Operações com matrizes: veja soma e multiplicação

Saber somar, multiplicar, fazer matriz transposta e matriz inversa é um passo importante para mandar bem na prova de Matemática do Enem e vestibulares. Aprenda agora, com aula gratuita, dicas, e exercícios resolvidos.

Os cálculos envolvidos nas operações com matrizes e entre matrizes estão diretamente ligados a tudo que você vem aprendendo em matemática desde o ensino fundamental. É preciso e necessário aplicar os conhecimentos em somas, subtração, multiplicação, operações com frações, sistema de equações, e tudo isso agregado às novas informações sobre operações com as matrizes.

Operações com matrizes

Vamos agora abordar cada tipo de operações com matrizes e as propriedades de cada uma.

Matriz oposta

Você lembra que o oposto de um número é o próprio número com o sinal “trocado”? Bom, com as matrizes não é diferente. A oposta de uma matriz  possui os mesmos elementos da matriz  só que com o sinal invertido, sendo então, .

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Exemplo

Qual a oposta da matrizoperações com matrizes

Solução: Sendo que para definir a oposta de uma matriz basta inverter os sinais de cada um dos termos da matriz, temos que a oposta de A é:operações com matrizes

Matriz transposta

Apesar do nome parecido, a matriz transposta é bem diferente da matriz oposta. A matriz transposta nada mais é do que a matriz que resulta quando transformamos as linhas em colunas em uma matriz, sempre mantendo a ordem em que os termos nela aparecem. A transposta de uma matriz é denotada por At.

Exemplo

Assim, utilizando a mesma matriz do exemplo de matriz oposta, temos que a transposta de

É dada por:operações com matrizes

Perceba que a matriz A3×2 transformou-se em uma matriz A2×3. Isso é algo bem importante para ser levado em consideração ao calcular a transposta de uma matriz. Por definição, a matriz Amxn admite uma transposta da forma Anxm.

Propriedades da simetria de matrizes

  1. Uma matriz é simétrica, se, e somente se, ela for igual à sua transposta A=At
  2. Uma matriz é antissimétrica, se, e somente se, ela for igual à oposta de sua transposta: A=-At.

 

Igualdade de matrizes

Essa é fácil, vai? Duas matrizes serão iguais se e somente se, possuírem a mesma ordem e todos os seus elementos forem iguais, ou seja

Exemplo

Se A e B são matrizes iguais, então calcule x;

Solução: Bem, se as matrizes são iguais, todos os seus termos são iguais. Assim, temos:

Então é só calcular o valor de xSoma e subtração de matrizes

A única condição necessária para somar duas matrizes é que as duas sejam de mesma ordem, independentemente se for matriz quadrada ou não. Sendo assim, uma matriz da forma Amxn pode ser somada a uma matriz da forma Bmxn resultando em uma matriz Cmxn, onde cada elemento cji da matriz C é igual à soma dos elementos aji e bji de A e B.

Exemplo

Dadas as matrizes A e B, encontre C onde C = A + B.operações com matrizes

Organizamos as matrizes em notação de soma:

Em seguida, somamos termo a termooperações com matrizes

Tome cuidado com os sinais…O resultado é da forma:

Já a subtração se dá da mesma forma, subtraindo termo a termo. Por definição, dizemos que a subtração entre duas matrizes de mesma ordem é obtida a partir da soma da matriz A com a oposta de B, assim A – B = A + (-B).

Resumo de Soma e Multiplicação de Matrizes

Confira agora com o professor Lucas Borguezan, do canal do Curso Enem Gratuito, uma explicação simples e rápida para você gabaritar em questões de Soma e Multiplicação de Matrizes.

Valeu pra você o resumo do professor Lucas? Veja agora os exemplos de multiplicação de matrizes.

Multiplicação de um escalar por uma matriz

Para multiplicar um número real por uma matriz também não tem muito mistério, basta multiplicar o número em questão por cada termo da matriz individualmente. Veja o exemplo.

Exemplo

Multiplique o número k = 3 pela matriz

Multiplicando termo a termo:

operações com matrizes

O resultado é a matriz:

operações com matrizes

Multiplicação de uma matriz por outra matriz

Para efetuar a multiplicação entre duas matrizes, existe uma condição onde o produto A x B só pode ser obtido se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. A matriz resultante terá como ordem o número de linhas de A e o número de colunas de B. Assim,

operações com matrizes

Mas, como é de fato executada essa multiplicação? Basta multiplicar termo a termo? A resposta é não! O produto entre duas matrizes A e B é a matriz C, em que cada elemento é a soma dos produtos de cada elemento da linha de A pelo elemento correspondente da coluna de B. Veja isso na prática com o exemplo abaixo.

Exemplo

Sejam as matrizes A e B, determine C = A . B

Fazendo a soma dos produtos de cada elemento da primeira linha de A com a primeira coluna de B, temos:

Agora, a soma dos produtos de cada elemento da primeira linha de A com a segunda coluna de B, temos

operações com matrizes

E assim sucessivamente, até efetuarmos as operações entre todos os termos de todas as linhas e colunas,

operações com matrizes

O que resulta em:

operações com matrizes

Um detalhe importante a ser considerado é que o elemento neutro da multiplicação entre matrizes é a matriz identidade In.

Por isso a matriz identidade também é utilizada no cálculo da matriz Inversa. Veja o tópico a seguir.

Matriz inversa

Para encontrar a inversa X de uma matriz A dada, devemos solucionar a igualdade de matrizes:

Onde A é a matriz dada, A-1 é a matriz inversa e In é a matriz identidade. Além disso, somente matrizes quadradas possuem inversa.

Importante: se o determinante de uma matriz for igual a zero, essa matriz não possui inversa.

Vejamos por meio de um exemplo numérico como se dá o cálculo.

Exemplo

Determine a inversa da matriz A:

Organizando a igualdade de matrizes, temos:

operações com matrizes

Mas, se não temos a inversa ainda, como efetuar essa multiplicação?

Bem, vamos “criar” uma matriz inversa, onde os seus elementos serão letras, assim:

operações com matrizes

Agora, basta utilizar os conhecimentos de multiplicação de matrizes para efetuar os cálculos, resultando em um sistema de equações com duas incógnitas, veja:

operações com matrizes

Agora, organizando em sistemas de equações, temos:

operações com matrizes

Resolvendo os sistemas, temos que

Assim, a inversa A-1 de A é:

operações com matrizes

Veja uma dica para o próximo conteúdo sobre Matries, que é o Cálculo do Determinante:

Exercícios sobre operações com matrizes

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Sobre o(a) autor(a):

Os textos e exemplos de apresentação desta aula foram preparados pela professora Andréia Zanchetti para o Blog do Enem. Andréia é formada em Matemática pelo IFRS e possui mestrado pela FURG.

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