Probabilidade Condicional

Os exercícios sobre probabilidade que costumam cair na prova do Enem e vestibulares nem sempre são um bicho de sete cabeças. Basta você ter o conhecimento necessário para solucionar os problemas.

A probabilidade condicional é um ramo do estudo da ocorrência de eventos em um espaço amostral. Nesse espaço, é levado em consideração um evento já ocorrido para o cálculo da probabilidade de ocorrer outro evento relacionado ao primeiro. O assunto é fácil, mas esse tanto de palavras difíceis muitas vezes faz com que o aluno creia que o conceito é mais difícil do que realmente é.

A verdade é que mesmo no aprendizado de matemática precisamos utilizar a interpretação de texto a nosso favor. A partir do momento que você souber interpretar um problema ele se torna facilmente solucionável. Veja nessa aula a explicação para exemplos que costumam confundir a cabeça do vestibulando.

Probabilidade

Revisando um pouco o que é a probabilidade, podemos dizer que  é o cálculo das possibilidades de um evento ocorrer a partir de um experimento aleatório realizado em um espaço amostral. O espaço amostral é dado por n(s) e são todas as possibilidades dadas por um experimento. Podemos citar como exemplo o lançamento de um dado: como o dado tem 6 faces enumeradas de 1 a 6, dizemos que o espaço amostral do lançamento é n(s) = 6.

A possibilidade de um evento ocorrer dentro deste espaço amostral, é determinada por um enunciado.

Exemplo: Ao lançarmos um dado qual a probabilidade de sair um número par?

Bem, levando em consideração que os números pares em um dado são {2, 4, 6}, temos 3 possibilidades em 6 elementos do espaço amostral, logo a probabilidade de sair um número par é

probabilidade condicional

Probabilidade Condicional

A probabilidade condicional como o próprio nome diz, é a probabilidade de um evento ocorrer estando condicionado a outro. Nesses casos, é necessário que haja uma relação entre os dois eventos e que os eventos sejam conjuntos não vazios. Em outras palavras, podemos dizer que a probabilidade condicional é a probabilidade de um evento A ocorrer sabendo que já ocorreu outro evento B.

A probabilidade condicional é dada pela fórmula:

probabilidade condicional

Com P(B) ≠ 0.

Importante: o cálculo da probabilidade condicional só é possível quando os eventos forem dependentes entre si. Se os eventos forem independentes, a probabilidade do evento A em relação ao evento B não se altera.

Um bom exemplo de evento dependente são as cartas de um baralho. As cartas de um baralho devem, necessariamente, ter um número e um naipe.

Exemplo: Ao escolher aleatoriamente uma carta em um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de sair uma rainha sabendo que é uma carta de espadas?

Bom, nesse exemplo percebemos que a carta escolhida tem uma condição: está condicionada a ser de espadas. Então, calculando as probabilidades separadamente, temos:

A = rainha

B = espadas

Já que são 4 rainhas em um baralho comum a probabilidade de sair uma rainha é de

probabilidade condicionada

Seguindo a mesma linha de raciocínio, a probabilidade de sair uma carta de espadas é de

Se pensarmos na intersecção entre os dois conjuntos e levarmos em consideração que só é possível ter 1 rainha de espadas em um baralho de 52 cartas, temos que

Aplicando a fórmula da probabilidade condicional, temos:

probabilidade condicionada

Então, a probabilidade de sair uma rainha de espadas é de .

Muitas vezes não é necessário aplicar fórmulas para obter o resultado, na verdade, para a probabilidade condicional você pode efetuar os cálculos reduzindo o espaço amostral. Veja:

Exemplo: Em um jogo de RPG, ao se lançar o dado que possui 20 faces, percebeu-se que o número é maior que 11. Qual a probabilidade de ser um número múltiplo de 4?

Bom, o espaço amostral no início da questão é de 20 elementos (todas as faces do dado), porém, já temos um recorte ao dizer que o número é maior que 11. Se você parar para pensar, os possíveis números maiores que 11 são n(s) = {12,13,14,15,16,17,18,19,20}. Então temos 9 possibilidades dentre as quais temos que selecionar apenas os múltiplos de 4, o que resulta num conjunto de 3 elementos: A = {12, 16, 20}.

Logo, a probabilidade de ser um múltiplo de 4 no novo espaço amostral é de

probabilidade condicional

Ou seja, para calcular a probabilidade de um evento, é necessário levar em consideração o espaço amostral. Quando você tem em mente como fazer o recorte desse espaço amostral, os cálculos serão facilitados para você.

Veja esse vídeo do Descomplica sobre probabilidade condicional e tire todas as suas dúvidas. Boa sorte nas provas!

Exercícios

01 – (UEG GO/2019)    

Dois candidatos, A e B, disputam a presidência de uma empresa. A probabilidade de o candidato A vencer é de 0,70; ao passo que a de B vencer é de 0,30. Se o candidato A vencer essa disputa, a probabilidade de Heloísa ser promovida a diretora dessa empresa é de 0,80; já se o candidato B vencer, essa probabilidade será de 0,30. A probabilidade de Heloísa, após a disputa da presidência dessa empresa, ser promovida a diretora, é de

a) 0,50

b) 0,45

c) 0,65

d) 0,56

e) 0,55

 

02 – (USF SP/2018)    

Em um hospital com 160 funcionários, 60% são graduados e 70% são do sexo masculino. Sabe-se ainda que  das pessoas de sexo feminino são graduados. A partir dessas informações, é correto afirmar que, escolhido ao acaso um desses funcionários, a probabilidade de ele ser do sexo masculino e graduado é

a) 1/3 .

b) 2/5.

c) 1/2.

d) 1/5.

e) 5/32 .

 

03 – (ESPM SP/2018)    

Em um conjunto de números naturais há 23 números pares, 17 múltiplos de 3, 12 múltiplos de 6 e 7 números primos maiores que 3. Escolhendo-se ao acaso um desses números, a probabilidade de que ele seja múltiplo de 2 ou de 3 é:

a) 3/5.

b) 5/6

c) 4/5

d) 1/2

e) 3/4

 

01 – Gab: C

02 – Gab: B

03 – Gab: C

Sobre o(a) autor(a):

Os textos e exemplos de apresentação desta aula foram preparados pela professora Andréia Zanchetti para o Blog do Enem. Andréia é formada em Matemática pelo IFRS e possui mestrado pela FURG.

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