12

2(4 – y – z) + y + 3z = 12

8 – 2y – 2z + y + 3z = 12

z = 4 + y

Note que chegamos em uma barreira. Não temos mais como desenvolver o sistema  e tentar substituir os valores encontrados em qualquer uma das equações não leva a nada. Acontece que o sistema com que estamos trabalhando é possível, mas indeterminado. Isto é, ao invés de encontrarmos uma solução única, encontramos uma família infinita de soluções – que é gerada pelas fórmulas encontradas, apenas precisamos substituir y por um valor real qualquer e calcular as outras variáveis.

Videoaula sobre sistemas lineares

Agora que você já sabe como resolver sistemas de equações lineares, pode revisar assistindo a nossa videoaula sobre o assunto e praticar com os exercícios em seguida.

https://www.youtube.com/watch?v=k6rerWI9fyk

Exercícios

1 – (ESPM SP/2019)

Em relação ao sistema linear

Sistemas lineares - exercícios

Pode-se afirmar que:

a) Ele é possível e determinado e sua solução é (2, 3, 5).

b) Ele é possível e determinado e sua solução é (0, –3, –5).

c) Ele é impossível.

d) Ele é possível e indeterminado e sua solução é (k + 1, 3k, 5k), com k real.

e) Ele é possível e indeterminado e sua solução é (k, 2k, 1 + 3k), com k real.

2 – (UEM PR/2012)

Considere os dois sistemas de equações lineares e assinale o que for correto.

Sistemas lineares - exercícios

a) Os sistemas lineares A e B são equivalentes.

b) O sistema linear B não está na forma escalonada.

c) O sistema linear A é possível e indeterminado.

d) O sistema linear B é impossível.

e) O conjunto solução do sistema B está contido no conjunto solução do sistema A.

3 – (Mackenzie SP/)

Dado o sistema

Sistemas lineares - exercícios

Os valores de x, y e z que constituem  sua solução:

a) são todos distintos entre si

b) são indeterminados

c) possuem soma nula

d) são iguais entre si

e) formam uma progressão aritmética de razão 1

Gabarito:

  1. D
  2. 20
  3. D

Sobre o(a) autor(a):

Essa aula foi preparada pelo professor Inácio Ávila. Inácio Ávila é graduando em matemática-licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina.

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