Logaritmos: o que são, propriedades, como calcular e exercícios

Quem domina os logaritmos tem chance de ter uma boa classificação no Enem! Isso porque essas questões são consideradas difíceis e, se garantir, tá dentro!

Em toda a nossa caminhada existe algo que não é tão fácil ou que não gostamos de fazer, não é mesmo? O estudo dos logaritmos é um exemplo disso, a maioria dos alunos têm certa dificuldade em gostar ou aprender.

Mas, você tem uma prova que precisa classificação e então, entender de logaritmos pode ser seu trunfo! Nesta aula, vou te mostrar que os logaritmos não são tão difíceis assim!

O que é um logaritmo

Podemos afirmar que um logaritmo é o inverso de uma exponencial. Através de uma calculadora científica podemos calcular facilmente um logaritmo.

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Se você já usou uma calculadora científica deve ter notado que há uma tecla chamada log, que representa o cálculo para um logaritmo(log). Portanto, para calcular um logaritmo nesse tipo de calculadora, basta apertar esta tela. Mas, infelizmente nas provas não podemos usar a calculadora. Então, só nos resta entender o que é e como calcular um logaritmo e colocar a “mão na massa”.

Para começarmos a calcular um logaritmo, é importante pensarmos em sua definição. Uma equação logarítmica é toda a expressão algébrica escrita da forma:logaritmos - log

Mas o que são todas essas letras? Cada letra (incógnita) tem um significado lógico, veja:

representam qualquer número real positivo com uma exceção:

representa um expoente.

Agora vamos ler a expressão:logaritmos - expressão

Logaritmo de b na base a é igual a x. Isso indica que a base a elevada ao expoente x será igual a um número real b.

Para finalizarmos a análise da expressão, vejamos nomes matemáticos dados a cada termo:

  • A letra a é a base do logaritmo.
  • A letra b é o logaritmando.
  • A letra x é o logaritmo.

Calma, parece difícil, mas não é. Veja os exemplos abaixo:logaritmos - exemplo

Vamos detalhar um pouco mais como calcular o logaritmo através de seu conceito, veja:

Vamos calcular, por meio da definição:

Façamos  Temos:logaritmos - exemplo 1

Usando o método que você viu no exemplo acima, vamos resolver mais alguns logaritmos:logaritmos - resolução

Ficou um pouco mais fácil? Beleza! Agora, fique atento(a), pois temos alguns logaritmos especiais que aparecem escritos de forma diferenciada como:

Logaritmo decimal (base 10) é escrito sem escrever a base 10:logaritmos - base 10

Logaritmo neperiano: sua base é o número irracional e ≅ 2,718281 e e representado por:logaritmos - número irracional

Propriedades dos logaritmos

A partir das definições utilizadas por muitos autores e dos princípios matemáticos que utilizamos nos exemplos anteriores, podemos dizer que:

logaritmos - exemplo 2

Note que todas as propriedades descritas acima estão vinculadas às propriedades das potências e exponenciais. Agora, vamos estudar detalhadamente cada uma das propriedades logarítmicas.

Logaritmo de um produto

O logaritmo de um produto é dado pela soma do logaritmo das bases desse produto.

Veja como fica na linguagem matemática:

logaritmos - fórmula

Logaritmo de um quociente

O logaritmo de um quociente é dado pela subtração entre os logaritmos das bases que estão sendo divididas.

Na linguagem matemática escrevemos essa propriedade assim:

logaritmos - propriedade

Entenda mais sobre produto e quociente dos logaritmos

Na videoaula abaixo, o professor de Matemática Sérgio Sarkis faz um resumo muito bom sobre produto e quociente dos logaritmos, duas propriedades fundamentais para você resolver exercícios sobre esse tema!

Logaritmo de uma potência

Para usar essa propriedade basta passar o expoente multiplicando a base do logaritmo.

Na linguagem matemática escrevemos essa expressão da seguinte forma:

logaritmos - expressão

Mudança de base

A mudança de base é uma propriedade bem explorada nos vestibulares e, permite determinar o logaritmo de x na base y, conhecidos os logaritmos de x e y numa base b.

Então, para os números b, x e y com números reais positivos, b ≠ 1 e y ≠ 1, temos a expressão que nos dá a mudança de base entre dois logaritmos:

logaritmos - dois

Através dessa expressão podemos tirar que:

logaritmos - exemplo 3

Resumo sobre as propriedades logarítmicas

Veja abaixo um infográfico que resume as propriedades logarítmicas. Você pode copiar o resumo para ter esse material sempre à mão quando for resolver exercícios sobre logaritmos!

propriedades dos logaritmos

Exercícios resolvidos

Agora que você já entendeu o que é um logaritmo e suas propriedades, vamos a alguns exemplos. Abaixo, trouxe exercícios resolvidos sobre logaritmos para mostrar como resolver questões.

1) Calcule o  sabendo que o 

Para resolver essa situação, devemos observar algumas coisas:

a) Esse logaritmo é decimal.

b) A base 20, pode ser escrita em forma de uma operação:

Ou ainda 20 pode ser escrito como 

Devemos escolher uma das operações acima para usar uma das propriedades. Escolhemos a segunda propriedade, ou seja, o logaritmo de um quociente:

logaritmos - quociente

Perceba que reescrevemos a base 20 por uma divisão e depois aplicamos a propriedade do logaritmo do quociente. Transformamos o número 100 em uma potência.

Sabemos que log 100 = 2 e log 5 = 0,699 segundo o enunciado, substituindo todos os termos encontramos o resultado. Isto é o logaritmo de 20 é igual a um 1,301.

2) Encontre o 

Neste caso temos uma condição de existência, isto é, 3x+4 tem que ser maior que zero, pois não existe logaritmo de zero.

Então resolvemos a base como uma inequação:

logaritmos - inequação

Então para o logaritmo tem que ser um número maior que menos quatro terços.

Agora vamos resolver o exercício. Para isso a base deve ser igual a 4 elevado a 2, então chegamos a seguinte equação aplicando o conceito do logaritmo citado por Iezzi (2010):

logaritmos - base quatro

A solução satisfaz a condição de existência pois 4 é maior que – 4/3.

3) Calcule 125

Para facilitar o cálculo precisamos mudar a expressão para uma base 5. Para que isso aconteça fatoramos o número 125 que é igual a 5³. E fatoramos 25 que é 5².
Vamos substituir na expressão abaixo e mudamos a expressão dada para a base 5:

logaritmos - base 5

Exercícios sobre logaritmos

Para fechar sua revisão, que tal testar seus conhecimentos? Resolva os exercícios sobre logaritmos selecionados pela professora Wania!

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Sobre o(a) autor(a):

A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é Psicopedagoga com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atuou na rede particular, estadual e municipal por 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades públicas e privadas na área de Matemática, Metodologia de Ensino de Matemática e Psicopedagogia. Atualmente trabalha na área de Projetos de Tecnologias Digitais de Informação e Comunicação (TDICs). LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.

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