Saiba como a sequência de Fibonacci se apresenta em fenômenos da natureza, nas artes e até na arquitetura. Veja também quem é Fibonacci nesta revisão de Progressão Aritmética do Curso Enem Gratuito! No final, tem 10 questões para testar seu nível em PA.
Nos tempos de vida dinâmica em que vivemos muitas vezes temos que apelar para aquela listinha básica, geralmente com um sequência lógica de afazeres a cumprir. Nesta aula vamos entender o que são sequências dentro da progressão aritmética, o que é a sequência de Fibonacci, quem foi Gauss, e quais as aplicações da PA . Vem com a gente revisar Matemática para o Enem!
O que é uma sequência
Uma sequência é uma lista com elementos e que devem ter uma determinada ordem. Como nossa lista de afazeres ou checklist.
Estamos sempre utilizando sequências desde que acordamos e iniciamos nosso dia. Numericamente, quando contamos, já utilizamos uma sequência natural: 0, 1, 2, 3, 4, 5…, não é mesmo?
Vamos citar mais alguns exemplos de sequências e que você conhece:
a) Números naturais ímpares: 1, 3, 5, 7, …, 17, 19
b) Múltiplos naturais de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, …
c) Números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …
Podemos concluir através dos exemplos que uma sequência numérica ou sucessão numérica é um conjunto ordenado de números reais e seus termos.
Os elementos de uma sequência
Em alguns casos, obedece a uma lei ou ordem. E pode ser finita ou infinita. Os elementos de uma sequência são ordenados e os representamos por uma letra mais um número subscrito que indica a ordem:
a1, a2, a3, a4, …, an-1, an
Sendo:
- a1: primeiro termo
- a2: segundo termo
- an: enésimo termo
Então, podemos escrever os termos de uma sequência pela seguinte expressão:
an = (-1)n
Onde n é um número real.
Veja o seguinte exemplo:
Se n= 4, então a4 = (-1)4 = 1
Basta você substituir n por números naturais.
Veja mais um exemplo:
Determine os cinco primeiros termos da sequência (an) tal que a1 = 10 e an+1 = an + n, sendo que n é um número real.
Solução:
Se an+1 = an + n e a1 = 10, então temos que substituir n por um número real. Vamos iniciar por :
a) n = 1
Substituindo em an+1 = an + n temos:
a1+1 = a1 + 1
a2 = 10 + 1
a2 = 11
b) n = 2 temos:
a2+1 = a2 + 2
a3 = 11 + 2
a3 = 13
c) n = 3 temos:
a3+1 = a3 + 3
a4 = 13 + 3
a4 = 16
d) n = 4 temos:
a4+1 = a4 + 4
a5 = 16 + 4
a5 = 20
Portanto, concluímos que a sequência (an) = (10, 11, 13, 16, 20).
Sequência de Fibonacci
Agora que você sabe o que é uma sequência, vamos conhecer Fibonacci e a sua famosa Sequência de Fibonacci:
Leonardo de Pisa ou Fibonacci, como ficou conhecido, descobriu através da observação do crescimento populacional dos coelhos uma sequência que rege muitos fenômenos da natureza: a Sequência de Fibonacci.
Essa sequência é uma sucessão infinita de números que obedecem a um padrão. Esse padrão mostra que cada elemento subsequente é a soma dos dois anteriores. Como:
0 + 1 = 1
1+ 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
Assim temos a Sequência de Fibonacci : 0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 …
Essa sequência é expressa geometricamente pela espiral de Fibonacci. Veja a figura abaixo:
Espiral de Fibonacci e o padrão apresentado na natureza – A Espiral de Fibonacci está no meio da imagem e mostra o padrão em alguns elementos naturais. Perceba como essa espiral está presente nas outras imagens.
Agora que você já sabe o que é a sequência Fibonacci, vamos entender o que é uma Progressão Aritmética (P.A.).
