Transformações dos gráficos de funções trigonométricas

As transformações dos gráficos podem ser observadas em todo tipo de função. Elas podem alterar sua imagem, domínio e até mesmo o período. Para provas como as do Enem e dos vestibulares, é importante que você saiba identificá-las no gráfico e nas questões.

Nesta aula você vai aprender alguns tipos de transformações e como elas afetam em particular as funções trigonométricas.

Comece pelo básico do básico, com a revisão de Funções Trigonométricas:

Transformações dos gráficos de funções trigonométricas

Confira agora o que é translação, contração e expansão de uma função e como identificar essas transformações em gráficos.

Translações

As transformações chamadas de translações são aquelas que se assemelham a “puxar” um gráfico para uma direção em um dos eixos. Para as translações verticais damos o nome de translação no eixo y. Já para as translações horizontais damos o nome de translação no eixo x.

Para cada um desses tipos de translação vamos ter uma mudança diferente na lei de formação da função.

Translação no eixo y

As translações verticais ocorrem quando somamos um número à lei de formação da função. Veja na expressão a seguir:

g(x) = f(x) + a

Onde “f(x)” é uma função qualquer. Se “a” for positivo, o gráfico será deslocado para cima. Mas, se “a” for negativo, o gráfico será deslocado para baixo. Vamos ver a aplicação em funções trigonométricas através dos exemplos a seguir:

• Construa o gráfico da função f(x) = 2 + cos(x)

Nesse tipo de questão é sempre bom começar considerando o gráfico original da função, sem as transformações sofridas. Sabemos que o gráfico do cosseno é o seguinte:

Como a única mudança na lei de formação da “f” em comparação ao cosseno foi a soma de um número positivo, sabemos que ela será o cosseno translocado verticalmente para cima.

Para fazermos isso, vamos somar 2 à coordenada y de cada ponto pertencente ao gráfico do cosseno. Por exemplo, sabemos que o ponto (0,1) pertence ao gráfico original. Portanto, quando somamos 2 à segunda variável e obtemos o ponto (0,3), concluímos que ele pertencerá ao gráfico de f(x).

Note que o que fizemos foi basicamente trazer o gráfico 2 “para cima”. Podemos ainda notar que essa mudança altera a imagem da função, que vai do conjunto [-1, 1] da função cosseno para o conjunto [1, 3] da função f(x).

Observação: é claro que quando fazemos esse tipo de esboço no papel modificamos apenas alguns pontos e completamos a curva. Isso vale para todas as transformações.

Translação no eixo x

Nas translações no eixo x também iremos somar um número à lei de formação da função. Só que dessa vez, o valor numérico irá acompanhar a variável x, olha só:

f(x) = g(x + a)

Onde “g(x)” é uma função qualquer. Se “a” for positivo, o gráfico será deslocado para a esquerda. Mas, se “a” for negativo, “a” será deslocado para a direita. Vamos ver como aplicamos isso na função seno:

• Construa o gráfico da função g(x) = sen(x + π)

Atenção: como agora estamos trabalhando dentro dos parênteses, o valor numérico é representado no domínio da função. Assim, como estamos trabalhando com funções trigonométricas, temos que considerar os valores em radianos (ou graus, se explicitado pela questão). Nessa questão, somamos a “x” o valor de π radianos – que equivale a 180º. Mas, poderíamos estar trabalhando com valores não exatos, como 1 radiano – que equivale a aproximadamente 57,3º.

Como na questão anterior, vamos começar rascunhando a função original, que no nosso caso é a seno:

Veja que a única mudança na função g(x) em relação ao seno foi a soma de π à variável x. Portanto, faremos uma translação de π para a esquerda. Para isso, basta subtrair π das coordenadas referentes ao eixo x nos pontos pertencentes ao gráfico.

Por exemplo, sabemos que o ponto (π, 0) pertence ao gráfico original. Subtraindo π da primeira coordenada, obtemos o ponto (0, 0), pertencente ao gráfico de g(x). Fazemos o mesmo para todos os pontos do gráfico original para obter o gráfico de g(x).

O interessante dessa transformação é que ela não afeta o período, domínio ou imagem das funções seno, cosseno e tangente.

Expansões e contrações

Chamamos de expansões as transformações que se assemelham a esticar um gráfico. Em contrapartida, as contrações se assemelham a comprimir um gráfico. Da mesma forma que as translações, esse tipo de transformação pode ocorrer no eixo x (horizontal) ou no eixo y (vertical), sendo que as mudanças na lei de formação também se diferem.

Expansões e contrações no eixo y

As expansões verticais acontecem quando multiplicamos a lei de formação de uma função por um número:

h(x) = a . j(x)

Onde j(x) é uma função qualquer e “a” é um número positivo. Quando “a” for um número maior que 1, acontecerá uma expansão vertical. Contraposto a isso, quando “a” for um número menor que 1, acontecerá uma compressão vertical. Vamos ver em uma função trigonométrica:

• Construa o gráfico da função j(x) = 3cos(x)

Como nos outros exemplos, sempre começamos com o gráfico da função original. Neste caso, é o da função cosseno.

A única mudança de j em relação à função cos(x) é uma multiplicação por 3. Por isso, precisamos expandir o gráfico. Para isso, vamos multiplicar cada coordenada “y” por 3 enquanto mantemos o valor de x.

Por exemplo, sabemos que o ponto (0, 1) está na função cosseno. Portanto, vamos substituí-lo pelo ponto (0, 3). Fazendo isso com todos os pontos obtemos o seguinte gráfico:

Nas funções seno e cosseno, quando expandimos uma função pelo eixo y, não há mudanças em seu domínio ou período. Entretanto, o conjunto imagem se altera para [-a, a], onde “a” é o parâmetro da multiplicação.

Por exemplo, o conjunto imagem da função cosseno é originalmente [-1, 1], já a função j tem o conjunto imagem [-3, 3].

Observação: e se “a” for negativo? Quando o parâmetro “a” é negativo, temos um caso particular dessa transformação chamado de inversão. O procedimento é o mesmo que acabamos de ver, mas você perceberá que o gráfico ficará de “ponta cabeça” se comparado com o original.

Expansão ou contração no eixo x

As expansões horizontais acontecem quando multiplicamos a variável presente na lei de formação de uma função por um número. Veja só:

j(x) = h(a . x)

Onde h(x) é uma função qualquer e “a” é um número positivo. Quando a for um número maior que 1, acontecerá uma contração horizontal. Contraposto a isso, quando “a” for um número menor que 1, acontecerá uma expansão horizontal. Vamos ver como essa transformação se comporta com a função seno:

• Construa o gráfico da função h(x) = sen(1/2 . x)

Como todos os outros exemplos, começamos esboçando o gráfico da função seno:

Como o número multiplicando “x” dentro dos parênteses é um número menor que 1, faremos uma expansão horizontal. Para isso, multiplicamos as coordenadas relativas ao eixo x por 1/a. Por exemplo, sabemos que o ponto (π, 0) pertence ao gráfico, portanto, multiplicaremos π por .

Assim, obtemos o ponto (2π, 0), pertencente ao gráfico da função h. Fazendo isso para todos os pontos, obtemos o seguinte gráfico:

Agora que já sabe sobre transformações dos gráficos de funções trigonométricas, pode revisar a trigonometria no triângulo vendo a seguinte videoaula de exercícios do professor Lucas sobre o assunto.

Exercícios sobre transformações dos gráficos

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