Matriz inversa: propriedades, como calcular e determinante

O tópico de matriz inversa costuma ser o último abordado quando falamos de matrizes no contexto do Enem e vestibulares. Vem com a gente se aprofundar no estudo desse assunto, aprender as condições de existência, como calcular e quais suas propriedades.

O que é uma matriz inversa

Quando trabalhamos com matrizes temos diversas restrições em relação às operações com matrizes que podemos ou não realizar. Sabemos, por exemplo, que não podemos dividir matrizes. Porém, uma propriedade presente em algumas matrizes é a existência da matriz inversa.

Assim como nos números reais, quando multiplicamos uma matriz A por sua inversa temos como resultado uma unidade, que no nosso caso é a matriz identidade I. Representamos a inversa da matriz A como A^-1, dessa forma, temos:

Condições de existência

Antes de aprendermos a fazer seu cálculo, precisamos saber verificar se a matriz inversa existe. Para isso temos duas condições necessárias:

1. Somente matrizes quadradas, aquelas em número de linhas e colunas são o mesmo, possuem inversa;
2. Somente matrizes com determinantes diferentes de zero possuem matriz inversa.

Como calcular a matriz inversa

Agora que já sabemos quando a matriz inversa existe, vamos aprender a calculá-la. Preste atenção no exemplo a seguir e veja como calcular a inversa de uma matriz 2×2.

Exemplo: calcule a inversa da matriz A.

Precisamos primeiro verificar se a matriz A possui uma inversa. Para isso, precisamos checar se A é quadrada e se o determinante A é diferente de 0. Vemos facilmente que A é quadrada de ordem 2, já que possui duas colunas e duas linhas. Ainda podemos calcular o determinante da seguinte maneira:

Como o determinante de A é diferente de 0 e A é uma matriz quadrada, sabemos que ela possui inversa.

Agora precisamos usar a definição de inversa para conseguir relacionar a matriz A com a sua inversa. Para isso você pode usar a definição que vimos anteriormente como uma fórmula. Substituindo a matriz A obtemos:

Observe que depois da igualdade substituímos I pela a matriz identidade de uma matriz quadrada de ordem dois. Nesse tipo de matriz, a sua diagonal principal é composta por números 1, enquanto que os demais elementos são 0.

Já para a matriz A^-1 podemos usar uma matriz composta por incógnitas, as quais vamos calcular para formarem nosso resultado, da seguinte maneira:

Lembre-se que para realizar a multiplicação de uma matriz pela outra você deve fazer a soma dos produtos de cada elemento da primeira linha de uma das matrizes pelos elementos da primeira coluna da outra.

Desenvolvendo essa multiplicação de matrizes chegamos em:

Agora, quando dizemos que duas matrizes são iguais estamos afirmando que os seus elementos são iguais, ou seja:

Precisamos calcular quem é a matriz A^-1, ou seja, calcular os valores de a, b, c e d. Para isso, vamos separar as igualdades em anteriores sistemas, de forma que as duas duplas de variáveis fiquem no mesmo sistema:

Note que as colunas da matriz definem um sistema. Resolvendo os sistemas chegamos ao seguinte resultado:

Por fim, podemos substituir os resultados encontrados para construir nossa matriz A^-1:

E essa matriz é a inversa de A, como prova real você pode multiplicar A por A^-1 e conferir se o resultado é a matriz identidade.

Propriedades da matriz inversa

As matrizes inversas possuem algumas propriedades que podem te ajudar muito na hora de resolver uma prova, confira elas:

1. A inversa de uma matriz é única;
2. A inversa da matriz inversa de A é a própria matriz A, isto é: (A^-1)-1 = A;
3. A inversa da matriz transposta de A é igual à transposta da matriz inversa de A, ou seja: (A^t)^-1 = (A^-1)^t;
4. Se a matriz A admite inversa, o seu determinante é igual o inverso do determinante de A: _det(a^-1) = (det(A)^-1;
5. Se A e B são matrizes de mesma ordem inversíveis então a inversa de A vezes B vai ser igual a inversa de B vezes a inversa de A, portanto: (AB)^-1 = B^-1 A^-1 .

