Produtos notáveis e fatoração: o que são e exercícios

Produtos notáveis e fatoração são assuntos chave no estudo da matemática básica. Quando dominamos esses assuntos, ficamos mais preparados/as para resolver provas, já que eles aparecem direta e indiretamente na resolução de diversas questões.

Conhecendo esse assunto podemos até diminuir o tempo que levamos para fazer algumas questões – e isso é essencial nas provas do Enem. Ao final desta aula, você saberá identificar dois tipos clássicos de produtos notáveis e fatoração, e como trabalhar com eles na hora de um exame. Bora estudar?

O que são produtos notáveis

Antes de falar sobre os casos que vamos tratar nesta aula, é importante deixar claro o que é um produto notável e o que é fatoração.

Produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que aparecem constantemente na resolução de problemas. Por esse motivo, levam o nome de “notáveis”.

Fica mais fácil entender a aplicação dos produtos notáveis se estudarmos como eles “terminam”. Veja só, se em uma questão a seguinte expressão aparecesse:

(x+2).(x-2)

Poderíamos resolver utilizando a propriedade distributiva, fazendo as multiplicações da seguinte forma:

x²+2x-2x-4

x²-4

Entretanto, uma forma mais fácil de resolver esse problema seria atentar que a expressão é um produto notável da forma (a + b) . (a – b), e que, para esse tipo de produto, a resposta será sempre a² – b². Quando sabemos dessa informação, podemos usá-la para facilitar a resolução de questões, tal como uma fórmula.

Já a fatoração será um procedimento que faremos para reescrever um número ou expressão algébrica na forma de um produto. Por exemplo, podemos reescrever o número 20 em seus fatores primos da seguinte forma:

20 = 10 . 2 = 5 . 2 . 2

A mesma coisa pode ser feita com uma expressão algébrica, como, por exemplo, a expressão y + x, que pode ser reescrita como x . (y + 1). Neste caso, costumamos chamar esse tipo de fatoração de “colocar x em evidência”, já que separamos a variável x do resto da expressão.

No contexto de produtos notáveis, vamos estudar quais tipos de expressões podem ser reescritas na forma de um produto notável.

Introdução sobre produtos notáveis

Antes de partir para as diferentes expressões que podem ser transformadas em produtos notáveis, confira a aula do professor Lucas. Assim você já tira todas as suas dúvidas sobre o que é um produto notável:

Produtos notáveis: quadrado da soma e quadrado da diferença

Talvez a dupla mais importante de produtos notáveis são o quadrado da soma e da diferença. Eles são muito frequentes em provas e têm as seguintes formas:

• Soma: (a + b)²
• Diferença: (a – b)²

Para lembrar como expandimos essa expressão, normalmente utilizamos o seguinte lema: “o quadrado do primeiro, mais/menos duas vezes o primeiro, vezes o segundo mais o quadrado do segundo”. Como fórmula, fica assim:

(a + b)² = a² + 2 . a . b + b²

(a – b)² = a² – 2 . a . b + b²

Exemplo

Vamos entender melhor a aplicação desse produto notável com o seguinte exemplo:

• Encontre os valores possíveis para x na equação (x + 5)² = 16.

Para resolver esse exemplo, vamos utilizar a fórmula do quadrado da soma para expandir a expressão. Nesse caso, veja que temos a = x e b = 5, portanto:

(x + 5)² = x² + 2 . x . 5 + 5²

Simplificando e substituindo na equação original, temos:

x² + 10x + 25 = 16

Veja que temos uma equação de segundo grau, portanto, vamos isolar todos os termos em um dos lados e resolver com Bhaskara ou soma e produto:

x² + 10x + 9 = 0

x = -9 ou x = -1

Fatoração: trinômio quadrado perfeito

O caso de fatoração do trinômio quadrado perfeito é o inverso de fazer o produto notável do quadrado da soma e quadrado da diferença. Assim sendo, quando fatoramos um trinômio quadrado perfeito, estamos simplificando a expressão para que ela fique no formato de uma soma ou diferença de quadrados.

Para fazer isso, vamos ter que lembrar a forma que o produto notável fica quando expandido:

• Soma: a² + 2 . a . b + b²
• Diferença: a² – 2 . a . b + b²

Todo trinômio quadrado perfeito vai ter uma dessas duas formas. Nosso objetivo quando trabalharmos com essas expressões será identificar qual o valor de “a” , o valor de “b”, se o valor central é correspondente a “± 2ab” e se é uma soma ou diferença. Com esses dados, podemos escrever as expressões do quadrado da soma ou diferença vistos anteriormente.

Exemplo

• Simplifique a expressão algébrica a seguir em um quadrado: y² – 6y + 9

Essa é uma expressão com três termos, sendo que um deles é negativo. Portanto, se ele for um trinômio quadrado perfeito será fatorado em uma diferença de quadrados da seguinte forma:

(a – b)²

Entretanto, além identificar que é uma diferença, precisamos descobrir os valores de “a” e “b”, e verificar se o valor central é o mesmo que 2ab. Para isso, vamos tirar a raiz quadrada dos termos não centrais:

√y² = y e √9 = 3

Esses são nossos valores de a e b. No caso da fatoração, não importa qual valor assume qual variável, mas talvez seja necessário ajustar a ordem em uma questão de múltipla escolha. Aqui faremos com a seguinte ordenação: a = y e b = 3.

