Saiba como calcular a área da pirâmide e seu volume

Área da pirâmide, triângulo retângulo, volume, reta, todos esses detalhes fazem parte da matemática. Aprenda aqui como resolvê-los e saber tudo sobre o Enem

Quem vê a área da pirâmide não imagina quantos sentidos históricos, sociais e claro, matemáticos ela pode ter. Uma forma geométrica tão antiga que até hoje não se sabe, por exemplo, a idade das pirâmides de Gizé no Egito, continua sendo essencial como objeto de estudo.

Foi pensando nisso e no quão primordial esse tema é para a matemática, que resolvemos abordar hoje a área da pirâmide.Em um breve resumo podemos dizer que as pirâmides são sólidos geométricos que aparecem recorrentemente nas provas de vestibulares e no Enem.

Na aula de hoje veremos como fazer o cálculo a respeito da área da pirâmide e seu volume

Definições sobre as pirâmides

Antes de chegarmos nos cálculos de área e volume em si, precisamos estabelecer algumas especificações:

– Superfície lateral: É a união de todas as faces laterais da pirâmide;

– Superfície total: A união da superfície lateral com a base da pirâmide (que também é uma superfície).

– Área lateral: A área lateral da pirâmide (A_l ou S_l)  é a soma das áreas das faces laterais da pirâmide;

– Área total: A área total da pirâmide (At  ou St )   é a área lateral somada com a área da base da pirâmide.

– Volume: O volume da pirâmide (Vp) é o espaço ocupado pela pirâmide.

O que é a área de uma pirâmide

Para desenvolvermos a teoria a respeito dos cálculos, consideremos uma pirâmide qualquer de área da base Sb  e altura h.

Como a área lateral da pirâmide é a soma das áreas das suas faces laterais, que são formadas por triângulos, não temos uma expressão “fechada” para a lateral. Então como pode ser feito esse cálculo? Bom não havendo uma lateral isso deixa em aberto a maneira como encontrar a área de um triângulo. Deixando assim que possamos resolver a equação de diferente formas.

Por isso, dependendo das informações que tivermos a respeito, utilizamos alguma das fórmulas de cálculo de área de pirâmide e encontramos assim a área de uma face lateral.

Depois disso, repetimos o cálculo de área para todas as demais faces laterais e, enfim somamos tais valores, encontrando como resultado o valor da área lateral.

Como resolver o cálculo da área de pirâmide

De forma parecida, não temos uma expressão “fechada” para a área total de uma pirâmide, uma vez que essa área depende da área lateral – que, como vimos acima, o cálculo varia de acordo com as informações do problema. Muitas vezes, depende também da área do polígono que forma a base da pirâmide.

O mais próximo que conseguimos escrever para uma expressão é: St = Sl+Sb

Embora não seja possível encontrarmos uma expressão “fechada” para o cálculo das áreas, existe uma para o cálculo do volume da pirâmide, que é a seguinte:área da pirâmide

Veja o exemplo abaixo.exemplo de um triângulo que faz parte da área da pirâmide

Uma pirâmide qualquer de área da base Sb  e altura h.

Perceba que a pirâmide acima é oblíqua e de base quadrangular, mas o raciocínio anterior é válido para qualquer pirâmide.

Área de um tetraedro regular

Agora que já estudamos o caso de uma pirâmide qualquer, vamos nos concentrar no tetraedro regular. Diferentemente do exemplo utilizado anteriormente, para tal pirâmide, conseguimos encontrar expressões “fechadas” para fazer o cálculo.

Sendo assim, suponha que estamos tratando de um tetraedro regular com medida de aresta . Considerando que todas as suas faces são triângulos equiláteros e, sabendo que:

Portanto temos:

Observação: você pode encontrar o valor da altura do tetraedro a partir de um teorema de Pitágoras da seguinte forma:

área da pirâmide

Esse é um tetraedro regular com triângulo retângulo. Aqui ele indica que a hipotenusa mede l, que significa a altura do triângulo; coincidindo com a altura h que seria a altura do tetraedro. Mas o cateto da base do triângulo coincide com 1/3 da altura do triângulo que forma a base do tetraedro regular.

Nesse caso, l representa o valor da aresta do tetraedro regular, h a sua altura e h’ a altura do triângulo equilátero da base do tetraedro.

Resoluções da área da pirâmide como um tetraedro

Até aqui estudamos o caso geral e as fórmulas para o tetraedro regular, mas, e se a pirâmide for regular, mas não for um tetraedro? Conseguimos alguma “expressão fechada”?

Considere a pirâmide da imagem abaixo.

área da pirâmide

Mais à esquerda uma pirâmide pentagonal regular e mais à direita uma pirâmide pentagonal regular com destaque para sua altura. Isso é a apótema da pirâmide e a apótema da base.

