O cone é um sólido geométrico formado pela união entre todos os segmentos de reta com uma extremidade no círculo que forma sua base e outra extremidade em um ponto fora do plano onde se encontra o círculo (vértice).
Na geometria espacial estudamos diversos sólidos geométricos. Dentre eles, o cone circular, ou, simplesmente, cone.
Quando você pensa nesta figura, vem qual imagem à sua cabeça? Eu imagino uma casquinha de sorvete. O nosso objetivo hoje é estudar os cones: sua definição, elementos, classificação e cálculo de áreas e volume. Vamos começar?
Definição de cone
Considere um plano qualquer no espaço, um círculo contido nesse plano e um ponto P qualquer fora do plano. Ao sólido formado pela união entre todos os segmentos de reta com uma extremidade no círculo e outra extremidade no ponto fora do plano, damos o nome de cone.
O ponto fora do plano é chamado de vértice e o círculo é chamado de base. Veja abaixo.
Elementos do cone
Agora que já vimos a sua definição matemática, é importante que você saiba identificar os diferentes elementos do cone. São eles:
- Base: como vimos acima, a base de um cone é um círculo contido em um plano;
- Vértice: é o ponto fora do plano;
- Geratriz: por sua vez, é um segmento de reta com uma extremidade na circunferência que delimita o círculo da base e outra extremidade no vértice;
- Eixo: o eixo desse sólido geométrico corresponde a uma reta que passa pelo centro do círculo da sua base e pelo seu vértice;
- Altura (h): a altura de um cone é a distância entre o vértice e o plano que contém sua base;
- Raio da base: por fim, temos o raio da base, que corresponde ao raio do círculo que compõe a base.
Veja esses elementos na imagem a seguir:
Classificação dos cones
Nem todos os cones têm formato semelhante à casquinha de sorvete que mencionei no início da aula. A posição de seu eixo permite que ele seja classificado em:
- Reto: quando o eixo do cone é ortogonal ao plano que contém a sua base;
- Oblíquo: quando o eixo do cone forma um ângulo diferente de 90° com o plano que contém a sua base.
Para compreender melhor essa classificação, observe a imagem abaixo:
Cone de revolução
O cone circular reto também pode ser chamado de cone de revolução. Isso porque é gerado pela rotação de 360° de um triângulo retângulo em torno de um eixo que está sobre um dos seus catetos. Repare na imagem acima tal fato. Por conta disso, sua geratriz também é chamada de apótema.
Outro nome que ele pode receber é “cone circular reto”. O mesmo ocorre com o cone circular oblíquo. Geralmente omitimos a palavra circular quando tratamos de cone.
Por fim, a título de curiosidade, também existe o cone elíptico. Ele possui como base uma elipse em vez de um círculo.
Já temos bastante informação a respeito desta figura geométrica, mas precisamos aprender mais dois conceitos antes de definirmos as suas superfícies e partirmos para as fórmulas de cálculo de áreas e volume: a seção meridiana e a definição de cone equilátero.
Seção meridiana do cone
Para entender o que é uma seção meridiana do cone, imagine que você vá secciona-lo através de um plano que contém o seu eixo, como na imagem abaixo.
Agora, imagine que estamos interessados em analisar apenas a figura plana formada pela intersecção do plano com o cone. Essa figura é justamente um triângulo e é chamada de seção meridiana. Veja abaixo.
Perceba que a altura do triângulo gerado coincide com a altura do cone e, como este possui base com raio medindo r, a base do triângulo terá medida 2r.
Na imagem acima exemplificamos a seção meridiana de um cone reto. Perceba que neste tipo de cone a seção meridiana é um triângulo isósceles de base 2r e lados medindo g. Veja abaixo.
No caso do cone oblíquo temos apenas um triângulo qualquer como seção meridiana.
Cone equilátero
Cone equilátero é um cone reto cuja medida da geratriz coincide com a medida do diâmetro (dobro do raio). Veja abaixo.
Note, então, que a seção meridiana dos cones equiláteros são triângulos equiláteros.
Consequentemente, em um cone equilátero temos:
- g = 2r
- h = r√3
Superfícies do cone
Comecemos pelas definições das superfícies dos cones:
- Superfície lateral: união de todas as geratrizes. Quando calculamos a sua área, encontramos a chamada área lateral do cone – denotada por Al ou Sl .
