O que é tronco da pirâmide e como calcular sua área e volume

Na geometria espacial estudamos as pirâmides. Neste conteúdo em particular, além de estudarmos sua definição, elementos, nomenclatura, classificação e cálculos de áreas e volume, também podemos estudar sobre o tronco da pirâmide. E é justamente esse o tópico da aula de hoje.

O que é o tronco da pirâmide

Quando seccionamos uma pirâmide através de um plano paralelo à sua base, dividimos a pirâmide em dois sólidos: uma pirâmide nova (menor do que a pirâmide original) e um outro sólido. Damos o nome de tronco da pirâmide a este outro sólido. Veja abaixo.

Uma pirâmide pentagonal seccionada por um plano paralelo à sua base. Ênfase na pirâmide criada pela secção.

Observe na figura acima, conforme a definição, que dividimos a pirâmide em dois sólidos, o tronco da pirâmide e uma pirâmide menor. Para facilitar a visualização desses dois sólidos geométricos formados, veja a imagem a seguir:

À esquerda, o tronco da pirâmide gerado pela secção da pirâmide inicial e à direita, a pirâmide menor gerada pela secção.

Se você precisa relembrar os conceitos básicos sobre pirâmides, veja a videoaula do prof. Sarkis no nosso canal no YouTube:

Elementos do tronco da pirâmide

Falamos da definição de tronco da pirâmide de um modo geral. Mas, podemos ainda fazer algumas classificações.

Se a pirâmide seccionada for regular, dizemos que o tronco formado é um tronco regular (como é o caso da imagem acima). Nesse caso, conseguimos destacar os seguintes elementos do tronco regular:

• Base maior: é a base da pirâmide inicial;
• Base menor: é o polígono gerado pela secção (que é a base da pirâmide menor formada pelo corte da pirâmide original);
• Altura: é a distância entre as duas bases do tronco;
• Arestas laterais;
• Arestas da base;
• Faces laterais.

Veja tais elementos na imagem abaixo.

Um tronco regular com seus elementos destacados.

Agora, além dos elementos, podemos identificar algumas características de um tronco regular:

• As arestas laterais são todas congruentes;
• As duas bases são polígonos regulares e semelhantes;
• As faces laterais são trapézios isósceles congruentes.

Perceba tais características na imagem acima. Ainda, note que o apótema do tronco equivale à altura de qualquer uma das faces laterais.

Áreas de um tronco de pirâmide

Você talvez esteja se perguntando o que torna o tronco da pirâmide tão interessante para ter uma aula específica sobre esse sólido geométrico.

Eu respondo: os troncos de pirâmides são interessantes por causa dos seus cálculos de área e volume e, também, as semelhanças obtidas entre a pirâmide “original” e a pirâmide “menor”. Eles dão ótimas questões de vestibulares!

Sendo assim, primeiramente vamos ao estudo dos cálculos das áreas de um tronco de pirâmide, considerando um tronco qualquer (regular ou não).

Área lateral e área total do tronco da pirâmide

A área lateral (A_l ou S_l) do tronco é simplesmente a soma das áreas das faces laterais. Tal valor dependerá da quantidade de faces laterais e do formato de cada face lateral.

Por outro lado, a área total do tronco de pirâmide é dada por:

S_t = S_l + S_B + S_b

Sendo S_B a área da base maior do tronco, S_b a área da base menor do tronco e S_l a área lateral do tronco. Tal valor vai depender, então, da quantidade de faces laterais, do formato de cada face lateral e do formato de cada base.

Observação: Podemos encontrar a área do tronco também calculando a área da pirâmide inicial e a área da pirâmide menor e subtraindo estes dois valores.

Neste momento, vale a pena explicitar para você as fórmulas da área lateral e da área total do tronco de pirâmide regular.

Fórmula da área lateral

S_l = (P + p) . a_t

Em que P e p são, respectivamente, o semiperímetro da base maior e o semiperímetro da base menor e  é o apótema do tronco.

Fórmula da área total

S_t = (P +p) . a_t + P . a_B + p . a_b

Em que P e p são, respectivamente, o semiperímetro da base maior e o semiperímetro da base menor, a_t  é o apótema do tronco, a_B é o apótema da base maior do tronco e a_b é o apótema da base menor do tronco.

Volume do tronco da pirâmide

Já que estudamos as áreas, agora vamos estudar o volume do tronco da pirâmide.

Uma das formas de calcular o volume do tronco da pirâmide é através do volume das duas pirâmides. Neste caso, subtrai-se do volume da pirâmide inicial o volume da pirâmide menor e, dessa forma, encontra-se o volume do tronco.

Mas existe uma expressão fechada para o volume do tronco, caso você queira decorá-la:

Em que:

• h: altura do tronco;
• S_B: área da base maior do tronco;
• S_b: área da base menor do tronco.

