Inequação modular é uma desigualdade em que a incógnita (x) se encontra dentro de um módulo. Aprenda passo a passo como resolver inequações modulares!
A inequação modular é um campo da matemática que é absurdamente divertido de se trabalhar quando se tem as ferramentas corretas. Por isso, nesta aula você vai aprender estratégias de resolução que vão muito além da apresentação de conceitos.
A parte mais divertida e fácil das inequações modulares é a possibilidade de você utilizar conteúdos que já estudou anteriormente. Por exemplo: as desigualdades para as inequações, o conceito de módulo para a solução delas e até mesmo a construção dos gráficos, para a visualização do que está sendo feito. Para as mentes criativas as inequações modulares apresentam inúmeras possibilidades.
Você já está familiarizado com as desigualdades, os conceitos de maior, menor, maior igual e menor igual, não é mesmo? Levando isso em consideração, sugiro que para compreender alguns conceitos desta aula é interessante que, primeiramente, você dê uma olhadinha na aula sobre função modular e módulo.
A Função Modular
Confira este resumo de introdução à Função Modular, com o professor Lucas Borguezan, do canal do Curso Enem Gratuito, para você fazer o “esquenta” antes de entrar no conteúdo de Inequação Modular.
Valeu pra você esta revisão para o começo da aula? Então, agora vamos avançar para as Inequações.
O que é inequação modular
Uma inequação modular é uma desigualdade que pode se apresentar de diferentes formas, sejam elas
|x| > k
|x| < k
|x| ≥ k
|x| ≤ k
sendo k um número real.
Em todos esses casos, a incógnita (x) se encontra dentro do módulo e a resolução se dá de uma forma parecida. No entanto, é diferente da resolução das equações modulares. O objetivo aqui é encontrar um ou mais valores para x que satisfaçam a desigualdade.
Primeiro exemplo de inequação modular
Calcule |x| ≥ 4.
Se você trouxer seu conhecimento de equações modulares, intuitivamente vai pensar que, se um valor dentro do módulo pode ser positivo ou negativo, logo a solução é x ≥ 4 ou x ≥ -4. Contudo, essa linha de raciocínio está incorreta, e eu já vou te explicar o porquê.
Para essa explicação, vamos aproveitar que tivemos no passado um grande matemático chamado René Descartes (1596 – 1650), capaz de criar uma ferramenta que relaciona álgebra com a geometria: o plano cartesiano. Vamos utilizar essa ferramenta a favor dos nossos estudos (é o famoso vou desenhar para você entender melhor, só que dito de uma forma mais refinada).
Gráfico da inequação modular
Relembrando o gráfico da função modular mais simples, a f(x) = |x| em vermelho, temos:
Em seguida, usando a inequação |x| ≥ 4 acima como exemplo, podemos associar cada um dos lados da desigualdade a uma função específica.
Sendo assim, f(x) = |x| e g(x) = 4.
Bem, o gráfico da f(x) = |x| você já conhece, e o gráfico da g(x) = 4 é apenas uma reta que passa pelo ponto no eixo das ordenadas, destacado na imagem em azul:
Então, você se faz a seguinte pergunta: para quais valores de x a função f(x) (em vermelho) é maior do que a função g(x) (em azul)? Observe o gráfico:
As áreas destacadas em cinza são os valores para os quais a f(x) é maior do que a g(x) (onde o gráfico vermelho está literalmente acima do gráfico azul). Ou seja, todos os valores de x que sejam maiores ou iguais a 4 ou menores ou iguais a -4 satisfazem a equação.
Relembre: quem é a f(x) e quem é a g(x)? f(x) = |x| e g(x) = 4.
Sendo assim, os valores que satisfazem a inequação |x| ≥ 4 são x ≥ 4 e x ≥ -4. Por fim, o conjunto solução é o seguinte:
S = {x ∈ R | x ≥ 4 ou x ≥ -4}
Segundo exemplo de inequação modular:
Encontre os valores de x que satisfaçam |x| < 4.
