Equações incompletas de 2º grau

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Usamos as equações incompletas de 2º grau para solucionar vários problemas envolvendo Física e Matemática. Por isso, é certo que você verá uma dessas equações na sua prova do Enem.

Para que você não perca tempo, vamos te ensinar nesse post as técnicas para determinar a solução para essas equações. Vem a gente revisar as equações incompletas de 2º grau para você gabaritar Matemática no Enem e nos vestibulares!

Equação incompleta de 2º grau

Você já sabe que uma equação de 2º grau é representada pela seguinte forma:

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ax² + bx + c = 0

Onde a, b e c são os coeficientes dessa equação e o valor de a deve ser diferente de zero.

Como você sabe, para que uma equação seja considerada completa é necessário que todos os seus coeficientes sejam diferentes de zero. Nesse caso, a equação de 2º grau é solucionada aplicando a fórmula de Bhaskara e os valores da variável são chamados de raízes da equação. Mas, se b ou c forem iguais a zero, teremos uma equação de 2º grau incompleta.

Agora, talvez você esteja se perguntando: se tivermos uma equação de 2º grau onde os coeficientes b ou c forem nulos, não há necessidade usar a fórmula de Bhaskara? Claro que não!

Como resolver equações incompletas de 2º grau

Podemos utilizar outros procedimentos mais simples e mais rápidos. Isso é muito bom, não é mesmo? Ganhamos tempo para realizar uma questão da prova e em um concurso como o Enem isso é muitíssimo importante. Então, veja as diferentes maneiras que podemos resolver equações incompletas.

1º caso: ausência de b

A equação fica da forma: ax² + c = 0.

Nesse caso podemos resolver usando o método de isolar a variável x. Vamos a um exemplo numérico:

5x² – 125 = 0

Para isolarmos a variável temos que passar o termo -125 para o outro lado da igualdade. Lembre que usamos as operações inversas e se ele está subtraindo passa para o outro lado adicionando:

5x² = 0 + 125

O objetivo aqui é deixar a variável x isolada (sozinha) então temos que passar seu coeficiente 5 para o outro lado da igualdade também. Ele multiplica o X então deve passar para o outro lado da igualdade (sinal de igual) dividindo o 125.

x² = 125/5

A divisão de 125 por 5 deu 25. Mas não achamos os valores de x ainda. Ele está elevado ao quadrado. A operação inversa da Potenciação é a Radiciação. Logo temos que extrair a raiz quadrada de 25:

x = ± √25

Note que colocamos um sinal de a frente do sinal da raiz. Esse sinal indica que teremos dois valores simétricos para x, um valor positivo e um valor negativo:

x = ±5 → x’ = 5 e x” = -5

Achamos a solução para essa equação! Os valores dessa equação de 2º grau incompleta é S = {5; -5}. Nesse caso dizemos que as raízes das equações são iguais e simétricas.

2º caso: ausência de c

O 2º caso de equação de 2º grau incompleta aparece quando c = 0. A forma da equação fica assim: ax² + bx = 0.  Como resolvê-la? Usando o processo da fatoração. Fator comum.

Lembrete! Fatoração é um jeito de reescrever uma expressão algébrica ou equação em forma de produto de fatores (multiplicação).

Para que você compreenda melhor, vamos explicar através da prática. Considere a seguinte equação de 2º grau:

3x² – 27x = 0

Essa equação tem dois fatores comuns, vamos reescrevê-la para que você perceba esses fatores:

3x . x – 3 . 9x = 0

Veja que o fator comum é 3x. Para fatorar a equação colocamos esse fator em evidência, isto é:

3x . (x – 9) = 0

Dessa relação podemos dizer que:

3x = 0 → x = 0

e

x – 9 = 0 → x = 9

Então, a solução dessa equação é S = {0, 9}.

Dizemos que no caso que c = 0 temos uma raiz igual a zero e outra diferente de zero.

Outro caso de equação incompleta de 2º grau é: ax² = 0. Num caso assim dizemos que suas raízes são nulas.

Videoaula

Para completar seus estudos, confira a videoaula do professor Lucas e, em seguida, resolva os exercícios:

Exercícios sobre equações incompletas do 2º grau

1- (Fatec)

Seja a equação x² + 4 = 0 no conjunto Universo U = C, onde C é o conjunto dos números complexos. Sobre as sentenças.

I. A soma das raízes dessa equação é zero.

II. O produto das raízes dessa equação é 4.

III. O conjunto solução dessa equação é {– 2, 2}.

É verdade que:

a) somente a I é falsa.

b) somente a III é falsa.

c) somente a II é falsa.

d) todas são verdadeiras.

2) A equação 4x² – 196x = 0 tem como raízes:

a) +7; – 7 .

b) 0; – 24.

c) 49, 0.

d) – 14, + 14.

e) Não possui raízes reais.

3) Sendo v² + 35v =0 é correto afirmar que:

I. A equação possui duas raízes reais e iguais.

II. A equação possui duas raízes distintas.

III. A equação possui duas raízes nulas.

IV. A equação possui uma das raízes igual a zero.

Entre as opções acima quais são verdadeiras?

a) I e II.

b) I e IV.

c) II e IV.

d) II e III.

e) I, II, III, IV.

Gabarito:

  1. A
  2. C
  3. C

Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é Psicopedagoga com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atuou na rede particular, estadual e municipal por 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades públicas e privadas na área de Matemática, Metodologia de Ensino de Matemática e Psicopedagogia. Atualmente trabalha na área de Projetos de Tecnologias Digitais de Informação e Comunicação (TDICs). LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.

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