De acordo com o teorema de Pitágoras, a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Saiba o que isso significa e aprenda com exemplos!
Questões envolvendo triângulos são extremamente comuns no Enem. Por isso, é essencial ter ferramentas para resolver questões onde eles aparecem. Existem dois conhecimentos que são muito aplicados nos exames, até mesmo em questões de física. Eles são o teorema de Pitágoras e as noções básicas de trigonometria.
Nesta 5ª aula da série “Aprenda geometria de uma vez por todas” vamos fazer um estudo focado nos triângulos, explorar o famoso teorema de Pitágoras e as ferramentas disponíveis na trigonometria. No final tem videoaula com o professor Lucas e uma lista de exercícios para você praticar.
Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras é extremamente popular na matemática do ensino básico. Ele nos traz relações entre os lados de um triângulo retângulo, isto é, um triângulo que tem um dos lados medindo 90º. Essa condição é extremamente importante, já que não podemos aplicar o teorema em triângulos que não são retângulos.
Em um triângulo retângulo, sempre temos um dos lados maior que os outros dois. A este lado maior damos o nome de hipotenusa, e os outros lados chamamos de catetos. O teorema de Pitágoras nos diz que o tamanho da hipotenusa será igual à soma dos tamanhos dos catetos, ambos elevados ao quadrado individualmente. Em outras palavras, a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Algebricamente fica assim, com h sendo o valor da hipotenusa e a e b dois catetos distintos:
h² = a² + b²
Este teorema pode ser aplicado diretamente sempre que tivermos o tamanho de dois lados de um triângulo retângulo e precisarmos encontrar o terceiro.
Exemplos de aplicação do teorema de Pitágoras
A fim de que você entenda como realizar cálculos com o teorema de Pitágoras, vamos resolver 3 exemplos.
Exemplo 1
Encontre a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 3 e 4, respectivamente.
Para resolver esse exercício, vamos começar substituindo na fórmula o valor dos catetos. Não importa qual valor vai em cada variável, desde que sejam aqueles referentes aos catetos (a e b).
h² = a² + b²
h² = 3² + 4²
Agora temos uma equação e queremos encontrar o valor de h, isto é, o tamanho da hipotenusa. Para isso, começaremos simplificando os números.
h² = 3² + 4²
h² = 9 + 16
h² = 25
A partir daqui poderíamos resolver de várias maneiras, inclusive por Bhaskara, mas vamos simplificar. A equação é equivalente à pergunta “qual número h que elevado ao quadrado resulta em 25”. Podem vir à sua mente duas respostas possíveis: 5 e -5. Como estamos trabalhando com tamanhos, podemos eliminar respostas negativas, já que elas não fazem sentido. Portanto, concluímos que:
h = 5
Neste exemplo, tínhamos os valores de dois catetos e queríamos encontrar o valor da hipotenusa. Vamos ver um exemplo agora onde temos um cateto e a hipotenusa e queremos encontrar o valor do cateto remanescente.
Exemplo 2
Um triângulo retângulo tem um cateto medindo 15 e hipotenusa medindo 17. Encontre o valor do outro cateto.
Vamos substituir o valor da hipotenusa (h) e de um dos catetos na fórmula.
h² = a² + b²
17² = 15² + b²
Temos uma equação e queremos resolver para b. Portanto, vamos isolá-lo:
17² = 15² + b²
17² – 15² = b²
289 – 225 = b²
64 = b²
Da mesma maneira que no exemplo anterior, temos um número que elevado ao quadrado resulta em 64. Já que buscamos um número positivo, o resultado só pode ser:
b = 8
Encontramos, assim, o valor do segundo cateto.
Preste muita atenção no próximo exemplo. De início ele não parece um exercício envolvendo teorema de Pitágoras, mas é um tipo de questão muito comum em provas.
Exemplo 3
Encontre a área do triângulo ABC a seguir:
O exercício pede para que você encontre a área do triângulo. Uma das fórmulas para a área do triângulo envolve a base e a altura. Embora tenhamos o valor da base BC do triângulo (BC = 4 + 8 = 12), não temos o valor de sua altura. Dessa forma, para encontrarmos a área desse triângulo, uma estratégia possível será encontrar a sua altura.
