Postulados da geometria e posições relativas

Nesta aula de Matemática você vai estudar sobre ponto, reta e plano, e suas posições relativas. Ou seja, como eles podem estar organizados em formas geométricas.

Na aula de hoje vamos estudar os postulados da geometria e também ver posições relativas entre os entes no caso espacial. No final, vamos estudar as condições para determinar um único plano.

Enquanto a geometria plana se preocupa em estudar objetos em duas dimensões, a geometria espacial se preocupa com o estudo de sólidos em três dimensões – principalmente o cálculo de volumes e áreas das superfícies.

As noções de ponto, reta, plano – os entes primitivos da geometria – são de extrema importância no estudo da geometria espacial. Tais noções são intuitivas, assim como a noção de espaço.

Postulados da geometria

Antes de iniciarmos, vale a pena ressaltar que postulados são ideias aceitas como verdade, sem necessidade de demonstração.

Ainda, lembre-se que a reta e o plano são infinitos. Por esse motivo, apenas representamos uma pequena porção deles (pois não conseguimos representá-los por inteiro nesta página do post).

Vamos aos postulados:

  • Existe uma reta e, nela e fora dela, existem infinitos pontos.

Reta com vários pontosFigura 1: Uma reta e pontos que pertencem e que não pertencem a ela.

  • Existe um plano e, nele e fora dele, existem infinitos pontos.

Plano e pontosFigura 2: Um plano e pontos que pertencem e que não pertencem a ele.

  • Dois pontos distintos quaisquer determinam uma única reta.

Dois pontos e uma retaFigura 3: Dois pontos e uma reta definida por eles.

  • Três pontos não colineares determinam um único plano.

Três pontos não colinearesFigura 4: Três pontos não colineares e o plano determinado por eles.

  • Uma reta que possui dois pontos distintos em um plano está contida no plano.

Reta com dois pontos distintos em um planoFigura 5: Uma reta com dois pontos distintos em um plano e o plano que consequentemente contém a reta.

Ainda, acrescenta-se o seguinte:

  • Por um ponto passam infinitas retas.

Um ponto e várias retasFigura 6: Um ponto e várias retas passando por este ponto.

  • Em uma reta qualquer passam infinitos planos.

Uma reta e vários planosFigura 7: Uma reta e vários planos passando por esta reta.

Para entender melhor os postulados da geometria, assista a esta videoaula do Stoodi:

Posições relativas

Agora que já vimos os postulados, podemos estudar as posições relativas entre os entes.

Posições relativas entre ponto e reta

Dado um ponto P e uma reta r no espaço, temos duas opções:

  • P é um ponto da reta – e nesse caso falamos que P pertence à reta e denotamos por P ∈ r.

Posições relativas - Uma reta r e um ponto PFigura 8: Uma reta r e um ponto P que pertence à reta.

  • P não é um ponto da reta –. Portanto, falamos que P não pertence à reta e denotamos por P ∉ r.

Posições relativas - Uma reta r e um ponto P que não pertence à retaFigura 9: Uma reta r e um ponto P que não pertence à reta.

Posições relativas entre ponto e plano

Dado um ponto P e um plano α, temos duas opções:

  • P é um ponto do plano –. Dessa forma, falamos que P pertence ao plano e denotamos por P ∈ α.

Posições relativas - Um plano e um ponto P que pertence ao planoFigura 10: Um plano e um ponto P que pertence ao plano.

  • P não é um ponto do plano –. Portanto, nesse caso falamos que P não pertence ao plano e denotamos por P ∉ α.

Posições relativas - Um plano e um ponto P que não pertence ao planoFigura 11: Um plano e um ponto P que não pertence ao plano.

Posições relativas entre retas

Consideremos duas retas r e s no espaço. As retas podem ser:

  • Paralelas distintas: quando as retas não possuem nenhum ponto em comum. Nesse caso dizemos que as retas estão sempre a uma mesma distância (diferente de zero) da outra e denotamos por r // s.

Posições relativas - Duas retas r e s paralelas distintasFigura 12: Duas retas r e s paralelas distintas.

  • Paralelas coincidentes: quando as retas possuem todos os pontos em comum. Dessa forma, as duas retas são, na verdade, a mesma reta e denotamos r ≡ s. Perceba que as duas retas estão sempre a uma mesma distância da outra, mas que tal distância vale zero.

Posições relativas - Duas retas r e s paralelas coincidentesFigura 13: Duas retas r e s paralelas coincidentes.

  • Concorrentes: quando as retas possuem um único ponto em comum. Este ponto em comum é justamente o ponto em que elas se cruzam.

Posições relativas - Retas concorrentesFigura 14: Duas retas r e s concorrentes, com ponto de intersecção destacado. 

  • Perpendiculares: são retas concorrentes que se cruzam formando um ângulo de 90°. Nesse caso denotamos r ⊥ s.

Posições relativas - duas retas perpendicularesFigura 15: Duas retas r e s perpendiculares com ângulo de 90º destacado.

  • Reversas: retas que não estão contidas no mesmo plano, ou seja, que não são coplanares. Em outras palavras, duas retas são reversas quando elas não estão contidas simultaneamente em um mesmo plano.

Duas retas r e s reversas.Figura 16: Duas retas r e s reversas.

