A Geometria está por toda a parte: em nossas casas, prédios, campos de futebol, mesas de bilhar, quadras poliesportivas e em muitos outros lugares. Estude os quadriláteros nessa revisão de Matemática do Curso Enem Gratuito!
Às vezes os vestibulares e o Enem propõem questões de Geometria que nos tiram o sossego. Geralmente as mais difíceis são aquelas que trazem a descrição de determinada figura e não tem sua imagem. É comum que essas questões comecem assim:
“(Unicamp) Um trapézio retângulo é um quadrilátero convexo plano que possui dois ângulos retos, um ângulo agudo α e um ângulo obtuso β. Suponha que, em um tal trapézio, a medida de β seja igual a cinco vezes a medida de α. Calcule a medida de α, em graus.”
E a gente lê esse tipo de questão e se pergunta: Por onde eu começo?
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Pensando nesse tipo de questão, resolvi fazer uma revisão com você sobre os famosos quadriláteros, aquelas figuras que têm quatro lados com diferentes “nomes e sobrenomes”.
O que são quadriláteros?
Os quadriláteros são figuras geométricas essenciais na geometria. Os quadrados, losangos e retângulos são os mais conhecidos. Porém, existem outros que ganham visibilidade no estudo de áreas e perímetros como os paralelogramos e os trapézios.
Nesta aula vamos apresentar suas características principais para que você possa resolver com tranquilidade as questões do Enem e Vestibular que envolvem essas figuras.
Características gerais dos quadriláteros
O conceito de quadrilátero é simples. Um quadrilátero é um polígono simples de quatro lados.
Temos como exemplos dessas formas os pisos de nossas casas, paredes, camas, mesas, prédios, campos de futebol, partes de uma caixa, faces de um tijolo.
O ambiente tem objetos com formato de quadrilátero. Fonte: https://goo.gl/nCmt37
Uma das características importantes dos quadriláteros é que a soma de seus ângulos que é igual a 360º. Outra característica importante de ser lembrada é que os quadriláteros têm duas diagonais.
Tipos de quadriláteros
Existem dois tipos de classificação de quadriláteros: paralelogramos e trapézios.
Vamos estudá-los separadamente:
Paralelogramos
Os paralelogramos são figuras geométricas planas que têm lados opostos paralelos. São quadriláteros convexos.
Fonte: https://goo.gl/9V3se2
Propriedades dos paralelogramos:
Os ângulos opostos são congruentes.
Os ângulos adjacentes são suplementares (α + β = 180º)
Os lados opostos são congruentes.
As diagonais se interceptam nos pontos médios.
Área do paralelogramo
A área dos paralelogramos em geral se calcula através de:
Área = base x altura
Retângulo
Os retângulos são quadriláteros convexos equiângulos. Ou seja, são paralelogramos que têm quatro ângulos iguais a 90º(retos), dois lados opostos menores e dois lados oposto maiores. Tem diagonais congruentes.
Fonte: https://goo.gl/9V3se2
Losango
É um quadrilátero convexo equilátero. Isto quer dizer que é um paralelogramo que tem quatro lados iguais e têm suas diagonais perpendiculares entre si. Suas diagonais dividem o losango em quatro triângulos retângulos.
Fonte: https://goo.gl/9V3se2
Quadrado
É um quadrilátero convexo, equilátero e equiângulo, isto é, têm quatro lados com medidas iguais e quatro ângulos internos iguais a 90º (ângulos retos). Suas diagonais são perpendiculares entre si, e seu encontro dá seu ponto médio da figura.
Fonte: https://goo.gl/9V3se2
Dizemos que o quadrado é um quadrilátero regular e é um retângulo e um losango.
Trapézios
Trapézios são polígonos quadriláteros que têm dois lados paralelos, que são chamados de bases.
Fonte: https://goo.gl/9V3se2
Área do trapézio
Sua área é calculada através da fórmula:
Área = [ (Base maior + Base menor) x altura ] / 2
Classificação dos trapézios
Os trapézios podem ser classificados em isósceles, retângulo ou escaleno.
Fonte: https://goo.gl/9V3se2
Trapézio Isósceles: essa figura tem seus lados opostos não paralelos congruentes, isto é, têm a mesma medida. Os ângulos de cada base e suas diagonais também são congruentes.
Trapézio Retângulo: um dos lados é perpendicular às bases, ou seja, forma um ângulo de 90º às bases.
Fonte: https://goo.gl/9V3se2
Trapézio Escaleno: os lados não paralelos dessa figura não são congruentes, isto é, não tem a mesma medida.
Exercício resolvido
Agora que já sabemos as diferenças entre os quadriláteros podemos com facilidade resolver a questão da Unicamp:
Um trapézio retângulo é um quadrilátero convexo plano que possui dois ângulos retos, um ângulo agudo α e um ângulo obtuso β. Suponha que, em um tal trapézio, a medida de β seja igual a cinco vezes a medida de α.