Progressão Aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido pela adição do termo anterior a uma constante r, chamada de razão da progressão.
Logo, r é o número real denominado razão da P.A., e a partir do segundo termo ela é obtida pela diferença entre qualquer termo e o seu antecessor.
Então:
r = a2 – a1
r = a3 – a2
= a4 – a3
…
r = an – an-1
Veja como calculamos a razão das seguintes sequências:
(4,6,8,10…) é uma PA com a1 = 4 e r = 6-4 = 2
(12,9,6,3,0…) é uma PA com a1 = 12 e r = 9-12 = -3
Uma Progressão Aritmética pode ser, conforme Bonjorno (2016), classificada através do valor de sua razão:
a) r >0: se a razão for um número positivo a PA é crescente.
b) r =0: se sua razão for igual a zero, a PA é constante.
c) r < 0: se sua razão for um número negativo, a PA é decrescente.
Resumo de Progressão Aritmética
Confira agora com o professor Lucas Borghesan, do canal do Curso Enem Gratuito, as dicas básicas para você mandar bem nas questões de Progressão Aritmética no Enem e nos vestibulares.
Termo geral da Progressão Aritmética
O termo geral de uma Progressão Aritmética é aquele que ocupa a enésima posição nessa sequência e é dado por:
an = a1 + (n-1)r
Nessa fórmula, n representa o número de termos da PA, desde o a1 até o an, sendo que n um número real.
Exercício resolvido sobre PA
a) Qual é o 24º termo da P.A. (32, 38, 44,…)?
Para descobrirmos esse termo, precisamos calcular, primeiro, a razão dessa sequência:
Sendo:
a1 = 32. Esse é o primeiro termo da sequência dada.
n = 24. O enunciado diz que quer o 24º termo, então o número de termos é 24.
r = a2 – a1 para calcularmos a razão da PA.
r = 38 – 32 (segundo termo menos o primeiro)
r = 6.
Para calcularmos o 24º termo da Progressão Aritmética precisamos substituir os valores na expressão que define um termo da PA:
an = a1 + (n-1)r
a24 = 32 + (24-1)6
a24 = 32 + 23 . 6
a24 = 32 + 138
a24 = 170
Soma dos termos de uma Progressão Aritmética
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) foi uma criança incomum, já gostava de se divertir com cálculos matemáticos avançados.
Segundo Boyer (1996), um dia, para ocupar a classe o professor mandou que os alunos somassem todos os números de 1 a 100, e ordenou que quando terminassem colocassem a ardósia sobre a mesa conforme terminassem. Quase no mesmo instante Gauss colocou a sua sobre a mesa e, o professor ficou admirado, foi logo corrigir e não acreditou como um menino conseguiu tal façanha. Ele chegou ao resultado exato: 5050.
O raciocínio de Gauss deu origem a fórmula da Soma finita de uma Progressão Geométrica.
Você sabe como ele resolveu tal desafio?
Ele notou que o primeiro número mais o último era igual a 101 e que o segundo mais o penúltimo também era igual a 101. Também notou que existiam 50 pares que a soma era igual a 101. Então fez o cálculo:
101 X 50 = 5050.
A partir desse raciocínio de Gauss surgiu a fórmula Soma finita de uma Progressão Geométrica. Se tivermos uma Progressão Aritmética de n termos: (a1,a2,a3,…,aan-2,an-1,an), a soma Sn de seus n primeiros termos da seguinte forma:
Sn = (a1 + an)/2
sendo a1 o primeiro termo e an o enésimo termo.
Agora que você já entendeu o que é uma sequência, o que é uma sequência de Fibonacci, uma progressão aritmética e conheceu a história de Gauss tem que praticar também, não é mesmo?
Então teste seus conhecimentos fazendo os exercícios propostos.
Referências Bibliográficas:
BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. 3. ed. São Paulo: Edgar Blücher, 2012.
Exercícios sobre Progressão Aritmética:
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