Teorema de Laplace e Regra de Chió no cálculo de matrizes

O Teorema de Laplace e a Regra de Chió são duas ferramentas imprescindíveis no estudo e manuseio das matrizes de ordem superior. Nesta aula você vai encontrar dicas e referências que farão você tirar de letra qualquer problema que envolva Laplace e Chió.

Preste atenção aos detalhes do resumo introdutório sobre Matrizes, e depois acompanhe as explicações do Teorema de Laplace e da Regra de Chicó. Ao final, resolva todos os exercícios para concluir a sua revisão.

O que são as Matrizes? – Veja agora uma introdução com o professor Lucas Borguezan:

O Teorema de Laplace

Menor complementar e cofator

Para compreender o teorema de Laplace, precisamos primeiro entender os conceitos de menor complementar e cofator. Vamos a eles:

Menor complementar (D_ij)

Chamamos de menor complementar de um elemento de uma matriz o valor do determinante da matriz resultante ao eliminarmos a linha e a coluna a qual esse elemento pertence. Parece complicado assim só com palavras, não é mesmo? Então veja em um exemplo numérico como isso funciona:

Exemplo:

Seja a matriz A:

Qual é o menor complementar D₂₃?

Bem, o menor complementar D₂₃ está relacionado com o elemento a₂₃ , ou seja, o elemento da segunda linha e terceira coluna:

Agora, eliminamos a linha e a coluna a qual este elemento pertence, assim:

E montamos uma nova matriz com os elementos que “sobraram”, dessa forma:

E calcula-se o determinante desta matriz, que equivale ao menor complementar D₂₃:

det(A) = D₂₃ = 1 . (-2) – 2 . 3 = -8

Cofator (C_ij)

Para determinar o Cofator de um termo em uma matriz, basta utilizar a seguinte fórmula:

Na verdade, essa fórmula é bastante simples. O cofator nada mais é do que o próprio menor complementar. A posição linha e coluna do termo é que vai determinar se o menor complementar permanece com o mesmo valor ou se fica com valor negativo (essas são as duas únicas opções para -1 elevado a uma potência par ou ímpar).

Agora, vamos ver o que nos diz o teorema de Laplace, e verificar onde se encaixa o cofator.

Teorema de Laplace

Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem superior ou igual a 4 com o teorema de Laplace, basta escolher qualquer linha ou qualquer coluna da matriz e somar os produtos dos elementos dessa fila, pelos seus respectivos cofatores.

Exemplo: Calcule o determinante de

Bem, segundo o teorema, basta escolher qualquer linha ou coluna para calcular o determinante através dos cofatores. Uma estratégia que vale a pena ser utilizada é a de escolher a fila com maior quantidade de zeros, você logo verá o porquê.

Escolhemos, então, a coluna dois:

Agora, segundo o teorema, o determinante é dado pela soma dos produtos dos elementos dessa fila, pelos seus respectivos cofatores, sendo assim:

det(A) = 3 . C₁₂ + 0 . C₂₂ + (-1) . C₂₃ + 0 . C₄₂

Como zero multiplicado por qualquer número é zero, ficamos com:

Assim, basta calcular os cofatores C₁₂ e C_23.

Utilizando a fórmula, temos:

C₁₂ = (-1)¹⁺² . D₁₂

Calculando o menor complementar D₁₂:

Aplicando Sarrus:

Temos:

det(A’) = 24 – 12 – (-36) = 72

Então:

C₁₂ = (-1)¹⁺² . D₁₂

C₁₂ = (-1)¹⁺² . 72

C₁₂ = -1 . 72

C₁₂ = -72

Agora, calculamos o cofator C₃₂. A fórmula diz que:

C₃₂ = (-1)³⁺² . D₃₂

Calculando o menor complementar D₃₂:

Aplicando Sarrus:

Temos det(A’) = 28 + (-6) – (30 + 2) = 22 – 32 = -10

Então, o cofator C₃₂ tem valor igual a:

C₃₂ = (-1)³⁺² . -10

C₃₂ = -1 . -10

C₃₂ = 10

Depois de calculados os cofatores, voltamos para o cálculo do determinante de A, que nos diz que:

det(A) = 3 . C₁₂ + (-1) . C₃₂

Assim, substituindo os valores dos cofatores:

det(A) = 3 . -72 + (-1) . 10

det(A) = -216 – 10

det(A) = -226

Então, o valor do determinante da matriz

Entendeu por que é melhor escolher a fila com maior número de zeros? Quanto mais zeros, menos cofatores precisamos determinar e, assim, diminuímos a quantidade de cálculos.