Exercícios resolvidos

1) Como calcular uma matriz inversa 3×3

Calcule se existirem det(B) e det(B^-1)

Nesse exercício precisamos calcular o determinante de duas matrizes, vamos começar com a matriz B, já que já a conhecemos:

det(B) = ((2.2.1 + 1.1.1 + 0.0.2) – (2.2.1 + 1.0.1 + 1.0.2))

det(B) = (4 + 1 – 4) = 1

Como já calculamos o determinante de B, podemos verificar se B admite inversa, como o determinante de B é diferente de zero, B^-1 existe. Para calcular o determinante de B^-1 vamos primeiro calcular quem é essa matriz. Começamos da mesma forma, montando a igualdade de matrizes provinda da definição:

Desenvolvendo essa igualdade obtemos:

Agora, organizamos ela em três sistemas:

Resolvendo os três sistemas obtemos:

Por fim, calculando o determinante de B^-1 )temos:

det(B^-1) = (0 – 3- 4) – (0 – 4 – 4) = -7 + 8 = 1

Note que calcular a inversa de uma matriz de ordem três envolve muito mais contas que calcular a inversa de uma matriz de ordem dois. Isso pode tomar muito tempo de suas provas, por isso, é importante saber utilizar as propriedades. Note ainda que neste exercício você pode usar a propriedade 4 para obter facilmente o determinante da inversa:

det(B^-1) = det(B)^-1

det(B^-1) = (1)^-1

det(B^-1) = 1

Muito mais fácil, né? Mas, fique atento(a)! É importante notar que para calcular o determinante de uma inversa você deve verificar se ela existe!

2) Como calcular o determinante da matriz inversa

Sejam as matrizes:

Calcule, se existir, o determinante de D^-1C^-1.

Vamos utilizar o mesmo método dos exemplos anteriores para calcular D^-1C^-1. Se você ainda não se acostumou, vamos rever o passo a passo começando pela matriz C:

Passo 1: verificar se a inversa de C existe usando o determinante:

det(C) = (1 . 6) 0 (-2 . 6)

det(C) = 6 + 12 = 18

Passo 2: construir a “equação” da matriz inversa com a matriz fornecida no enunciado e uma matriz de incógnitas:

Passo 3: fazer a multiplicação de matrizes.

Passo 4: montar e resolver os sistemas.

Passo 5: montar a matriz inversa com os resultados colhidos.

Fazemos o mesmo para a matriz D:

det(D) = (3 . 2) – (4 . 1)

det(D) = 6 – 4 = 2

Passo 2:

Passo 3:

Passo 4:

Passo 5:

Agora que temos as inversas podemos calcular o produto D^-1C^-1:

Por fim, podemos calcular o determinante pedido pelo exercício:

Depois de muito esforço conseguimos o resultado! Mas será que tem uma forma mais fácil?

Da mesma forma que o exemplo anterior, podemos usar das propriedades para facilitar a resolução do problema. Dessa vez, vamos usar as propriedades 4 e 5.

Lembre-se que podemos usar a propriedade 4 para facilmente calcular o determinante de matrizes inversas. Para isso calculamos o determinante da matriz que invertemos. Mas qual será a matriz a qual a inversa é D^-1C^-1?

Em um primeiro momento você pode pensar que é a matriz DC. Porém, essa resposta estaria errada, já que pela propriedade 5 sabemos que a inversa de DC é a matriz DC)^-1 = C^-1D^-1. Da mesma forma, conseguimos concluir que a matriz CD é a que procuramos, já que (CD)^-1 = D^-1C^-1. Agora, como sabemos pela propriedade 4 que (det(CD))^-1 = det(D^-1C^-1).

Com isso em mente, conseguimos reduzir a resolução a uma multiplicação de matrizes e um cálculo de determinante, veja bem:

Calculando CD:

O seu determinante:

det(CD) = (1 . 36) – (0 . 24)

det(CD) = 36 – 0 = 36

Como o inverso do determinante vai ser o determinante da inversa, temos:

A mesma resposta com muito menos procedimentos! Viu como é importante aprender a usar as propriedades?

Videoaula

Agora, assista esse vídeo do canal “Equaciona” com o professor Paulo Pereira e corra para praticar com os exercícios logo depois do vídeo.

Exercícios sobre matriz inversa

Questão 1 (UEL PR/2010) Se A é uma matriz quadrada 2 × 2 de determinante 10. Se B = (-2 . A) e C = 3 . B^-1, onde B^-1 é a matriz inversa de B, então o determinante de C é:

• a) -60
• b) -3/20
• c) -20/3
• d) 9/40
• e) 40/9

Questão 2 (UNICAMP) Considere a matriz A dada:

Onde a e b são números reais. Se A = A² e A é invertível, então:

• a) a=1 e b=1
• b) a=1 e b=0
• c) a=0 e b=0
• d) a=0 e b=1

Questão 3 (FUVEST) Considere a matriz:

em que a é um número real. Sabendo que A admite inversa A–1 cuja primeira coluna é

a soma dos elementos da diagonal principal de A–1 é igual a:

• a) 5
• b) 6
• c) 7
• d) 8
• e) 9

Gabarito:

1. D
2. B
3. A

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