Teoria dos conjuntos

Você já notou que temos o hábito de separar as coisas por semelhança, cor, tamanho, tipo ou alguma coisa em comum? Classificar e separar faz parte de nosso desenvolvimento matemático mais básico e tem relação com a Teoria dos conjuntos. Vem revisar a Teoria dos conjuntos com a gente no Curso Enem Gratuito!

A Teoria dos Conjuntos estuda como selecionar, agrupar e classificar elementos. Nesta aula, você compreenderá os conceitos de conjuntos e subconjuntos. Além disso, verá seus elementos e suas representações através de chaves e diagrama de Venn. Por fim, conseguirá resolver problemas que envolvem relações de pertinência ou relações de inclusão.

A teoria dos conjuntos no dia a dia

Primeiramente, vamos observar como a teoria dos conjuntos está presente em nossas rotinas. Em nossa rotina, temos a tendência de selecionar coisas para depois organizar. Em geral, agrupamos nossos pertences por uma característica que eles têm em comum. Além disso, classificamos ou damos nome a esses grupos.

Um exemplo: algumas pessoas organizam seus materiais escolares agrupando canetas, lápis, lapiseiras em um estojo. Esse estojo pode ser um conjunto de materiais de escrever.

teoria dos conjuntos - material escolar
Figura 1 – Separamos lápis e canetas em um estojo. A foto mostra estojo com lápis de cor e outro com canetas coloridas. Veja como fazer ótimos resumos de mão no nosso vídeo!

Do mesmo modo, colocamos diversos cadernos em uma pilha e livros em outra. Assim, organizamos nossos materiais em diversos conjuntos.

Com isso podemos afirmar que:

Um conjunto é um agrupamento de elementos.

A simbologia dos conjuntos

Os conjuntos normalmente são representados por letras maiúsculas e os elementos são delimitados por chaves ou diagrama de Venn.

Em primeiro lugar, vamos ver alguns exemplos de conjuntos representados através de chaves:

Cores primárias: C = {amarelo, azul, vermelho}

Dinheiro brasileiro: D = {centavos, real}

Flores: F = {rosa, violeta, sempre-viva, amarílis, cravo, …}

Sob o mesmo ponto de vista, vamos ver agora exemplos de representação de conjuntos com diagrama de Venn. Esse diagrama é facilita a visualização da teoria dos conjuntos:

teoria dos conjuntos - digrama de venn
Fonte: Autor desconhecido (Creative Commons)

O diagrama de Venn é uma linha fechada que pode ter qualquer forma. Ele serve para delimitar os elementos.

Conjuntos especiais:

Bem como a representação através de chaves e o diagrama de Venn, você precisa entender dois tipos de conjuntos especiais:

a) Conjunto vazio: é um conjunto sem elementos e é representado por { } ou ∅.

b) Conjunto unitário: é um conjunto que tem um único elemento. Ex: A = {10}.

Além disso, é importante que você saiba que existe uma relação entre conjuntos e elementos que denominamos Relação de Pertinência.

Relação de Pertinência- teoria dos conjuntos

Antes de mais nada, vamos definir o que é relação de pertinência. Essa relação analisa se um elemento pertence ou não a um conjunto.

Quer um exemplo? Vamos construir um conjunto de números naturais ímpares menores que 20:

Sabemos que os números naturais são aqueles que usamos para a contagem:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 …

Esse é um conjunto infinito.

Tirando os números ímpares menores que 20, temos um novo conjunto que vamos chamar de I:

I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}

Até agora, selecionamos, agrupamos e classificamos. Se alguém perguntar a você se o número 10 pertence ao conjunto I, o que você responderia?

Não, 10 não pertence ao conjunto I. Isso porque o número 10 não é um número ímpar, logo ele não está dentro do conjunto I.

E o número 13 pertence ao conjunto I? Sim, porque ele é um número ímpar menor que 20.

Em suma, essa é a análise da Relação de Pertinência que faz a relação entre elementos e um conjunto.

Linguagem matemática dos conjuntos numéricos

Assim como a compreensão da simbologia dos conjuntos, é necessário que você saiba sua linguagem matemática. Como podemos escrever a frase 10 não pertence ao conjunto I na linguagem matemática? Podemos escrever essa expressão: 10 ∉ I.

O símbolo ∉ indica não pertence.

Sob o mesmo ponto de vista, como podemos escrever, na linguagem matemática, a frase 13 pertence ao conjunto I? Escrevemos assim: 13 ∈ I.

O símbolo ∈ significa pertence.

O que são subconjuntos?

Vamos falar da Relação de Inclusão propriamente dita? Anteriormente, temos que mostrar o que é um subconjunto.

Em primeiro lugar, para entender o que são subconjuntos, observe o exemplo anterior (aquele que vimos no item Relação de Pertinência). Vamos definir que o conjunto dos números naturais é o conjunto a ser analisado. Dessa forma, o conjunto dos números pares e o conjunto dos números ímpares são subconjuntos do conjunto dos números naturais.

Logo, subconjuntos são pequenos conjuntos formados com os elementos do conjunto maior que denominamos Universo.

De acordo com o que vimos acima, vamos representar esses conjuntos em linguagem matemática:

a) Conjunto dos números naturais: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9…}

b) Conjunto dos números pares: P = { 0, 2, 4, 6 …}

c) Conjunto dos números ímpares: U = {1, 3, 5, 7, 9…}

d) Conjunto dos números ímpares menores que 20:

I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}

Os conjuntos dos itens b) c) d) são subconjuntos do conjunto dos números naturais. E são apenas alguns exemplos dos infinitos subconjuntos que se originam do conjunto maior.

Relação de Inclusão – teoria dos conjuntos

A Relação de Inclusão analisa se subconjuntos estão dentro de outros conjuntos maiores.