O Cálculo de Área utilizando Matrizes

A Regra de Chió

Para calcular o valor do determinante de matrizes com ordem maior do que 3, podemos utilizar também a regra de Chió.

Essa regra permite construir uma matriz de ordem menor, ou seja, reduzir a ordem de uma matriz para uma matriz de ordem n-1, sendo possível, assim, calcular o determinante por meio de métodos já conhecidos como a regra de Sarrus.

Complicou na definição? Calma, vamos descomplicar geral na introdução do professor Lucas Borguezan, do canal do Curso Enem Gratuito:

A condição mais importante para a aplicação da regra de Chió é de que o primeiro elemento da matriz, o elemento a₁₁, seja igual a 1.

Importante: caso o primeiro elemento da matriz não seja igual 1, utiliza-se o Teorema de Jacobi para “transformar” esse elemento em 1, veja no vídeo:

Você vai ver agora, a partir de um exemplo, como se dão os passos para reduzir a ordem da matriz, pela regra de Chió.

Exemplo: Calcule o determinante da matriz

O primeiro passo é verificar se o primeiro elemento (a₁₁) é igual a 1.

Sendo assim, vamos suprimir a primeira fila e a primeira coluna, mas não apague! Os elementos nelas contidos serão utilizados nos cálculos posteriores.

Agora, vamos reescrever uma nova matriz com os “elementos que sobraram”. Essa matriz será de ordem n – 1, nesse caso a ordem será 4 – 1 = 3.

Preste atenção na próxima etapa, ela requer bastante cuidado.

Agora, a cada termo da nova matriz A’, iremos subtrair o produto dos termos suprimidos, ou seja, que se encontram à margem do elemento correspondente. Nesse caso, os elementos que se encontram à margem do -2 são os números 3 e 0, assim

A matriz A’ fica da forma:

Já os elementos à margem do termo 4, são os termos, 5 e 0, logo:

A matriz A’ fica da forma:

E assim sucessivamente.

Efetuando todos os cálculos, temos:

Agora, com uma matriz 3×3, podemos calcular o determinante usando técnicas já conhecidas, como a regra de Sarrus.

Então o determinante da matriz

É igual a det(A’) = -40.

Obs: Caso a matriz seja de ordem superior a 4, pode-se efetuar a regra de Chió sucessivas vezes, até chegar na matriz de ordem 3.

Exercícios envolvendo o Teorema de Laplace e a Regra de Chió

 Questão 01)    

Considere as matrizes

De acordo com conhecimentos sobre matrizes e determinantes, é incorreto afirmar que

1- det(MN) = det(NM), onde M e N são matrizes quadradas de mesma ordem.

2- detM^t = –detM, onde M é matriz quadrada de ordem ímpar.

3- det(C) = 4.

4- a matriz AB possui três linhas e três colunas.

5- det(AB) = 96.

Questão 02)     

A é uma matriz quadrada de ordem 4 e det A = -6. o valor de x tal que det (2A) = x – 97 é:

a) -12

b) zero

c) 1

d) 97/2

e) 194

Questão 03)    

Dada uma matriz quadrada de ordem 4, cujo determinante é diferente de zero, quanto ao seu determinante. Marque V(verdadeiro) ou F(falso) para as alternativas abaixo

a) multiplicando uma linha de A por um escalar o seu determinante será k det (A).

b) multiplicando uma linha de A por um escalar o seu determinante será det (kA).

c) multiplicando a matriz A por um escalar o seu determinante será k det (A).

d) multiplicando a matriz A por um escalar o seu determinante será k² det (A).

Gabarito:

1. 5
2. C
3. VFFF

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