O que são vetores e operações de adição, subtração e multiplicação

O que são vetores? Por que é importante aprender sobre eles? Como eles podem te ajudar na física? Faça agora uma viagem na matemática para compreender tudo sobre vetores! Entender as famosas “setas” é essencial para resolver alguns exercícios de física. Vem com a gente e revise Física para o Enem e para os vestibulares.

Nesta aula você vai entender o que são os vetores e para que servem. Compreenderá também os significados de vetor oposto, bem como a multiplicação de um número por um vetor e as operações de adição e subtração vetorial.

O que são vetores

Vetores são entes matemáticos caracterizados pelo que há de comum ao conjunto dos segmentos orientados, isto é, possuem comprimento, direção e sentido. Porém, em se tratando de vetor, o comprimento passa a se chamar módulo.

Dessa forma, temos que todo vetor possui módulo, direção e sentido. Observe o desenho: Neste esquema você pode ver que temos um segmento de reta orientado, com origem no ponto A e extremidade em B, sendo representado pelo vetor .

Observe que a representação é feita por uma letra minúscula qualquer com um segmento de reta pequeno orientado sobre ela. Não esqueça que essa “setinha” no símbolo que representa o vetor sempre tem sentido para a direita.

Você acabou de ver que o “módulo” de um vetor é seu comprimento e, no caso de uma grandeza, seu valor. Mas, o que é a sua direção? A direção pode ser horizontal ou vertical, e cada direção pode ter dois sentidos.

Como você pode observar na imagem acima, a direção horizontal pode ter sentido para esquerda ou para direita. Já a direção vertical, sentido para baixo ou para cima.

Entenda o que é Força Resultante

Confira agora um resumo inicial com a professora Lia, que dá aulas de Física no Curso Enem Gratuito. Você vai aprender a calcular a força resultante de uma vez por todas, e gabaritar nas questões de vetores:

Vetores na Física

Para se estudar e compreender perfeitamente grandezas físicas vetoriais recorremos ao vetor. Imagine por exemplo, aplicar duas forças em um corpo. Qual será o resultado da adição dessas duas forças? Certamente, não podemos simplesmente somar os módulos!

Afinal, de onde vêm essas forças? Estão agindo no mesmo sentido? Ou em sentidos contrários? Nesses casos, teríamos resultados diferentes em relação à força resultante.

Sendo assim, utilizando-se a representação de vetores, conseguiremos definir e efetuar a soma, a subtração e as multiplicações de grandezas vetoriais. Tudo isso considerando as peculiaridades das grandezas vetoriais envolvidas.

Operações com vetores

Em seguida veremos como realizar operações de adição e subtração de vetores. Além disso, veremos a regra do poligonal, do paralelogramo, os opostos e o produto de um número por um vetor.

Adição de vetores

Temos duas formas de somar vetores: uma chamada de regra do poligonal e outra, a regra do paralelogramo. Vamos conhecê-las.

Regra do Poligonal

Considere os vetores e representado abaixo. O vetor soma é o resultado de + . Acompanhe no desenho:

A regra do poligonal, como o próprio nome já diz, forma-se um polígono. E o que é um polígono?

Um polígono é todo figura plana fechada, compreendida por segmentos de retas ligados entre si, por exemplo, triângulos, quadrados, hexágonos, etc.

Bom, voltando a regra, o vetor soma tem sua origem ligada ao início do vetor e seu término ligada ao final do vetor . Sempre o vetor soma terá sua origem no início do primeiro vetor e terminará no final do último vetor envolvido. Observe os vetores e .

A fim de entender melhor a regra do poligonal, assista à videoaula do canal do Curso Enem Gratuito:

Regra do Paralelogramo

A regra do paralelogramo é melhor compreendida quando utilizada na soma de dois vetores, isso porque os dois vetores se tornarão dois lados do paralelogramo a se formar. Então, ela é melhor indicada para soma de apenas dois vetores.

Vamos utilizar os mesmos dois vetores do primeiro exemplo dado na rega do poligonal:

Observe que surgem dois lados fantasmas para formar o paralelogramo. Esses lados fantasmas nada mais são do que os próprios vetores deslocados. O vetor soma é a diagonal desse paralelogramo. Perceba que é exatamente igual ao vetor soma do primeiro método.

Atenção: Quando os segmentos orientados que representam os vetores formam um polígono fechado, o vetor soma é chamado de vetor nulo e é indicado por

Caso particular: Quando os vetores estão alinhados, com mesma direção e sentido, você pode apenas soma-los. Veja na imagem:

Para entender melhor a regra do paralelogramo, veja esta videoaula do professor Rossetto:

Opostos

Denomina-se vetor oposto ao vetor , o vetor . Ou seja, são vetores contrários, que possuem mesmo módulo e mesma direção, porém sentido oposto. Veja os exemplos:

Subtração de vetores

Podemos dizer que a subtração de dois vetores é a soma do primeiro com o oposto do segundo. Como vimos, o oposto de um vetor, é o mesmo vetor, mesmo comprimento, porém o sentido que é trocado. Vamos ver então como fica a subtração. Observe os exemplos abaixo:

Produto de um número por um vetor

Temos duas situações para um número multiplicando um vetor: ele sendo positivo ou negativo.

Considere o vetor , de módulo 3, direção horizontal e sentido para esquerda sendo multiplicado pelo algarismo 2:

Características dos vetores resultantes:

Quando multiplicado por 2: módulo de 2 é 6, direção a mesma e sentido o mesmo.
Quando multiplicado por -2: módulo de -2 é 6, mesma direção, porém sentido oposto.

Vetores no dia a dia

A sua aplicação no cotidiano é muito comum. Separei abaixo algumas situações. Veja:

Quando você tem que empurrar um carro. Neste caso, geralmente é necessário a ajuda de várias pessoas. Para que o carro ande, todos empurram na mesma direção! Estão somando forças com a mesma direção e sentido. Poderíamos representar a força que as pessoas estão fazendo com vetores no mesmo sentido e direção;
Quando você vai viajar de uma cidade a outra de automóvel é necessário seguir por rodovias, ruas e estradas com orientações variadas até chegar ao destino final. Os vetores até aprecem como sinalização para o trânsito pintados nas ruas e placas;
Quando deseja carregar uma caixa pesada em duas pessoas o que fazemos é compor forças, fazendo com que o peso da caixa seja igual ou inferior a soma da força realizadas pelas duas pessoas;
E, ao fazer uma curva, evitando que o carro derrape, você estará controlando a velocidade e aceleração do veículo. Estas duas grandezas vetoriais você estudará em movimento circular.

Videoaula

Para complementar seus estudos, confira mais esta videoaula:

Agora resolva os 10 exercícios sobre vetores:

Sobre o(a) autor(a):

Rodinei Pachani é mestre em Geofísica pela USP-SP, com licenciatura plena em matemática, possui pós-graduação em Gerência Financeira e especialização em Estatística Aplicada. Possui experiência de mais de 28 anos em sala de aula, tendo trabalhado com ensino médio, cursinhos e Faculdades. É autor do livro “Ciência ao alcance de todos” e possui um canal no YouTube onde realiza experimentos, explica conteúdos e resolve exercícios de física.

Vetores: o que são, adição, subtração e multiplicação