  • Ortogonais: retas reversas que determinam um ângulo de 90°.

Posições relativas - Retas ortogonaisFigura 17: Duas retas r e s ortogonais com ângulo de 90° destacado.

Perceba, então, que os casos de retas paralelas e concorrentes ocorrem quando ambas as retas estão no mesmo plano. Já o caso de retas reversas acontece quando elas não estão no mesmo plano.

Ainda, vale ressaltar que todas essas posições podem ser analisadas para três ou mais retas no espaço.

Posições relativas entre reta e plano

Considere uma reta e um plano. Assim:

  • A reta está contida no plano –. Neste caso, para a reta estar contida no plano, basta que dois pontos dela pertençam ao plano.

Posições relativas - Uma reta contida em um planoFigura 18: Uma reta contida em um plano.

  • A reta e o plano são concorrentes. Neste caso, a reta e o plano possuem apenas um ponto em comum.

Posições relativas - Reta incidente em um planoFigura 19: Uma reta incidente em um plano.

  • A reta r é paralela ao plano –. Assim, a reta e o plano não possuem nenhum ponto em comum.

Posições relativas - Uma reta paralela a um plano.Figura 20: Uma reta paralela a um plano.

Posições relativas entre dois planos

Considere dois planos α e β no espaço. Temos três opções:

  • Coincidentes: nesse caso, eles possuem todos os pontos em comum. Quando tal situação ocorre, temos, na verdade, que os dois planos são o mesmo plano e denotamos α ≡ β.

Posições relativas - Dois planos coincidentesFigura 21: Dois planos coincidentes.

  • Paralelos distintos: neste caso, os planos não possuem nenhum ponto em comum.

Posições relativas - Dois planos paralelos distintosFigura 22: Dois planos paralelos distintos.

  • Secantes: nesse caso, os planos possuem uma reta em comum (podemos dizer também que o conjunto dos pontos em comum forma uma reta).

Posições relativas - Dois planos secantesFigura 23: Dois planos secantes com reta de intersecção destacada.

Além das posições relativas, é bom saber quais são as condições que podem definir um plano.

Determinação de um plano

Existem quatro maneiras de determinar um plano, veja a seguir.

  • Duas retas concorrentes:

Posições relativas - Duas retas concorrentes determinando um único planoFigura 24: Duas retas concorrentes determinando um único plano.

  • Duas retas paralelas distintas:

Posições relativas - Duas retas paralelas distintas determinando um único planoFigura 25: Duas retas paralelas distintas determinando um único plano.

  • Uma reta e um ponto não pertencente a ela:

Posições relativas - Uma reta e um ponto fora dela determinando um único planoFigura 26: Uma reta e um ponto fora dela determinando um único plano.

  • Três pontos não-colineares:

Posições relativas - Três pontos não colineares determinando um único planoFigura 27: Três pontos não colineares determinando um único plano.

Com isso finalizamos o estudo a respeito dos postulados da geometria espacial e posições relativas.

Por fim, caso você tenha interesse, é possível encontrar mais teoremas e resultados interessantes sobre este assunto em diferentes bibliografias, por exemplo:

Dolce, O., & Pompeo, J. N. (2013). Fundamentos da Matemática Elementar: Goemetria Espacial (Vol. 10). São Paulo – SP: Atual.

Videoaula

Gostou do conteúdo e quer ver mais detalhes? Então acesse a seguinte videoaula:

Exercícios sobre posições relativas

1- (IME RJ/2019)    

Considere as afirmações abaixo:

I) se três pontos são colineares, então eles são coplanares;

II) se uma reta tem um ponto sobre um plano, então ela está contida nesse plano;

III)   se quatro pontos são não coplanares, então eles determinam 6 (seis) planos;

IV) duas retas não paralelas determinam um plano;

V) se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua interseção é uma reta.

Entre essas afirmações:

a) apenas uma é verdadeira;

b) apenas duas são verdadeiras;

c) apenas três são verdadeiras;

d) apenas quatro são verdadeiras;

e) todas são verdadeiras.

2- (UNICESUMAR PR/2019)    

Com base em seus conhecimentos sobre Geometria de Posição, é correto afirmar que

a) em um plano, existe um número limitado de retas paralelas a uma reta dada.

b) duas retas reversas estão contidas no mesmo plano.

c) dois planos paralelos distintos têm um ponto em comum.

d) se dois planos são concorrentes, então são secantes.

e) duas retas paralelas têm um ponto em comum.

3- (UniRV GO/2019)    

Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para as alternativas.

a) Dois planos, e β, são paralelos se coincidem ou se não têm nenhum ponto comum.

b) Duas retas, r e s, são reversas quando existe um mesmo plano que as contenha.

c) Duas retas, r e s, são paralelas se, e somente se, estão num mesmo plano e não têm nenhum ponto comum.

d) Se duas retas não são coplanares, então elas são reversas.

Gabarito:

  1. B
  2. D
  3. VFFV

Sobre o(a) autor(a):

Letícia Figueredo de Carvalho é graduada em Matemática Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Atua na área educacional desde 2013, trabalhando como analista de conteúdo, professora de matemática e monitora de disciplina, atuando em diversos níveis de ensino. LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/leticia-figueredo-de-carvalho/.

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