Seguindo a mesma linha de raciocínio, temos que identificar no gráfico as partes onde a f(x) em vermelho esteja abaixo (seja menor) do que a g(x) em azul, observe:
Então, a solução de |x| < 4 são todos os valores entre -4 e 4. Assim, o conjunto solução é:
S = {x ∈ R | –4 < x < 4}
A partir tudo discorrem as propriedades descritas em seguida.
Propriedades das inequações modulares
As duas primeiras propriedades estão relacionadas ao primeiro exemplo. Dessa forma, para toda inequação da forma
- |x| > k os valores de x serão x < -k ou x > k.
- |x| ≥ k os valores de x serão x ≤ -k ou x ≥ k.
Esses valores podem ser vistos como todos os valores do ponto de encontro dos gráficos “para fora”.
Já as outras duas propriedades têm relação com o segundo exemplo:
- |x| < k os valores de x serão -k < x < k.
- |x| ≤ k os valores de x serão -k ≤ x ≤.
Esses valores podem ser vistos como todos os valores do ponto de encontro dos gráficos “para dentro”.
Agora que você já conhece as propriedades e já entendeu de onde elas surgiram, é hora de aplicar nos exercícios em seguida.
Exercícios resolvidos
1- Resolver a inequação modular |2x -1| < 2.
Essa inequação se assemelha ao segundo, por isso usamos para sua resolução a propriedade: |x| < k os valores de x serão -k < x < k.
Sendo assim
-2 < 2x -1 ou 2x – 1 < 2
Resolvendo temos:
|
-2 < 2x -1 -2 + 1 < 2x 1 < 2x x > 1/2 |
ou |
2x -1 < 2 2x < 2 + 1 2x < 3 |
Assim, o conjunto solução se dá da forma S = {x ∈ R | 1/2 < x < 3/2}.
2- Resolver a inequação modular |2x – 3| > x + 1
Essa inequação se assemelha ao primeiro exemplo, portanto sua solução se dará da forma |x| > k os valores de x serão x < -k ou x > k. Sendo assim, temos duas possibilidades
2x – 3 > x + 1 ou 2x – 3 < -(-x + 1)
Portanto, resolvemos assim:
| 2x – 3 > x + 1
2x – x > 1 + 3 x > 4 |
ou |
2x – 3 < -(x + 1) 2x – 3 < -x -1 2x + x < -1 + 3 3x < 2 x < 2/3 |
Por fim, o conjunto solução se dá da forma S = {x ∈ R | x > 4 ou x < 2/3}
Dica
Sugiro que você tome como lição a construção do gráfico dessas funções para tirar a prova real. Não somente para analisar se de fato está correto o resultado.
Mas, mais do que isso, para avaliar seu processo de aprendizagem e verificar como se comportam os gráficos de diferentes funções. Hoje existem diversos aplicativos tanto para celular quanto computador que podem te auxiliar e muito nesse processo.
Videoaula
Agora que você já viu a teoria e alguns exemplos de inequações modulares, veja esta videoaula do professor Lucas para o nosso canal no YouTube e, em seguida, resolva os exercícios:
Exercícios sobre Inequação Modular
1- (ESPM SP/2012)
As soluções reais da inequação x + |2x – 6| ≤ 9 são representadas pelo intervalo
a) [3, +∞[
b) [–5,3]
c) ]–∞, –3]
d) [5, +∞[
e) [–3, 5]
2 – (UNESP SP/2012)
No conjunto IR dos números reais, o conjunto solução S da inequação modular |x| × |x – 5| ³ 6 é:
a) S = {x ∈ IR / –1 ≤ x ≤ 6}.
b) S = {x ∈ IR / x ≤ –1 ou 2 ≤ x ≤ 3}.
c) S = {x ∈ IR / x ≤ –1 ou 2 ≤ x ≤ 3 ou x ≥ 6}.
d) S = {x ∈ IR / x ≤ 2 ou x ≥ 3}.
e) S = IR.
3- (FAAP SP/)
O conjunto solução da inequação | x2 – 6x + 5 | < –5 é
a) S = {x ∈ R | x < 0 ou x > 6}
b) S = {x ∈ R | 0 < x < 6}
c) S =
d) S = R
e) n.d.a.
Gabarito:
- E
- C
- C
