Progressão Aritmética (PA) e Sequências

Saiba como a sequência de Fibonacci se apresenta em fenômenos da natureza, nas artes e até na arquitetura. Veja também quem é Fibonacci nesta revisão do Curso Enem Gratuito! No final, tem 10 questões para você testar seus conhecimentos!

Nos tempos de vida dinâmica em que vivemos muitas vezes temos que apelar para aquela listinha básica, geralmente com um sequência lógica de afazeres a cumprir. Nesta aula vamos entender o que são sequências, o que é a sequência de Fibonacci, quem foi Gauss e o que é progressão aritmética e suas aplicações. Vem com agente revisar Matemática para o Enem!

Você sabe o que é uma sequência?

Uma sequência é uma lista com elementos e que devem ter uma determinada ordem. Como nossa lista de afazeres ou checklist.

Estamos sempre utilizando sequências desde que acordamos e iniciamos nosso dia. Numericamente, quando contamos, já utilizamos uma sequência natural: 0, 1, 2, 3, 4, 5…, não é mesmo?

Vamos citar mais alguns exemplos de sequências e que você conhece:

a) Números naturais ímpares: 1, 3, 5, 7, …, 17, 19
b) Múltiplos naturais de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, …
c) Números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …

Podemos concluir através dos exemplos que uma sequência numérica ou sucessão numérica é um conjunto ordenado de números reais e seus termos.

Em alguns casos, obedece a uma lei ou ordem. E pode ser finita ou infinita.

Os elementos de uma sequência são ordenados e os representamos por uma letra mais um número subscrito que indica a ordem:

progressão aritmética 1
Sendo:

progressão aritmética 2

Então, podemos escrever os termos de uma sequência pela seguinte expressão:

progressão aritmética 3

Onde n é um número Real.
Veja o seguinte exemplo:

Basta você substituir n por números naturais.

Veja mais um exemplo:

Determine os cinco primeiros termos da sequência progressão aritmética 4 progressão aritmética 4 sendo que n é um número Real.

Solução:

progressão aritmética 5 então temos que substituir n por um número real.
Vamos iniciar por :

progressão aritmética 6

Agora que você sabe o que é uma sequência, vamos conhecer Fibonacci e a sua famosa Sequência de Fibonacci:
progressão aritmética 7
Fibonacci

Leonardo de Pisa ou Fibonacci, como ficou conhecido, descobriu através da observação do crescimento populacional dos coelhos uma sequência que rege muitos fenômenos da natureza: a Sequência de Fibonacci.
Essa sequência é uma sucessão infinita de números que obedecem a um padrão. Esse padrão mostra que cada elemento subsequente é a soma dos dois anteriores. Como:

progressão aritmética 8

Assim temos a Sequência de Fibonacci : 0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 …

Essa sequência é expressa geometricamente pela espiral de Fibonacci. Veja a figura abaixo:

Exemplos da espiral de Fibonacci na natureza
Espiral de Fibonacci e o padrão apresentado na natureza

A Espiral de Fibonacci está no meio da imagem e mostra o padrão em alguns elementos naturais. Perceba como essa espiral está presente nas outras imagens.

Agora que você já sabe o que é a sequência Fibonacci, vamos entender o que é uma Progressão Aritmética (P.A.).

Progressão Aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido pela adição do termo anterior a uma constante r, chamada de razão da progressão.

Logo, r é o número real denominado razão da P.A., e a partir do segundo termo ela é obtida pela diferença entre qualquer termo e o seu antecessor.

Então:

progressão aritmética 10

Veja como calculamos a razão das seguintes sequências:

progressão aritmética 11

Uma Progressão Aritmética pode ser, conforme Bonjorno (2016), classificada através do valor de sua razão:

a) r >0: se a razão for um número positivo a PA é crescente.
b) r =0: se sua razão for igual a zero, a PA é constante.
c) r < 0: se sua razão for um número negativo, a PA é decrescente.

Aprenda mais sobre a progressão aritmética com nossa videoaula:

Termo geral da PA:

O termo geral de uma Progressão Aritmética é aquele que ocupa a enésima posição nessa sequência e é dado por:

progressão aritmética 12

Nessa fórmula, n representa o número de termos da PA, desde o  sendo que n um número real.
Aplicações:

a) Qual é o 24º termo da P.A. (32, 38, 44,…)?

Para descobrirmos esse termo, precisamos calcular, primeiro, a razão dessa sequência:

Sendo:

progressão aritmética 13

Para calcularmos o 24º termo da Progressão Aritmética precisamos substituir os valores na expressão que define um termo da PA:

progressão aritmética 13

Soma dos termos de uma Progressão Aritmética:

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) foi uma criança incomum, já gostava de se divertir com cálculos matemáticos avançados.

progressão aritmética 14
Carl Friedrich Gauss

Segundo Boyer (1996), um dia, para ocupar a classe o professor mandou que os alunos somassem todos os números de 1 a 100, e ordenou que quando terminassem colocassem a ardósia sobre a mesa conforme terminassem. Quase no mesmo instante Gauss colocou a sua sobre a mesa e, o professor ficou admirado, foi logo corrigir e não acreditou como um menino conseguiu tal façanha. Ele chegou ao resultado exato: 5050.

Conheça esta história curiosa!

O raciocínio de Gauss deu origem a fórmula da Soma finita de uma Progressão Geométrica.

Você sabe como ele resolveu tal desafio?

Ele notou que o primeiro número mais o último era igual a 101 e que o segundo mais o penúltimo também era igual a 101. Também notou que existiam 50 pares que a soma era igual a 101. Então fez o cálculo:
101 X 50 = 5050.

A partir desse raciocínio de Gauss surgiu a fórmula Soma finita de uma Progressão Geométrica. Se tivermos uma Progressão Aritmética de n termos:  a Soma Sn de seus n primeiros termos da seguinte forma:

progressão aritmética 15

Agora que você já entendeu o que é uma sequência, o que é uma sequência de Fibonacci, uma progressão aritmética e conheceu a história de Gauss tem que praticar também, não é mesmo? Então teste seus conhecimentos fazendo os exercícios propostos.

Referências Bibliográficas:

BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. 3. ed. São Paulo: Edgar Blücher, 2012.

Exercícios:

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Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é especialista em Psicopedagogia Institucional com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atua na rede particular, estadual e municipal há 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades privadas na área de Matemática e Metodologia de Ensino de Matemática. Facebook: www.facebook.com/WMariaAP. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.

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