Operações com matrizes: como fazer e exercícios resolvidos

Saber somar, multiplicar, fazer matriz transposta e matriz inversa é um passo importante para mandar bem na prova de Matemática do Enem e vestibulares. Vamos nessa para aprender ainda mais?

Os cálculos envolvidos nas operações com matrizes e entre matrizes estão diretamente ligados a tudo que você vem aprendendo em matemática desde o ensino fundamental. É preciso e necessário aplicar os conhecimentos em somas, subtração, multiplicação, operações com frações, sistema de equações, e tudo isso agregado às novas informações sobre operações com as matrizes.

Operações com matrizes

Vamos agora abordar cada tipo de operações com matrizes e as propriedades de cada uma.

Matriz oposta

Você lembra que o oposto de um número é o próprio número com o sinal “trocado”? Bom, com as matrizes não é diferente. A oposta de uma matriz possui os mesmos elementos da matriz só que com o sinal invertido, sendo então, .

Exemplo

Qual a oposta da matriz

Solução: Sendo que para definir a oposta de uma matriz basta inverter os sinais de cada um dos termos da matriz, temos que a oposta de A é:

Matriz transposta

Apesar do nome parecido, a matriz transposta é bem diferente da matriz oposta. A matriz transposta nada mais é do que a matriz que resulta quando transformamos as linhas em colunas em uma matriz, sempre mantendo a ordem em que os termos nela aparecem. A transposta de uma matriz é denotada por A^t.

Exemplo

Assim, utilizando a mesma matriz do exemplo de matriz oposta, temos que a transposta de

É dada por:

Perceba que a matriz A_3×2 transformou-se em uma matriz A_2×3. Isso é algo bem importante para ser levado em consideração ao calcular a transposta de uma matriz. Por definição, a matriz A_mxn admite uma transposta da forma A_nxm.

Propriedades da simetria de matrizes

Uma matriz é simétrica, se, e somente se, ela for igual à sua transposta A=A^t
Uma matriz é antissimétrica, se, e somente se, ela for igual à oposta de sua transposta: A=-A^t.

Igualdade de matrizes

Essa é fácil, vai? Duas matrizes serão iguais se e somente se, possuírem a mesma ordem e todos os seus elementos forem iguais, ou seja

Exemplo

Se A e B são matrizes iguais, então calcule x;

Solução: Bem, se as matrizes são iguais, todos os seus termos são iguais. Assim, temos:

Então é só calcular o valor de x

Soma e subtração de matrizes

A única condição necessária para somar duas matrizes é que as duas sejam de mesma ordem, independentemente se for matriz quadrada ou não. Sendo assim, uma matriz da forma A_mxn pode ser somada a uma matriz da forma B_mxn resultando em uma matriz C_mxn, onde cada elemento c_ji da matriz C é igual à soma dos elementos a_ji e b_ji de A e B.

Exemplo

Dadas as matrizes A e B, encontre C onde C = A + B.

Organizamos as matrizes em notação de soma:

Em seguida, somamos termo a termo

Tome cuidado com os sinais…

O resultado é da forma:

Já a subtração se dá da mesma forma, subtraindo termo a termo. Por definição, dizemos que a subtração entre duas matrizes de mesma ordem é obtida a partir da soma da matriz A com a oposta de B, assim A – B = A + (-B).

Multiplicação de um escalar por uma matriz

Para multiplicar um número real por uma matriz também não tem muito mistério, basta multiplicar o número em questão por cada termo da matriz individualmente. Veja o exemplo.

Exemplo

Multiplique o número k = 3 pela matriz

Multiplicando termo a termo:

O resultado é a matriz:

Multiplicação de uma matriz por outra matriz

Para efetuar a multiplicação entre duas matrizes, existe uma condição onde o produto A x B só pode ser obtido se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. A matriz resultante terá como ordem o número de linhas de A e o número de colunas de B. Assim,

Mas, como é de fato executada essa multiplicação? Basta multiplicar termo a termo? A resposta é não! O produto entre duas matrizes A e B é a matriz C, em que cada elemento é a soma dos produtos de cada elemento da linha de A pelo elemento correspondente da coluna de B. Veja isso na prática com o exemplo abaixo.

Exemplo

Sejam as matrizes A e B, determine C = A . B

Fazendo a soma dos produtos de cada elemento da primeira linha de A com a primeira coluna de B, temos:

Agora, a soma dos produtos de cada elemento da primeira linha de A com a segunda coluna de B, temos

E assim sucessivamente, até efetuarmos as operações entre todos os termos de todas as linhas e colunas,

O que resulta em:

Um detalhe importante a ser considerado é que o elemento neutro da multiplicação entre matrizes é a matriz identidade I_n.

Por isso a matriz identidade também é utilizada no cálculo da matriz Inversa. Veja o tópico a seguir.

Matriz inversa

Para encontrar a inversa X de uma matriz A dada, devemos solucionar a igualdade de matrizes:

Onde A é a matriz dada, A^-1 é a matriz inversa e I_n é a matriz identidade. Além disso, somente matrizes quadradas possuem inversa.

Importante: se o determinante de uma matriz for igual a zero, essa matriz não possui inversa.

Vejamos por meio de um exemplo numérico como se dá o cálculo.

Exemplo

Determine a inversa da matriz A:

Organizando a igualdade de matrizes, temos:

Mas, se não temos a inversa ainda, como efetuar essa multiplicação?

Bem, vamos “criar” uma matriz inversa, onde os seus elementos serão letras, assim:

Agora, basta utilizar os conhecimentos de multiplicação de matrizes para efetuar os cálculos, resultando em um sistema de equações com duas incógnitas, veja:

Agora, organizando em sistemas de equações, temos:

Resolvendo os sistemas, temos que

Assim, a inversa A^-1 de A é:

Exercícios sobre operações com matrizes

Sobre o(a) autor(a):

Os textos e exemplos de apresentação desta aula foram preparados pela professora Andréia Zanchetti para o Blog do Enem. Andréia é formada em Matemática pelo IFRS e possui mestrado pela FURG.

Operações com matrizes: como fazer e exercícios resolvidos

Saber somar, multiplicar, fazer matriz transposta e matriz inversa é um passo importante para mandar bem na prova de Matemática do Enem e vestibulares. Vamos nessa para aprender ainda mais?