Operações com matrizes

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Saber somar, multiplicar, fazer matriz transposta e matriz inversa é um passo importante para mandar bem na prova de Matemática do Enem e vestibulares. Vamos nessa para aprender ainda mais?

Os cálculos envolvidos nas operações com matrizes e entre matrizes estão diretamente ligados a tudo que você vem aprendendo em matemática desde o ensino fundamental. É preciso e necessário aplicar os conhecimentos em somas, subtração, multiplicação, operações com frações, sistema de equações, e tudo isso agregado às novas informações sobre operações com as matrizes. Fique ligado(a) nessa aula, não perca nenhum detalhe, e ao final dela, resolva os exercícios.

Matriz Oposta

Você lembra que o oposto de um número é o próprio número com o sinal “trocado”? Bom, com as matrizes não é diferente. A oposta de uma matriz  possui os mesmos elementos da matriz  só que com o sinal invertido, sendo então, .

Exemplo: Qual a oposta da matriz

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Solução: Sendo que para definir a oposta de uma matriz basta inverter os sinais de cada um dos termos da matriz, temos que a oposta de A é:

operações com matrizes

Matriz Transposta

Apesar do nome parecido, a matriz transposta é bem diferente da matriz oposta. A matriz transposta nada mais é do que a matriz que resulta quando transformamos as linhas em colunas em uma matriz, sempre mantendo a ordem em que os termos nela aparecem. A transposta de uma matriz é denotada por At.

Assim, utilizando a matriz do exemplo acima, temos que a transposta de

É dada por:

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Perceba que a matriz A3×2 transformou-se em uma matriz A2×3. Isso é algo bem importante para ser levado em consideração ao calcular a transposta de uma matriz. Por definição, a matriz Amxn admite uma transposta da forma Anxm.

Propriedades da simetria

  1. Uma matriz é simétrica, se, e somente se, ela for igual à sua transposta A=At
  2. Uma matriz é antissimétrica, se, e somente se, ela for igual à oposta de sua transposta: A=-At.

Igualdade de matrizes

Essa é fácil, vai? Duas matrizes serão iguais se e somente se, possuírem a mesma ordem e todos os seus elementos forem iguais, ou seja

Exemplo: Se A e B são matrizes iguais, então calcule x;

Solução: Bem, se as matrizes são iguais, todos os seus termos são iguais. Assim, temos:

Então é só calcular o valor de x

Soma e Subtração de Matrizes

A única condição necessária para somar duas matrizes é que as duas sejam de mesma ordem, independentemente se for matriz quadrada ou não. Sendo assim, uma matriz da forma Amxn pode ser somada a uma matriz da forma Bmxn resultando em uma matriz Cmxn, onde cada elemento cji da matriz C é igual à soma dos elementos aji e bji de A e B.

Exemplo: Dadas as matrizes A e B, encontre C onde C = A + B.

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Organizamos as matrizes em notação de soma:

Em seguida, somamos termo a termo

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Tome cuidado com os sinais…

O resultado é da forma:

Já a subtração se dá da mesma forma, subtraindo termo a termo. Por definição, dizemos que a subtração entre duas matrizes de mesma ordem é obtida a partir da soma da matriz A com a oposta de B, assim A – B = A + (-B).

Multiplicação de um escalar por uma matriz

Para multiplicar um número real por uma matriz também não tem muito mistério, basta multiplicar o número em questão por cada termo da matriz individualmente. Veja o exemplo.

Exemplo: Multiplique o número k = 3 pela matriz

Multiplicando termo a termo:

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O resultado é a matriz:

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Multiplicação de uma matriz por outra matriz

Para efetuar a multiplicação entre duas matrizes, existe uma condição onde o produto A x B só pode ser obtido se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. A matriz resultante terá como ordem o número de linhas de A e o número de colunas de B. Assim,

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Mas, como é de fato executada essa multiplicação? Basta multiplicar termo a termo? A resposta é não! O produto entre duas matrizes A e B é a matriz C, em que cada elemento é a soma dos produtos de cada elemento da linha de A pelo elemento correspondente da coluna de B. Veja isso na prática:

Exemplo: Sejam as matrizes A e B, determine C = A . B

Fazendo a soma dos produtos de cada elemento da primeira linha de A com a primeira coluna de B, temos:

Agora, a soma dos produtos de cada elemento da primeira linha de A com a segunda coluna de B, temos

operações com matrizes

E assim sucessivamente, até efetuarmos as operações entre todos os termos de todas as linhas e colunas,

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O que resulta em:

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Um detalhe importante a ser considerado é que o elemento neutro da multiplicação entre matrizes é a matriz identidade In.

Por isso a matriz identidade também é utilizada no cálculo da matriz Inversa. Veja o tópico a seguir.

Matriz Inversa

Para encontrar a inversa X de uma matriz A dada, devemos solucionar a igualdade de matrizes:

Onde A é a matriz dada, A-1 é a matriz inversa e In é a matriz identidade. Além disso, somente matrizes quadradas possuem inversa.

Importante: se o determinante de uma matriz for igual a zero, essa matriz não possui inversa.

Vejamos por meio de um exemplo numérico como se dá o cálculo:

Exemplo: Determine a inversa da matriz A:

Organizando a igualdade de matrizes, temos:

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Mas, se não temos a inversa ainda, como efetuar essa multiplicação?

Bem, vamos “criar” uma matriz inversa, onde os seus elementos serão letras, assim:

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Agora, basta utilizar os conhecimentos de multiplicação de matrizes para efetuar os cálculos, resultando em um sistema de equações com duas incógnitas, veja:

operações com matrizes

Agora, organizando em sistemas de equações, temos:

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Resolvendo os sistemas, temos que

Assim, a inversa A-1 de A é:

operações com matrizes

Dá uma olhadinha aqui nestas videoaulas sobre operações com matrizes inversas:

Exercícios sobre operações com matrizes:

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Sobre o(a) autor(a):

Os textos e exemplos de apresentação desta aula foram preparados pela professora Andréia Zanchetti para o Blog do Enem. Andréia é formada em Matemática pelo IFRS e possui mestrado pela FURG.

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