Veja que a altura do triângulo já está desenhada, ela é o segmento AD. Note ainda que temos dois triângulos retângulos que juntos formam o triângulo ABC, eles são o triângulo ADC e ABD. Ambos os triângulos têm como cateto a altura AD. Portanto, poderemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar esse valor.
Veja que, para o triângulo ADC, não temos informações o suficiente. Para encontrar um cateto precisamos do outro cateto e também da hipotenusa. Já para o triângulo ABD temos o valor do cateto e da hipotenusa. Dessa maneira, podemos fazer uma aplicação direta da fórmula, como visto anteriormente.
h² = a² + b²
10² = 8² + b²
10² – 8² = b²
100 – 64 = b²
36 = b²
6 = b
Assim, encontramos a altura. Voltando ao objetivo do exercício, basta-nos calcular a área do triângulo usando a altura e a base:
Trigonometria
A trigonometria é a parte da geometria plana que estuda as relações dos ângulos nos triângulos retângulos e as razões de seus lados. Mais uma vez, só poderemos aplicar esses conhecimentos no triângulo retângulo, não podendo usá-los em triângulos quaisquer.
Da mesma forma que o teorema de Pitágoras, uma das grandes aplicações da trigonometria é encontrar o valor de lados de um triângulo retângulo. O diferencial dessa ferramenta é que podemos encontrar o valor de todos os lados de um triângulo retângulo sabendo apenas um dos seus lados e um dos ângulos que não seja o ângulo reto (de 90º).
A primeira coisa que temos que lembrar da trigonometria são as razões trigonométricas. Elas são razões (divisões) entre os lados de um triângulo retângulo que são constantes para todos os ângulos. Em outras palavras, a razão entre dois lados específicos de triângulos retângulos com um ângulo de 60º, por exemplo, será sempre a mesma.
As razões são:
- Seno é a razão entre cateto oposto e hipotenusa:
- Cosseno é a razão entre cateto adjacente e hipotenusa:
- Tangente é a razão entre cateto oposto e cateto adjacente:
Catetos adjacentes são aqueles ao lado, vizinhos, ao ângulo. Catetos opostos são aqueles diretamente opostos ao ângulo.
A segunda coisa que devemos lembrar é a tabela de valores de seno, cosseno e tangente. Para o Enem precisamos lembrar o valor de apenas três ângulos: 30º, 45º e 60º.
Na videoaula no fim do post, o professor Lucas mostra macetes para lembrar a tabela de valores. Dá uma olhada!
Exemplo 4
Encontre a hipotenusa e o cateto remanescente do triângulo retângulo a seguir:
Temos o valor de um dos catetos e de um dos ângulos, e queremos descobrir o valor da hipotenusa e do outro cateto. Primeiro vamos descobrir ser esse cateto e esse ângulos são adjacentes ou opostos. Ora, veja que eles são vizinhos um ao outro, então o 5 é adjacente ao ângulo de 30º.
Começamos tentando descobrir o valor da hipotenusa. Para isso, vamos nos perguntar: qual das razões relaciona o cateto adjacente à hipotenusa? Veja que é o cosseno. Portanto vamos usar a fórmula:
Substituindo o valor do cosseno de 30º (pela tabela) e o valor do cateto adjacente, obtemos:
Em seguida queremos isolar o h. Então vamos multiplicar ambos os lados por h e por 2:
√3 . h = 5 . 2
√3h = 10
Dividindo ambos os lados por √3, obtemos:
Embora tenhamos encontrado um valor para h, ainda precisamos racionalizar (tirar a raiz do denominador):
Encontramos, então, o valor da hipotenusa.
Agora vamos para o segundo cateto, que será o cateto oposto. Repetimos as instruções, qual razão que relaciona o cateto oposto com o adjacente? A tangente. Aplicando a fórmula da tangente:
Substituindo os valores:
Multiplicando ambos os lados por 5, facilmente isolamos o:
E encontramos o valor do cateto oposto.
Videoaula sobre teorema de Pitágoras
Para finalizar sua revisão, não deixe de assistir ao 5º episódio da série “Aprenda geometria de uma vez por todas” com o professor Lucas!
Exercícios sobre o teorema de Pitágoras
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