Primeiramente, vamos aprender quais são os símbolos usados nas relações de inclusão são:

a) Contido: ⊂

b) Não está contido: ⊄

c) Contém: ⊃

d) Não contém: ⊅

Agora, vamos resolver dois tipos de problemas sobre teoria dos conjuntos que apareceram em provas de vestibulares:
1. (F. C. Chagas) Se A = {∅, 3, {3}, {2, 3}}, então:

a) {2, 3} ⊂ A

b) 2 ∈ A

c) ∅ ∉ A

d) 3 ⊂ A

e) {3} ∈ A

Antes de mais nada, para resolver esse tipo de questão, temos que analisar todos os dados do problema.

O primeiro dado muito importante é o conjunto dado no enunciado:

A = {∅, 3, {3}, {2, 3}}

Note que temos elementos desse conjunto que são conjuntos menores. Dizemos que {3} e {2, 3} são elementos de A, logo só podemos usar a relação de pertinência entre eles e o conjunto A.

O símbolo ∅ indica o conjunto vazio.

a) {2, 3} ⊂ A é falsa, porque {2, 3} é elemento de A e não é subconjunto de A. O sinal ⊂ indica uma relação de inclusão que é usada entre conjunto e subconjunto.

b) 2 ∈ A é falsa, porque não tem elemento 2 no conjunto A.

c) ∅ ∉ A é falsa, porque o elemento vazio pertence ao conjunto A.

d) 3 ⊂ A é falsa, porque não usamos sinal de inclusão entre elemento e conjunto. O correto é 3 ∈ A.

e) {3} ∈ A está correta, pois {3} é elemento do conjunto A.

Fazer esse tipo de análise para resolver esse tipo de problema pode te ajudar muito. Lembre-se de fazer isso para resolver questões que envolvem conjuntos, elementos, subconjuntos. Essa análise também é útil para resolver questões que envolvem símbolos das relações de Pertinência e as relações de Inclusão.

Para reforçar essa ideia de Relações acesse nossa aula escrita sobre esse assunto.

Quer outro exemplo?

2. (UFGO) Nas sentenças abaixo, assinalam-se com V as sentenças verdadeiras e com F as falsas:

{2} ∈ {0, 1, 2}

∅ ⊂ {5, 6, 7}

∅ ∈ {∅, 4}

5 ∈ {3, {5, 1}, 4}

{5, 6} ⊃ {5, 6, 7}

Nesta ordem, a alternativa CORRETA é:

a) F, V, V, F, F

b) V, F, F, V, F

c) F, V, V, F, V

d) V, F, F, V, V

A resolução desse tipo de problema é mais elaborada. Temos que analisar cada afirmação uma a uma:

  1. {2} ∈ {0, 1, 2}

Para essa afirmação, temos que analisar se {2} está dentro do conjunto {0, 1, 2}. Com isso, percebemos que o elemento 2 está no conjunto, mas {2} não está, então é F.

  1. ∅ ⊂ {5, 6, 7}

O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, logo está contido no conjunto {5, 6, 7}. A afirmação é V.

  1. 3. ∅ ∈ {∅, 4}

O conjunto vazio aparece como elemento desse conjunto, então podemos usar o símbolo de pertence. A afirmação é V.

  1. 5 ∈ {3, {5, 1}, 4}

Essa afirmação é falsa porque não tem elemento 5 no conjunto. O que temos como elemento do conjunto é {5, 1}. A afirmação é F.

  1. {5, 6} ⊃ {5, 6, 7}

O símbolo contém é usado quando o primeiro conjunto tem um número de elementos maior que o segundo. Além disso, o segundo conjunto deve ter elementos no primeiro conjunto. Logo, a afirmação é F.

A alternativa correta é a alternativa a.

Por fim, nada melhor que uma aula em vídeo para complementar os estudos sobre teoria dos conjuntos, não é mesmo? Acesse o vídeo Matemática Elementar com a professora Cláudia de Oliveira da Univesp:

Em conclusão, nesta aula você aprendeu que a teoria dos conjuntos vem do modo como selecionamos, classificamos, agrupamos as coisas (objetos, pessoas, etc). Além disso, você compreendeu que conjunto é um agrupamento de elementos e como podemos representar esses conjuntos. Por fim, apresentamos o conjunto vazio, unitário, as relações de pertinência e as relações de inclusão.

Agora é com você! Está na hora de praticar. Resolva os exercícios abaixo!

Referência Bibliográfica:

ALBERTO. José, Matemática para Concursos Públicos e Vestibulares. São Paulo: Digerati Books, 2008.

1. Sendo A = {1, 2, {1}, {2, 3}}, qual das proposições abaixo é FALSA?

a) 1 ∈

b) {3} ∈

c) {1} ∈

d) A possui quatro elementos.

e) {1, 2, 3} ∈

2. Dado o conjunto A = {1, {2}, 2}, qual das relações abaixo é FALSA?

a) {2} ∈ A

b) {1} ∈ A

c) {1, 2} ⊂ A

d) {2} ⊂ A

e) {2, {2}} ⊂ A

3. (Mack – SP) Dado o conjunto A = {3, {3}} e as proposições:

I. 3 ∈ A

II. {3} ⊂ A

III. {3} ∈ A

Então:

a) apenas as proposições I e II são verdadeiras

b) apenas as proposições II e III são verdadeiras

c) apenas as proposições I e III são verdadeiras

d) todas as proposições são verdadeiras

e) nenhuma proposição é verdadeira

Gabarito: 1.B    2.B   3.D

Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é especialista em Psicopedagogia Institucional com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atua na rede particular, estadual e municipal há 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades privadas na área de Matemática e Metodologia de Ensino de Matemática. Facebook: www.facebook.com/WMariaAP. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.