- Superfície total: união da superfície lateral com a base. Quando calculamos a sua área, encontramos a chamada área total do cone – denotada por At ou St.
- Volume: espaço ocupado pelo cone – denotado por V.
Ok, até aqui sabemos as definições, mas e os cálculos? As fórmulas para os cálculos de área e volume serão referentes apenas aos cones retos.
Como calcular a área do cone
Repare a imagem abaixo, que representa a planificação do cone.
Com o auxílio da imagem acima note que a superfície lateral de um cone é um setor circular de raio g e comprimento de arco dado por 2πr, enquanto que a sua base é um círculo.
Área da base
A fórmula da área da base do cone é:
Sb = πr²
Área lateral
A fórmula da área lateral do cone é:
Sl = πrg
Área total
A área total do cone é dada por:
St = Sl + Sb
St = πrg + πr²
St = πr ( g + r )
Como calcular o volume do cone
Por fim, o volume do cone é dado por:
V = 1/3 Sb . h
V = 1/3 πr²h
Ainda, é importante você saber também que a seguinte relação é válida nos cones circulares retos: g² = h² + r².
Videoaula
Questões sobre cones
1 – (ITA SP/2019)
A superfície lateral de um cone circular reto corresponde a um setor circular de 216º, quando planificada. Se a geratriz do cone mede 10 cm, então a medida de sua altura, em cm, é igual a
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
2 – (IBMEC SP Insper/2019)
Uma companhia de abastecimento de água gerencia o fornecimento de água de uma represa, cujo formato é de um cone circular reto. Após 112 dias de estiagem, aliados ao abastecimento normal de água aos usuários, o nível de água dessa represa baixou de 6,0 m para 3,6 m. Sabe-se que, devido à quantidade excessiva de lodo no fundo da represa, o fornecimento de água é interrompido se o nível baixar para 1,8 m.
A seguir é apresentada uma ilustração da situação:
Como medida preventiva, a companhia de abastecimento decidiu reduzir o fornecimento para um terço do normal. Nessas condições, o abastecimento será interrompido se o período de estiagem se estender por mais
a) 252 dias.
b) 81 dias.
c) 28 dias.
d) 27 dias.
e) 84 dias.
3 – (FAMEMA SP/2019)
A área lateral de um cilindro circular reto é e seu volume é 6 vezes o volume de um cone circular reto que tem 18 cm de altura. Sabendo que a medida do raio da base do cilindro é o dobro da medida do raio da base do cone, então a medida do raio da base do cone é
a) 8 cm.
b) 2 cm.
c) 4 cm.
d) 10 cm.
e) 6 cm.
4 – (IFAL/2019)
A vela de uma jangada da praia de Pajuçara em Maceió, tem um formato de um triângulo retângulo de catetos 2 m e 5 m, de acordo com a figura abaixo:
Se a vela fizer um giro de 360º em torno do eixo vertical que a segura, qual o volume do sólido de revolução imaginário formado pela vela?
a) 5 m3.
b) 10 π m³.
c) 20 π m³.
d) 20 π/3 m³.
e) 20 π²/3 m³.
TEXTO: 1 – Comuns às questões: 5 e 6
Um feixe cônico de radiação, emitido por uma fonte a 1cm de distância da pele de um paciente, atinge uma área circular plana de π cm², como na figura.
5 – (UNIT AL/2019)
O volume, em cm3, da região cônica coberta pelo feixe mede
a) π/4
b) π/3
c) π/2
d) 2π/3
e) π
6 – (UNIT AL/2019)
Se o ângulo de abertura do feixe for reduzido em 1/3, a área atingida ficará cerca de
a) 25% menor.
b) 33% menor.
c) 44% menor.
d) 56% menor.
e) 67% menor.
7 – (PUC RS/2018)
Dados os triângulos nos gráficos das figuras 1 e 2 abaixo, consideremos os sólidos de volumes V1 e V2 obtidos pela rotação completa dos triângulos das figuras 1 e 2, respectivamente, em torno do eixo y.
A razão entre os volumes V1 e V2 é igual a
a) 1/8
b) 1/2
c) 2
d) 8
GABARITO
- D
- B
- B
- D
- B
- E
- A
