Como resolver uma inequação modular

Inequação modular é uma desigualdade em que a incógnita (x) se encontra dentro de um módulo. Aprenda passo a passo como resolver inequações modulares!

A inequação modular é um campo da matemática que é absurdamente divertido de se trabalhar quando se tem as ferramentas corretas. Por isso, nesta aula você vai aprender estratégias de resolução que vão muito além da apresentação de conceitos.

A parte mais divertida e fácil das inequações modulares é a possibilidade de você utilizar conteúdos que já estudou anteriormente. Por exemplo: as desigualdades para as inequações, o conceito de módulo para a solução delas e até mesmo a construção dos gráficos, para a visualização do que está sendo feito. Para as mentes criativas as inequações modulares apresentam inúmeras possibilidades.

Você já está familiarizado com as desigualdades, os conceitos de maior, menor, maior igual e menor igual, não é mesmo? Levando isso em consideração, sugiro que para compreender alguns conceitos desta aula é interessante que, primeiramente, você dê uma olhadinha na aula sobre função modular e módulo.

Além disso, tem essa aula do professor Lucas pra te ajudar a lembrar do conteúdo:

O que é inequação modular

Uma inequação modular é uma desigualdade que pode se apresentar de diferentes formas, sejam elas

|x| > k

|x| < k

|x| ≥ k

|x| ≤ k

sendo k um número real.

Em todos esses casos, a incógnita (x) se encontra dentro do módulo e a resolução se dá de uma forma parecida. No entanto, é diferente da resolução das equações modulares. O objetivo aqui é encontrar um ou mais valores para x que satisfaçam a desigualdade.

Primeiro exemplo de inequação modular

Calcule |x| ≥ 4.

Se você trouxer seu conhecimento de equações modulares, intuitivamente vai pensar que, se um valor dentro do módulo pode ser positivo ou negativo, logo a solução é x ≥ 4 ou x ≥ -4. Contudo, essa linha de raciocínio está incorreta, e eu já vou te explicar o porquê.

Para essa explicação, vamos aproveitar que tivemos no passado um grande matemático chamado René Descartes (1596 – 1650), capaz de criar uma ferramenta que relaciona álgebra com a geometria: o plano cartesiano. Vamos utilizar essa ferramenta a favor dos nossos estudos (é o famoso vou desenhar para você entender melhor, só que dito de uma forma mais refinada).

Gráfico da inequação modular

Relembrando o gráfico da função modular mais simples, a f(x) = |x| em vermelho, temos:

Gráfico de uma inequação modular

Em seguida, usando a inequação |x| ≥ 4 acima como exemplo, podemos associar cada um dos lados da desigualdade a uma função específica.

Inequações modulares

Sendo assim, f(x) = |x| e g(x) = 4.

Bem, o gráfico da f(x) = |x| você já conhece, e o gráfico da g(x) = 4 é apenas uma reta que passa pelo ponto no eixo das ordenadas, destacado na imagem em azul:

Gráfico da inequação modular x maior ou igual a 4

Então, você se faz a seguinte pergunta: para quais valores de x a função f(x) (em vermelho) é maior do que a função g(x) (em azul)? Observe o gráfico:

Gráfico da inequação modular x maior ou igual a 4

As áreas destacadas em cinza são os valores para os quais a f(x) é maior do que a g(x) (onde o gráfico vermelho está literalmente acima do gráfico azul). Ou seja, todos os valores de x que sejam maiores ou iguais a 4 ou menores ou iguais a -4 satisfazem a equação.

Relembre: quem é a f(x) e quem é a g(x)? f(x) = |x| e g(x) = 4.

Sendo assim, os valores que satisfazem a inequação |x| ≥ 4 são x ≥ 4 e x ≥ -4. Por fim, o conjunto solução é o seguinte:

S = {x ∈ R | x ≥ 4 ou x ≥ -4}

Segundo exemplo de inequação modular:

Encontre os valores de x que satisfaçam |x| < 4.

Seguindo a mesma linha de raciocínio, temos que identificar no gráfico as partes onde a f(x) em vermelho esteja abaixo (seja menor) do que a g(x) em azul, observe:

Gráfico da inequação modular menor que 4

Então, a solução de |x| < 4 são todos os valores entre -4 e 4. Assim, o conjunto solução é:

S = {x ∈ R | 4 < x < 4}

A partir tudo discorrem as propriedades descritas em seguida.