Pirâmides semelhantes

Desde o começo desta aula falamos que, se estivermos tratando de uma pirâmide e seccionarmos tal pirâmide para obtermos um tronco, obtemos duas pirâmides (uma maior e uma menor). Essas pirâmides são semelhantes e ambas possuem o mesmo vértice.

Em seguida, vamos ver mais detalhes a respeito destas pirâmides semelhantes. Veja abaixo:

Esquema que representa a secção de uma pirâmide para obter o tronco de pirâmide e ênfase nas duas pirâmides semelhantes com suas respectivas medidas.

A partir da observação dos esquemas acima, podemos concluir que a razão de semelhança entre as suas pirâmides (original e a formada pela secção) é dada pela razão entre os segmentos homólogos das pirâmides:

Em que k é a razão de semelhança.

Utilizando as propriedades de semelhança, também são válidas as seguintes igualdades:

• 
• 
• 
• 

Ou seja, a razão entre as áreas da base, áreas laterais e áreas totais das pirâmides é o quadrado da razão de semelhança, e a razão entre os volumes das pirâmides é o cubo da razão de semelhança, em que:

• S_b, S_le S_t: área da base, área lateral e área total da pirâmide menor
• S_B, S_Le S_T: área da base, área lateral e área total da pirâmide maior
• V’: me da pirâmide menor
• V: volume da pirâmide maior

Você ainda pode encontrar tais relações como a seguir:

• 
• 
• 
• 

Com H’ sendo a altura da pirâmide menor e H a altura da pirâmide inicial.

Essas relações entre as alturas e as bases ou volumes podem ser úteis em exercícios que envolvam apenas tais valores.

Perceba que para chegarmos nessas relações apenas substituímos k por H’/H.

Exemplo de exercício

Para entender melhor o que vimos até aqui, vamos a um exemplo:

(Unifacs BA – 2018)

Em um Laboratório de Epidemiologia foram utilizados, no estudo da evolução da reprodução de mosquitos com vistas para a produção de vacinas em larga escala, recipientes na forma de pirâmides, quadrangulares, retas, feitas em vidro, de altura 30 dm e o lado da base medindo 20 dm.

Seccionando-se uma dessas pirâmides, P, por um plano paralelo à base, a uma altura correspondente à metade da altura da pirâmide P, pode-se afirmar que o tronco de pirâmide obtido tem volume, em m³, igual a

1. 5,0.
2. 4,5.
3. 4,0.
4. 3,5.
5. 3,0.

Resolução:

Precisamos encontrar o volume do tronco de pirâmide. Vamos encontrar tal valor seguindo os seguintes passos:

1- Encontrar área da base da pirâmide:

S_b = 20² = 400 dm²

2- Encontrar a área da base da pirâmide menor, sabendo que :

3- Encontrar o volume do tronco de pirâmide através da sua fórmula de volume, sabendo que sua altura vale

H – H’ = 30 – 15 = 15 dm:

Alternativa correta: 4.

Pronto, agora você já aprendeu o conteúdo de tronco de pirâmides.

Videoaula

Gostou de assunto e quer ver mais detalhes e exercício resolvidos? Então acesse a videoaula sobre tronco de pirâmide do professor Paulo do canal Equaciona com Paulo Pereira:

Exercícios

1- (UFGD MS/2019)    

Considere um monumento, na forma de um trapezoide isósceles, como mostra a figura a seguir, em que sua maior face é um trapézio com 8 m de altura, 68 m de perímetro e 12 metros a diferença entre suas bases. Dado ainda que sua profundidade seja de 50 cm, calcule sua superfície externa e responda quantos litros de tinta são necessários, para pintar esse monumento, considerando que se gasta 1 L de tinta a cada 5 m² e que não será pintada sua menor base?

a) 81,8 L

b) 76,8 L

c) 83,6 L

d) 42,2 L

e) 80,6 L

2- (ENEM/2019)    

As luminárias para um laboratório de matemática serão fabricadas em forma de sólidos geométricos. Uma delas terá a forma de um tetraedro truncado. Esse sólido é gerado a partir de secções paralelas a cada uma das faces de um tetraedro regular. Para essa luminária, as secções serão feitas de maneira que, em cada corte, um terço das arestas seccionadas serão removidas. Uma dessas secções está indicada na figura.

Essa luminária terá por faces

a) 4 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros.

b) 2 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros.

c) 4 quadriláteros e 4 triângulos isósceles.

d) 3 quadriláteros e 4 triângulos isósceles.

e) 3 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros.

3- (UNITAU SP/2014)    

Uma pirâmide triangular regular tem 12 cm de altura e aresta da base igual a 6 cm. A que distância d do vértice deve passar um plano paralelo à base, para que a área da secção seja 4 √3 cm²?

a) d = 4,5cm

b) d = 5,0cm

c) d = 6,0cm

d) d = 7,0cm

e) d = 8,0cm

Gabarito:

1. A
2. A
3. E

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