Neste caso, os triângulos que compõem as faces laterais são todos isósceles e congruentes. Além disso, cada uma dessas partes da lateral tem medida de base sendo a medida da aresta do polígono regular que forma a base da pirâmide. Portanto podemos afirmar que cada face lateral tem altura sendo o apótema da pirâmide.

Vamos considerar que a medida da aresta do polígono regular seja l.

Assim, considerando SF1,SF2,SF3,SF4  e SF5 como a área de cada face lateral, temos o seguinte:

área da piramide

Perceba que o perímetro (2p) da base vale 5l: 2p=5l e, com isso:

área da pirâmide

Portanto,

área da pirâmide

 

E agora dado que a área de um polígono regular é o produto do seu semiperímetro, com o seu apótema, temos que a área da base da nossa pirâmide é: área da piramide

E com isso, sua área total é dada por:

área da pirâmide

Por fim, seu volume é dado por:

equação da área da pirâmide

Observação: Pegamos uma pirâmide pentagonal regular para exemplificação, mas o raciocínio desenvolvido é análogo para calcular a área de pirâmides que sejam regulares. As expressões acima para a área lateral, área total e volume são válidas para as demais pirâmides regulares.

Como calcular o volume da área de pirâmide

Lembre-se que no começo do post encontramos a expressão do volume de uma pirâmide:

equação da área da pirâmide

Você nota alguma semelhança com outra expressão de volume de outro sólido?

A expressão para o volume de um prisma é dada por:

equação da área da pirâmide

Em que  é a área de uma das bases do prisma e h é  a altura do prisma.

Considerando tal fato, repare que o volume de uma pirâmide de base b e altura h é um terço do volume de um prisma possui a mesma base b e mesma altura h.

Em outras palavras, se você tiver um prisma que possui como base um certo polígono qualquer e uma certa altura h e, se você tiver uma pirâmide cuja base seja o mesmo polígono e altura que a do prisma, o volume da pirâmide equivale a um terço do volume deste prisma.

Além disso, temos a seguinte informação:

  • Duas pirâmides diferentes que possuem o mesmo valor para a área de base e mesmo valor de altura, têm o mesmo volume.

Vídeo-aula

Agora que aprendemos os cálculos de área e volume de pirâmides, vamos praticar?

Exercício

01 – (UNICAMP SP/2020)    

Se um tetraedro regular e um cubo têm áreas de superfície iguais, a razão entre o comprimento das arestas do tetraedro e o comprimento das arestas do cubo é igual a:

02 – (UEG GO/2019)    

Em um curso de dobraduras, a instrutora orientou que fosse construída uma pirâmide de base quadrada, de lado igual a 3 cm e altura igual a 10 cm. O volume dessa pirâmide é igual a

a) 25 cm3
b) 30 cm3
c) 15 cm3
d) 9 cm3
e) 12 cm3

03 – (Univag MT/2019)    

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa.

Esse quadrilátero pode ser dividido em 4 triângulos retângulos, conforme a figura, que também mostra a medida, em cm, dos catetos dos triângulos.

O volume dessa pirâmide é igual a

a) 40 cm3.
b) 45 cm3.
c) 55 cm3.
d) 50 cm3.
e) 35 cm3.

04 – (Universidade Iguaçu RJ/2019)    

Em uma pirâmide regular de base quadrada, a área dessa base mede a2 u.a. e a sua altura é igual ao dobro da medida da aresta da base.

Nessas condições, a área lateral dessa pirâmide mede, em u.a.,

05 – (FAMERP SP/2018)    

A figura indica um prisma reto triangular e uma pirâmide regular de base quadrada. A altura desses sólidos, em relação ao plano em que ambos estão apoiados, é igual a 4 cm, como indicam as figuras.

Se os sólidos possuírem o mesmo volume, a aresta da base da pirâmide, em centímetros, será igual a:

06 – (UCB DF/2018)    

Essa figura representa a planificação de uma pirâmide cujo volume é

07 – (UTF PR/2017)      

Uma barraca de camping foi projetada com a forma de uma pirâmide de altura 3 metros, cuja base é um hexágono regular de lados medindo 2 metros. Assim, a área da base e o volume desta barraca medem, respectivamente:

08 – (Mackenzie SP/2017)    

A altura, em cm, de um tetraedro regular cuja área total mede 48 raíz de 3 cm2 é

GABARITO

1- C
2- B
3- C
4- 05
5- D
6- A
7- A
8- B

 

 

Sobre o(a) autor(a):

Letícia Figueredo de Carvalho é graduada em Matemática Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Atua na área educacional desde 2013, trabalhando como analista de conteúdo, professora de matemática e monitora de disciplina, atuando em diversos níveis de ensino. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/leticia-figueredo-de-carvalho/.

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