Ângulo é a região compreendida entre duas semirretas que possuem o mesmo ponto de origem. Pode ser côncavo ou convexo e é medidos em graus ou radiano.
Primeiramente, precisamos entender a definição matemática de um ângulo: ângulo é a região compreendida entre duas semirretas que possuem a mesma origem, mas que não estão contidas na mesma reta.
O que é o ângulo
Para facilitar a sua compreensão desse conceito, veja a imagem abaixo representando um ângulo:
Imagem 1: Duas semirretas de mesma origem (O) não contidas na mesma reta formando o ângulo AÔB.
Perceba na imagem acima que as semirretas que formam o ângulo são as denominadas por 
. Essas semirretas são os lados do ângulo e o ponto O é o vértice do ângulo.
Ainda sobre a imagem acima, a notação para o ângulo é AÔB ou simplesmente Ô. Ou seja, colocamos um acento circunflexo no vértice do ângulo, sendo esse vértice representado pela letra maiúscula O ou qualquer outra letra maiúscula do nosso alfabeto. Ainda, um ângulo também pode ser representado por letras minúsculas do alfabeto grego (α, β, γ, …).
Resumo sobre os Ângulos
Confira com o professor Lucas, do canal do Curso Enem Gratuito, as dicas iniciais sobre os Ângulos:
Muito boa esta introdução. Se você ainda não captou os conceitos iniciais, vale a pena ver de novo esta aula antes de prosseguir.
Ângulos e semirretas
Mas, indo um pouco mais além, as duas semirretas acima dividem o plano em duas regiões: a região do lado de “dentro” das semirretas – em verde na imagem abaixo- e a região do lado de “fora” das semirretas – em cinza na imagem abaixo.
Imagem 2: Regiões delimitadas por um ângulo AÔB qualquer. Em verde, a região do lado de “dentro” das semirretas e em cinza a região do lado de “fora” das semirretas.
Toda vez que traçamos duas semirretas para construir um ângulo, estamos, na verdade, construindo dois ângulos. Um dos ângulos é simplesmente a região do lado de “dentro” das semirretas enquanto o outro ângulo é a região do lado de “fora” das semirretas.
Um desses ângulos é classificado como côncavo e o outro é classificado como convexo. Se você não conhece essa classificação, continue a leitura pois daqui a pouco já retornaremos a esses conceitos.
É sempre importante ficar atento/a aos dois ângulos que as semirretas formam. Mas, quando vier à sua mente a ideia de ângulo, lembre-se de uma imagem semelhante à imagem 1.
Considerando, então, um ângulo AÔB qualquer e, com o apoio da imagem a seguir, podemos dizer que:
Imagem 3: Ângulo AÔB com um ponto P em seu interior e um ponto Q em seu exterior.
- O ponto P está no interior do ângulo AÔB.
- O ponto Q está no exterior do ângulo AÔB.
Até aqui, já sabemos como definir um ângulo, sua notação e o que é seu interior e exterior. Em seguida vamos a um outro ponto importantíssimo sobre ângulos: suas unidades de medidas.
Unidades de medida de um ângulo
Podemos medir os ângulos através das unidades:
- Graus (°);
- Radianos (rad).
Mas o que significa cada uma dessas medidas?
Graus
Para definirmos o grau, imagine que temos uma circunferência completa, conforme imagem abaixo.
Imagem 4: circunferência.
Em seguida, imagine que você vai dividi-la em 360 partes iguais e que, após a divisão, você fica com um pedaço dos 360 que foram gerados. Conseguiu visualizar?
- Pois bem, preciso te contar que esse pedaço que ficou com você equivale a exatamente 1 grau (1°).
- Pela definição matemática, dizemos que 1 grau (1°) equivale a 1/360 partes de uma circunferência.
- Aprofundando, podemos dividir o grau em minutos e os minutos em segundos. E como isso é possível?
- É simples, basta você lembrar que 1 grau equivale a 60 minutos (1º = 60’) e 1 minuto equivale a 60 segundos (1’ = 60).
- Perceba que a notação para minutos é ‘ e a notação para segundos é “.
Os Ângulos nos Triângulos
Veja as dicas do Curso Enem Gratuito para você se ligar em como calcular a área de um triângulo. Confira com o professor Lucas:
Valeu pra você? Muito bom. Vamos adiante para aprender a fazer os cálculos para gabaritar no Enem.
Operações matemáticas utilizando ângulos
É possível também realizar operações com ângulos. Podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir ângulos. Vejamos alguns exemplos:
- 52º – 28º = 24º
- 48º20’ + 22º14’ = 70º34’
- 34º/2 = 17º
- 12º15’2” x 2 = 24º30’4”
E como fazemos operações com esses ângulos? Operamos primeiro os segundos, depois os minutos e por último os graus. Sempre lembrando que a cada 60’’ ganhamos 1’ e a cada 60’ ganhamos 1°.
- Vale a pena ressaltar ainda o seguinte: às vezes precisamos “pedir empresado” um valor da “casa vizinha” na subtração para continuarmos a operação.
- No caso dos ângulos, a ideia de “pedir emprestado” também é válida, mas com um detalhe a mais: se você pegar 1° emprestado, ele vai para a casa dos minutos como 60’ e sobra 1° a menos na casa dos graus.
- Já se você pegar 1’ emprestado, ele vai para a casa dos segundos como 60’’ e sobra 1’ a menos na casa dos minutos.
- Ficou difícil de entender? Vou exemplificar. Veja como fazer a subtração :
Agora que já aprendemos sobre o grau, podemos estudar a definição de radianos.
Radianos
Dada uma circunferência qualquer de raio r, dizemos que o arco dessa circunferência mede 1 radiano (1 rad) quando a medida desse arco for exatamente igual à medida do raio da circunferência.
