Teorema de Laplace e Regra de Chió

Saber os cálculos de matrizes de ordem superior é um pontinho garantido na hora da prova! Nesta aula você vai conhecer dois teoremas importantíssimos. Vem estudar pro Enem com a gente!

O Teorema de Laplace e a Regra de Chió são duas ferramentas imprescindíveis no estudo e manuseio das matrizes de ordem superior. Nesta aula você vai encontrar dicas e referências que farão você tirar de letra qualquer problema que envolva Laplace e Chió. Preste atenção aos detalhes e resolva todos os exercícios no final!

teorema de laplace
Imagem: Pierre Simon de Laplace.

Teorema de Laplace

Para compreender o teorema de Laplace, precisamos primeiro entender os conceitos de menor complementar e cofator. Vamos a eles:

Menor Complementar (Dij)

Chamamos de menor complementar de um elemento de uma matriz o valor do determinante da matriz resultante ao eliminarmos a linha e a coluna a qual esse elemento pertence. Parece complicado assim só com palavras, não é mesmo? Então veja em um exemplo numérico como isso funciona:

Exemplo: Seja a matriz A:

teorema de laplace

Qual é o menor complementar D23?

Bem, o menor complementar D23 está relacionado com o elemento a23 , ou seja, o elemento da segunda linha e terceira coluna:

teorema de laplace

Agora, eliminamos a linha e a coluna a qual este elemento pertence, assim:

teorema de laplace

E montamos uma nova matriz com os elementos que “sobraram”, dessa forma:

teorema de laplace

E calcula-se o determinante desta matriz, que equivale ao menor complementar D23:

teorema de laplace

Cofator (Cij)

Para determinar o Cofator de um termo em uma matriz, basta utilizar a seguinte fórmula:

teorema de laplace

Na verdade, essa fórmula é bastante simples. O cofator nada mais é do que o próprio menor complementar. A posição linha e coluna do termo é que vai determinar se o menor complementar permanece com o mesmo valor ou se fica com valor negativo (essas são as duas únicas opções para -1 elevado a uma potência par ou ímpar).

Agora, vamos ver o que nos diz o teorema de Laplace, e verificar onde se encaixa o cofator.

Teorema de Laplace

Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem superior ou igual a 4 com o teorema de Laplace, basta escolher qualquer linha ou qualquer coluna da matriz e somar os produtos dos elementos dessa fila, pelos seus respectivos cofatores.

Exemplo: Calcule o determinante de

teorema de laplace

Bem, segundo o teorema, basta escolher qualquer linha ou coluna para calcular o determinante através dos cofatores. Uma estratégia que vale a pena ser utilizada é a de escolher a fila com maior quantidade de zeros, você logo verá o porquê.

Escolhemos, então, a coluna dois:

teorema de laplace

Agora, segundo o teorema, o determinante é dado pela soma dos produtos dos elementos dessa fila, pelos seus respectivos cofatores, sendo assim:

Como zero multiplicado por qualquer número é zero, ficamos com:

teorema de laplace

Assim, basta calcular os cofatores C12 e C23.

Utilizando a fórmula, temos:

Calculando o menor complementar D12:

teorema de laplace

Aplicando Sarrus:

teorema de laplace

Temos:

Então:

teorema de laplace

Agora, calculamos o cofator C32. A fórmula diz que:

Calculando o menor complementar D32:

teorema de laplace

Aplicando Sarrus:

teorema de laplace

Temos

Então, o cofator C32 tem valor igual a:

teorema de laplace

Depois de calculados os cofatores, voltamos para o cálculo do determinante de A, que nos diz que:

Assim, substituindo os valores dos cofatores:

Então, o valor do determinante da matriz

teorema de laplace

Entendeu por que é melhor escolher a fila com maior número de zeros? Quanto mais zeros, menos cofatores precisamos determinar e, assim, diminuímos a quantidade de cálculos.

Regra de Chió

Para calcular o valor do determinante de matrizes com ordem maior do que 3, podemos utilizar também a regra de Chió. Essa regra permite construir uma matriz de ordem menor, ou seja, reduzir a ordem de uma matriz para uma matriz de ordem n-1, sendo possível, assim, calcular o determinante por meio de métodos já conhecidos como a regra de Sarrus.

A condição mais importante para a aplicação da regra de Chió é de que o primeiro elemento da matriz, o elemento a11, seja igual a 1.

Importante: caso o primeiro elemento da matriz não seja igual 1, utiliza-se o Teorema de Jacobi para “transformar” esse elemento em 1, veja no vídeo:

Você vai ver agora, a partir de um exemplo, como se dão os passos para reduzir a ordem da matriz, pela regra de Chió.

Exemplo: Calcule o determinante da matriz

teorema de laplace

O primeiro passo é verificar se o primeiro elemento (a11) é igual a 1.

teorema de laplace

Sendo assim, vamos suprimir a primeira fila e a primeira coluna, mas não apague! Os elementos nelas contidos serão utilizados nos cálculos posteriores.

teorema de laplace

Agora, vamos reescrever uma nova matriz com os “elementos que sobraram”. Essa matriz será de ordem n – 1, nesse caso a ordem será 4 – 1 = 3.

Preste atenção na próxima etapa, ela requer bastante cuidado.

Agora, a cada termo da nova matriz A’, iremos subtrair o produto dos termos suprimidos, ou seja, que se encontram à margem do elemento correspondente. Nesse caso, os elementos que se encontram à margem do -2 são os números 3 e 0, assim

teorema de laplace

A matriz A’ fica da forma:

Já os elementos à margem do termo 4, são os termos, 5 e 0, logo:

A matriz A’ fica da forma:

E assim sucessivamente.

Efetuando todos os cálculos, temos:

Agora, com uma matriz 3×3, podemos calcular o determinante usando técnicas já conhecidas, como a regra de Sarrus.

Então o determinante da matriz

É igual a det(A’) = -40.

Obs: Caso a matriz seja de ordem superior a 4, pode-se efetuar a regra de Chió sucessivas vezes, até chegar na matriz de ordem 3.

Confere essa aula do professor Gláucio para complementar seus estudos:

Exercícios

 Questão 01)    

Considere as matrizes

De acordo com conhecimentos sobre matrizes e determinantes, é incorreto afirmar que

1- det(MN) = det(NM), onde M e N são matrizes quadradas de mesma ordem.

2- detMt = –detM, onde M é matriz quadrada de ordem ímpar.

3- det(C) = 4.

4- a matriz AB possui três linhas e três colunas.

5- det(AB) = 96.

 

Questão 02)     

A é uma matriz quadrada de ordem 4 e det A = -6. o valor de x tal que det (2A) = x – 97 é:

a) -12

b) zero

c) 1

d) 97/2

e) 194

 

Questão 03)    

Dada uma matriz quadrada de ordem 4, cujo determinante é diferente de zero, quanto ao seu determinante. Marque V(verdadeiro) ou F(falso) para as alternativas abaixo

a) multiplicando uma linha de A por um escalar o seu determinante será k det (A).

b) multiplicando uma linha de A por um escalar o seu determinante será det (kA).

c) multiplicando a matriz A por um escalar o seu determinante será k det (A).

d) multiplicando a matriz A por um escalar o seu determinante será k2 det (A).

 

01) Gab: 5

02) Gab: C

03) Gab: VFFF

Sobre o(a) autor(a):

Os textos e exemplos de apresentação desta aula foram preparados pela professora Andréia Zanchetti para o Blog do Enem. Andréia é formada em Matemática pelo IFRS e possui mestrado pela FURG.