Logaritmos: o que são, propriedades, como calcular e exercícios
Quem domina os logaritmos tem chance de ter uma boa classificação no Enem! Isso porque essas questões são consideradas difíceis e, se garantir, tá dentro!
Em toda a nossa caminhada existe algo que não é tão fácil ou que não gostamos de fazer, não é mesmo? O estudo dos logaritmos é um exemplo disso, a maioria dos alunos têm certa dificuldade em gostar ou aprender.
Mas, você tem uma prova que precisa classificação e então, entender de logaritmos pode ser seu trunfo! Nesta aula, vou te mostrar que os logaritmos não são tão difíceis assim!
O que é um logaritmo
Podemos afirmar que um logaritmo é o inverso de uma exponencial. Através de uma calculadora científica podemos calcular facilmente um logaritmo.
Se você já usou uma calculadora científica deve ter notado que há uma tecla chamada log, que representa o cálculo para um logaritmo(log). Portanto, para calcular um logaritmo nesse tipo de calculadora, basta apertar esta tela. Mas, infelizmente nas provas não podemos usar a calculadora. Então, só nos resta entender o que é e como calcular um logaritmo e colocar a “mão na massa”.
Para começarmos a calcular um logaritmo, é importante pensarmos em sua definição. Uma equação logarítmica é toda a expressão algébrica escrita da forma:
Mas o que são todas essas letras? Cada letra (incógnita) tem um significado lógico, veja:
representam qualquer número real positivo com uma exceção: 
representa um expoente.
Agora vamos ler a expressão:
Logaritmo de b na base a é igual a x. Isso indica que a base a elevada ao expoente x será igual a um número real b.
Para finalizarmos a análise da expressão, vejamos nomes matemáticos dados a cada termo:
- A letra a é a base do logaritmo.
- A letra b é o logaritmando.
- A letra x é o logaritmo.
Calma, parece difícil, mas não é. Veja os exemplos abaixo:
Vamos detalhar um pouco mais como calcular o logaritmo através de seu conceito, veja:
Vamos calcular, por meio da definição:
Façamos 
Temos:
Usando o método que você viu no exemplo acima, vamos resolver mais alguns logaritmos:
Ficou um pouco mais fácil? Beleza! Agora, fique atento(a), pois temos alguns logaritmos especiais que aparecem escritos de forma diferenciada como:
Logaritmo decimal (base 10) é escrito sem escrever a base 10:
Logaritmo neperiano: sua base é o número irracional e ≅ 2,718281 e e representado por:
Assista ao vídeo a seguir e aprenda com o professor Lucas a dominar os logatimos!
Propriedades dos logaritmos
A partir das definições utilizadas por muitos autores e dos princípios matemáticos que utilizamos nos exemplos anteriores, podemos dizer que:
Note que todas as propriedades descritas acima estão vinculadas às propriedades das potências e exponenciais. Agora, vamos estudar detalhadamente cada uma das propriedades logarítmicas.
Logaritmo de um produto
O logaritmo de um produto é dado pela soma do logaritmo das bases desse produto.
Veja como fica na linguagem matemática:
Logaritmo de um quociente
O logaritmo de um quociente é dado pela subtração entre os logaritmos das bases que estão sendo divididas.
Na linguagem matemática escrevemos essa propriedade assim:
Entenda mais sobre produto e quociente dos logaritmos
Na videoaula abaixo, o professor de Matemática Sérgio Sarkis faz um resumo muito bom sobre produto e quociente dos logaritmos, duas propriedades fundamentais para você resolver exercícios sobre esse tema!
Logaritmo de uma potência
Para usar essa propriedade basta passar o expoente multiplicando a base do logaritmo.
Na linguagem matemática escrevemos essa expressão da seguinte forma:
Mudança de base
A mudança de base é uma propriedade bem explorada nos vestibulares e, permite determinar o logaritmo de x na base y, conhecidos os logaritmos de x e y numa base b.
Então, para os números b, x e y com números reais positivos, b ≠ 1 e y ≠ 1, temos a expressão que nos dá a mudança de base entre dois logaritmos:
Através dessa expressão podemos tirar que:
Resumo sobre as propriedades logarítmicas
Veja abaixo um infográfico que resume as propriedades logarítmicas. Você pode copiar o resumo para ter esse material sempre à mão quando for resolver exercícios sobre logaritmos!