Fonte: https://goo.gl/9V3se2
Calcule a medida de α, em graus.
Resolução: a soma das medidas dos quatro ângulos é 360º e o enunciado diz que β = 5α. Vamos calcular a medida de α:
α + β + 90 + 90 = 360
α + β + 180 = 360
Substituindo β por 5α na equação:
α + 5α = 360 – 180
6α = 180
α = 30
E a questão está resolvida!
Como você pode perceber, cada quadrilátero tem suas características e você sabendo suas diferenças vai acertar todas as questões que os envolvem.
Referências Bibliográficas
ANTIGO, Edilene A. D. A Aprendizagem do Conceito de Quadriláteros por meio d Resolução de Problemas. UEM, 2014. Disponível em: https://goo.gl/aMGLr7.
Quadriláteros Convexos_ UNICAMP. Disponível em: https://goo.gl/fdrtiW. Acesso em 22/12/2018.
Videoaula
Aprenda mais sobre polígonos e geometria plana com o professor Sarkis, de Matemática, assistindo à videoaula abaixo!
Exercícios sobre quadriláteros
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Revisão
Pergunta 1 de 10
1. Pergunta
(ITA)
Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais medem respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero RSTU vale:
Correto
Parabéns! Siga para a próxima questão.
Incorreto
Resposta incorreta. Revise o conteúdo nesta aula sobre estudo dos quadriláteros para acertar na hora da prova!
Pergunta 2 de 10
2. Pergunta
(UFRGS)
O polígono cujo número de diagonais é igual ao triplo do número de lados é o:
Correto
Parabéns! Siga para a próxima questão.
Incorreto
Resposta incorreta. Revise o conteúdo nesta aula sobre estudo dos quadriláteros para acertar na hora da prova!
Pergunta 3 de 10
3. Pergunta
(MACK-SP)
O polígono regular que tem o mesmo número de lados e de diagonais é o:
Correto
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Incorreto
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Pergunta 4 de 10
4. Pergunta
(UNICAMP-SP)
O polígono convexo cuja soma dos ângulos internos mede 1440º tem exatamente:
Correto
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Incorreto
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Pergunta 5 de 10
5. Pergunta
(Unifesp)
Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos internos consecutivos estão na razão 1 : 3 . O ângulo menor desse paralelogramo mede
Correto
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Incorreto
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Pergunta 6 de 10
6. Pergunta
(UEL)
Embora o desenho abaixo pareça representar uma figura em três dimensões, ele foi feito no plano, usando-se apenas losangos congruentes entre si. Os ângulos internos desses losangos medem:
Correto
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Incorreto
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Pergunta 7 de 10
7. Pergunta
(UFPE)
Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses (V) se for verdadeiro ou (F) se for falso. Analise as seguintes afirmações:
( ) Dois triângulos equiláteros quaisquer são semelhantes.
( ) Dois triângulos retângulos são semelhantes se os catetos de um são proporcionais aos catetos do outro.
( ) Num triângulo qualquer, cada lado é maior que a soma dos outros dois.
( ) Se as diagonais de um quadrilátero se interceptam no seus pontos médios, então esse quadrilátero é um retângulo.
( ) Se pelo ponto médio do lado AB de um triângulo ABC traçarmos uma reta paralela ao lado BC, então esta reta interceptará o lado AC no seu ponto médio.
Marque a alternativa CORRETA:
Correto
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Incorreto
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Pergunta 8 de 10
8. Pergunta
(Fuvest)
Um trapézio retângulo tem bases 5 e 2 e altura 4. O perímetro desse trapézio é:
Correto
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Incorreto
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Pergunta 9 de 10
9. Pergunta
(IFPA)
Considere o quadrado ABCD e o triângulo AED onde o vértice E é um dos pontos do lado BC. Com essas informações é correto afirmar que
Correto
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Incorreto
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Pergunta 10 de 10
10. Pergunta
(Questão própria)
Meu irmão e eu compramos um sítio na forma de um losango com o lado medindo 500 m. Dividimos o sítio na direção das diagonais, uma medindo 600 m e a outra 800 m. Dessa forma o sítio ficou dividido em quatro partes iguais. Quantos metros de arame farpado são necessários para cercar uma dessas partes desse terreno com três fios de arame?
Correto
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Incorreto
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Sobre o(a) autor(a):
A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é Psicopedagoga com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atuou na rede particular, estadual e municipal por 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades públicas e privadas na área de Matemática, Metodologia de Ensino de Matemática e Psicopedagogia. Atualmente trabalha na área de Projetos de Tecnologias Digitais de Informação e Comunicação (TDICs). LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.
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