Note que quando colocamos esses valores na expressão -2ab encontramos o valor de -6y presente na expressão original. Portanto, a expressão é um trinômio quadrado perfeito e pode ser fatorado da seguinte maneira:

y² – 6y + 9 = (y – 3)²

Fatoração: soma e diferença de cubos

Atenção: Antes de seguirmos com a nossa aula, é importante lembrar que existe diferença entre dizer a “soma de dois cubos” e o “cubo da soma”, veja só:

• Soma de dois cubos: a³ + b³
• Cubo da soma: (a + b)³

A soma e a diferença de dois cubos são também casos interessantes de fatoração. Podemos fatorar a soma de dois cubos da seguinte forma:

a³ + b³ = (a + b) . (a² – a . b + b²)

Já a diferença de dois cubos é fatorada assim:

a³ – b³ = (a – b) . (a² + a . b + b²)

Note que nessas fórmulas, o sinal troca no segundo e no quarto termo. Na soma, o segundo termo é positivo e o quarto termo é negativo, já na diferença o segundo termo é negativo e o quarto termo é positivo.

Exemplo

• Fatore a expressão seguinte em multiplicação de polinômios:

x³ – 23³

Para resolver essa questão, note que a expressão é uma diferença de cubos. Mais uma vez, não importa quem você irá escolher para ser “a” ou “b”. Mas, nesse exemplo, usaremos a ordem usual:

a³ = x³ e b³ = 23³

Primeiramente, vamos tirar a raiz cúbica de ambas as variáveis:

Em seguida, podemos substituir esses valores na fórmula:

x³ – 23³ = (x – 23) . (x² + x . 23 + 23²)

Simplificados valores, encontramos a multiplicação de polinômios a seguir:

x³ – 23³ = (x – 23) . (x² + 23x + 529)

Podemos usar esta fórmula para resolver questões para a achar o valor de x em somas ou diferenças de cubos de forma mais prática. Veja no exemplo a seguir:

• Resolva a equação a seguir:

x³ + 125 = 0

Note que a parte esquerda da equação é uma soma de cubos onde b = 5, dessa forma, podemos fatorar ela da seguinte forma:

x³ + 5³ = (x + 5) . (x² – 5x + 25)

Portanto, podemos escrever:

(x + 5) . (x² – 5x + 25) = 0

É nessa expressão que podemos encontrar outra dica legal. Sabemos que para um produto ser igual a 0, um de seus termos tem que ser igual a 0. Dessa forma, uma das expressões indicadas precisa resultar em 0, ou seja:

x + 5 = 0 ou x² – 5x + 25 = 0

Assim, podemos resolver separadamente essas equações para x. Entretanto, note que a segunda expressão não tem solução real. Portanto, podemos focar solenemente na primeira, ou seja:

x + 5 = 0

x = -5

Dessa maneira, concluímos que -5 é resposta real única da equação.

Questões sobre produtos notáveis

1 – (PUC-SP) Sendo x³ + 1 = (x + 1) . (x² + ax + b), para todo x real, os valores de a e b são respectivamente:

a) -1 e -1

b) 0 e 0

c) 1 e -1

d) -1 e 1

e) 1 e 1

2- (ESPM SP/2019)

O número que se deve somar a 456 788² para se obter 456 789² é:

a) 456 789

b) 1

c) 456 788

d) 913 579

e) 913 577

3- (IFPR/2020)

A área de um terreno pode ser representada pela expressão algébrica x² + 16x + 64. Sabendo que esse terreno tem a forma de um quadrado, assinale a alternativa que indica a expressão algébrica que representa a medida do lado desse terreno.

a) x + 5

b)x + 6

c)x + 7

d)x + 8

4- (Unifacs BA/2018)

Considere-se x e y as quantidades, em toneladas, anualmente produzidas, de lixo doméstico e de lixo hospitalar, respectivamente, em determinada cidade.

Sabendo-se que x e y satisfazem a condição x² + y² + 2xy + x + y – 6 = 0, pode-se afirmar que o valor de x + y  é

01. 1,0

02. 1,5

03. 2,0

04. 2,5

05. 3,0

5 – (UFRGS RS/2016)

Se x + y = 13 e xy = 1, então x² + y² é

a) 166.

b) 167.

c) 168.

d) 169.

e) 170.

6- (UESPI/2004)

Se a + b = x, a² + b² = y, então, podemos afirmar que  é igual a:

a) x(3y−x²)/2

b) y(3x−y²)/2

c) x(2y−x²)/2

d) y(2x−x²)/2

e) y(2y−x²)/2

GABARITO:

1. D
2. E
3. D
4. 03
5. B
6. A

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