Exercícios resolvidos
Agora que você já entendeu o que é um logaritmo e suas propriedades, vamos a alguns exemplos. Abaixo, trouxe exercícios resolvidos sobre logaritmos para mostrar como resolver questões.
1) Calcule o 
sabendo que o 
Para resolver essa situação, devemos observar algumas coisas:
a) Esse logaritmo é decimal.
b) A base 20, pode ser escrita em forma de uma operação:
Ou ainda 20 pode ser escrito como 
Devemos escolher uma das operações acima para usar uma das propriedades. Escolhemos a segunda propriedade, ou seja, o logaritmo de um quociente:
Perceba que reescrevemos a base 20 por uma divisão e depois aplicamos a propriedade do logaritmo do quociente. Transformamos o número 100 em uma potência.
Sabemos que log 100 = 2 e log 5 = 0,699 segundo o enunciado, substituindo todos os termos encontramos o resultado. Isto é o logaritmo de 20 é igual a um 1,301.
2) Encontre o 
Neste caso temos uma condição de existência, isto é, 3x+4 tem que ser maior que zero, pois não existe logaritmo de zero.
Então resolvemos a base como uma inequação:
Então para o logaritmo tem que ser um número maior que menos quatro terços.
Agora vamos resolver o exercício. Para isso a base deve ser igual a 4 elevado a 2, então chegamos a seguinte equação aplicando o conceito do logaritmo citado por Iezzi (2010):
A solução satisfaz a condição de existência pois 4 é maior que – 4/3.
3) Calcule 125
Para facilitar o cálculo precisamos mudar a expressão para uma base 5. Para que isso aconteça fatoramos o número 125 que é igual a 5³. E fatoramos 25 que é 5².
Vamos substituir na expressão abaixo e mudamos a expressão dada para a base 5:
Exercícios sobre logaritmos
Para fechar sua revisão, que tal testar seus conhecimentos? Resolva os exercícios sobre logaritmos selecionados pela professora Wania!
.
é igual a:
com b > 1, tem como solução (a, b) igual a
é
onde a é a amplitude (em micrômetros) do movimento vertical do solo, que é informado em um sismógrafo; T é o período do abalo sísmico em segundo; e B é a amplitude do abalo sísmico, com distância crescente partindo do centro do terremoto. Em 16 de setembro de 2015, um terremoto de magnitude 8,3 atingiu o Chile, próximo a região de Valparaíso, deixando várias vítimas. Em 08 de setembro de 2017, um terremoto de magnitude 5,3 atingiu a região norte do Japão.
em que o domínio de f é o conjunto dos números reais e o domínio de g é o conjunto dos números reais maiores do que 0. Seja h(x) = 3f(g(x)) + 2g(f(x)), em que x > 0. Então, h(2) é igual a
com 
sendo T o tempo em minutos em que as bactérias são submetidas ao calor, B o número de bactérias vivas antes do início da esterilização e x o número de bactérias que morreram após T minutos do início da esterilização.
é correto afirmar que o tempo T, necessário para que o número de bactérias mortas seja igual a 80% do número de bactérias vivas antes do início da esterilização, é
onde t é o tempo dado em horas.
é igual ao número de centros culturais localizados nas proximidades do centro da cidade. Esse número é
pode-se afirmar corretamente que 
é igual a 
logaritmo natural de x
Sobre o(a) autor(a):
Wania Maria de A. Pereira - A professora Wania Maria de A. Pereira é graduada em Física e Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e é Psicopedagoga com enfoque em Gestão de Pessoas (UNC) e especialista em Educação a Distância (SENAC- SC). Atuou na rede particular, estadual e municipal por 26 anos no Estado de Santa Catarina. Autora de diversos materiais didáticos para universidades públicas e privadas na área de Matemática, Metodologia de Ensino de Matemática e Psicopedagogia. Atualmente trabalha na área de Projetos de Tecnologias Digitais de Informação e Comunicação (TDICs). LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wmariaap/.