Propriedades das inequações modulares

As duas primeiras propriedades estão relacionadas ao primeiro exemplo. Dessa forma, para toda inequação da forma

  • |x| > k os valores de x serão x < -k ou x > k.
  • |x| ≥ k os valores de x serão x ≤ -k ou x ≥ k.

Esses valores podem ser vistos como todos os valores do ponto de encontro dos gráficos “para fora”.

Inequações modulares x maior ou igual

Já as outras duas propriedades têm relação com o segundo exemplo:

  • |x| < k os valores de x serão -k < x < k.
  • |x| ≤ k os valores de x serão -k ≤ x ≤.

Esses valores podem ser vistos como todos os valores do ponto de encontro dos gráficos “para dentro”.

Inequações modulares x maior ou igual

Agora que você já conhece as propriedades e já entendeu de onde elas surgiram, é hora de aplicar nos exercícios em seguida.

Exercícios resolvidos

1- Resolver a inequação modular |2x -1| < 2.

Essa inequação se assemelha ao segundo, por isso usamos para sua resolução a propriedade: |x| < k os valores de x serão -k < x < k.

Sendo assim

-2 < 2x -1 ou 2x – 1 < 2

Resolvendo temos:

-2 < 2x -1

-2 + 1 < 2x

1 < 2x

x > 1/2

ou

2x -1 < 2

2x < 2 + 1

2x < 3
x < 3/2

Assim, o conjunto solução se dá da forma S = {x ∈ R | 1/2 < x < 3/2}.

2- Resolver a inequação modular |2x – 3| > x + 1

Essa inequação se assemelha ao primeiro exemplo, portanto sua solução se dará da forma |x| > k os valores de x serão x < -k ou x > k. Sendo assim, temos duas possibilidades

2x – 3 > x + 1 ou 2x – 3 < -(-x + 1)

Portanto, resolvemos assim:

2x – 3 > x + 1

2x – x > 1 + 3

x > 4

ou

2x – 3 < -(x + 1)

2x – 3 < -x -1

2x + x < -1 + 3

3x < 2

x < 2/3

Por fim, o conjunto solução se dá da forma S = {x ∈ R | x > 4 ou x < 2/3}

Dica

Sugiro que você tome como lição a construção do gráfico dessas funções para tirar a prova real. Não somente para analisar se de fato está correto o resultado.

Mas, mais do que isso, para avaliar seu processo de aprendizagem e verificar como se comportam os gráficos de diferentes funções. Hoje existem diversos aplicativos tanto para celular quanto computador que podem te auxiliar e muito nesse processo.

Videoaula

Agora que você já viu a teoria e alguns exemplos de inequações modulares, veja esta videoaula do professor Lucas para o nosso canal no YouTube e, em seguida, resolva os exercícios:

Exercícios

1- (ESPM SP/2012)    

As soluções reais da inequação x + |2x – 6| ≤ 9 são representadas pelo intervalo

a) [3, +∞[

b) [–5,3]

c) ]–∞, –3]

d) [5, +∞[

e) [–3, 5]

2 – (UNESP SP/2012)    

No conjunto IR dos números reais, o conjunto solução S da inequação modular |x| × |x – 5| ³ 6 é:

a) S = {x ∈ IR / –1 ≤ x ≤ 6}.

b) S = {x ∈ IR / x ≤ –1 ou 2 ≤ x ≤ 3}.

c) S = {x ∈ IR / x ≤ –1 ou 2 ≤ x ≤ 3 ou x ≥ 6}.

d) S = {x ∈ IR / x ≤ 2 ou x ≥ 3}.

e) S = IR.

3- (FAAP SP/)    

O conjunto solução da inequação | x2 – 6x + 5 | < –5 é

a) S = {x ∈ R | x < 0 ou x > 6}

b) S = {x ∈ R | 0 < x < 6}

c) S =

d) S = R

e) n.d.a.

Gabarito:

  1. E
  2. C
  3. C

Sobre o(a) autor(a):

Os textos e exemplos de apresentação desta aula foram preparados pela professora Andréia Zanchetti para o Blog do Enem. Andréia é formada em Matemática pelo IFRS e possui mestrado pela FURG.

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