Descobrimos, então, que podemos escrever a medida de um ângulo tanto por graus quanto por radianos.
No entanto, a definição de radiano é mais complicada que a de grau, não concorda? Mas não se preocupe, pois por mais que sempre seja bom sabermos as definições, será mais útil para nós sabermos como essas duas unidades se relacionam. Tal relação é feita da seguinte forma: 180° equivale a π rad (180° = π rad).
A partir dessa relação conseguimos elaborar uma regra de três simples e, assim, somos capazes de transformar ângulos de graus para radianos e vice-versa.
E vamos a dois exemplos:
1- Quanto vale 250° em radianos?
Nesse caso, fazemos a seguinte regra de três:
180º − π rad
250º − x rad
Resolvendo temos:
2- Quanto vale 
em graus?
Neste caso, basta substituirmos por 180° e operarmos:
Ângulos côncavos e convexos
Você lembra que já falamos sobre ângulos côncavos e convexos? Agora que sabemos as unidades de medida dos ângulos, podemos defini-los.
Dizemos que um ângulo α qualquer é convexo quando sua medida é maior que 0° e menor que 180° (0º < α < 180º). Por outro lado, dizemos que esse ângulo α é côncavo quando sua medida é maior que 180° e menor que 360° (180º < α < 360º).
Ângulos e os ponteiros do relógio
Você sabia que os vestibulares gostam de cobrar os ângulos através de questões sobre os ponteiros do relógio? Mas, como assim?
- Imagine que o relógio é uma circunferência, mas que agora será dividida em 12 partes. Então, cada hora será equivalente a 1/12 da circunferência.
- Pensando que a circunferência tem 360 graus, cada hora equivale a 30° (360°/12). Assim, descobrimos que a cada 1 hora, o ponteiro pequeno percorre 30°.
- Além disso, sabemos que a cada 1 hora o ponteiro grande percorre 360°.
- Alguns exercícios podem ser resolvidos simplesmente sabendo esses fatos, mas ainda existe uma segunda forma, através da seguinte equação:
Dessa forma, o x representa o ângulo formado entre os ponteiros do relógio (em graus) na hora h e no minuto m.
Mas fique ligado/a, essa fórmula retorna para você o valor de um dos dois ângulos formados pelos ponteiros do relógio, mas não significa que esse valor seja a resposta do exercício. Portanto, fique de olho na pergunta!
Após terminar os exercícios, continue estudando com nossa aula sobre os tipos de ângulos!
Exercícios sobre o ângulo
1- (Faculdade Santo Agostinho BA – 2018)
Numa viagem a Londres, André foi conhecer o Big Ben. O guia que acompanhava o seu grupo explicou que Big Ben é o sino que foi instalado no Palácio de Westminster durante a gestão de Sir Benjamin Hall, ministro de Obras Públicas da Inglaterra, em 1859. Apesar de o termo também ser usado para se referir à torre do relógio onde o sino está localizado, a estrutura é oficialmente conhecida como a Elizabeth Tower e a edificação possui o segundo maior relógio de quatro faces do mundo. No momento da visita, o relógio marcava 9 horas e 15 minutos.
No referido instante, o menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos era de
a) 120°30’
b) 157°30’
c) 172°30’
d) 77°30’
2- (UEL PR – 2011)
Um relógio marca que faltam 20 minutos para o meio-dia. Então, o menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos é:
a) 90º
b) 100º
c) 110º
d) 115º
e) 125º
3- (PUC GO – 2017)
lá fora e no alto
o céu fazia
todas as estrelas que podia
na cozinha
debaixo da lâmpada
minha mãe escolhia
feijão e arroz
andrômeda para cá
altair para lá
sirius para cá
estrela dalva para lá
(LEMINSKI, Paulo. Toda poesia. 12. reimpr. São Paulo: Companhia das Letras, 2013. p. 255.)
O texto faz alusão a estrelas e constelações. Desde a Antiguidade, o ser humano sente necessidade de se orientar e, por muito tempo, observar as estrelas tem sido um meio de buscar orientação. Historicamente, a palavra “orientação” deriva de buscar a direção do Oriente (Japão), “local onde o Sol nasce”. Atualmente, existem duas medidas de orientação, definidas por dois nortes: o norte geográfico (NG) e o norte magnético (NM). O NG é definido pelo plano que passa por um determinado ponto da superfície terrestre perpendicular ao plano do Equador. O NM é definido pelo plano que passa por um ponto da superfície terrestre seguindo a direção da agulha da bússola, num dado instante.
O NG é imutável. Porém, o NM é dinâmico e varia de época para época, aumentando seu ângulo em relação ao NG em 10’ por ano, chegando a 25° em relação ao NG. Depois, ele começa a voltar no sentido inverso, até chegar a 25° para a outra direção. Essa variação é chamada de declinação magnética (DM). A DM poderá ser ocidental, se o NM estiver à esquerda do NG; ou oriental, caso contrário. Baseado nesses conceitos e considerando-se um determinado edifício localizado a 40° à esquerda de NG, responda: se em janeiro de 1989, a declinação magnética era de 12° ocidental e crescente, então, em janeiro de 2017, esse mesmo edifício se localizava a (assinale a resposta correta):
(VEIGA, L. A. K.; ZANETTI, M. A. Z.; FAGGION, P. L.
Fundamentos de topografia. Curitiba: Universidade Federal do Paraná, 2012.)
a) 23° 20’00” à direita de NM.
b) 23° 20’00” à esquerda de NM.
c) 32° 40’00” à esquerda de NM.
d) 32° 40’00” à direita de NM.
Gabarito:
- C
- C
- B
