Simetria entre figuras

Já prestou atenção em quantas coisas do nosso dia a dia possuem simetria entre si? Tanto na natureza, quanto em construções, é muito comum perceber a simetria. Na matemática não é diferente! Vem comigo nesta aula para compreender a simetria entre figuras!

Você que passa bastante tempo na internet já deve ter ouvido falar no conceito de harmonização facial. Essa tendência do mundo da moda e estética divide opiniões. Mas qual o propósito? Bem, é um procedimento cirúrgico que busca deixar o rosto mais bonito através da simetria.

Geralmente o conceito de beleza está diretamente associado ao conceito de simetria. Muitos dos grandes artistas utilizam simetria em suas obras, e não somente isso, até mesmo na música. Em grandes construções e na natureza é possível identificar padrões que seguem esse comportamento. Basta ter um olhar mais afinco para compreender a simetria por trás disto. Uma das maneiras de identificar ou criar padrões simétricos é através da matemática. Acompanhe essa aula e descubra como.

Figura 1: Planta que apresenta simetria na ordem de crescimento das folhas.

 

Matematicamente falando, a simetria é a preservação do formato da imagem e da sua configuração através de uma reta ou um ponto. Ao reproduzir uma imagem simetricamente estaremos preservando suas características primeiras, tais como os ângulos, a medida do lado, o tipo de imagem e, principalmente, seu tamanho. Reconhecer um padrão simétrico intuitivamente é fácil, nosso cérebro está acostumado à repetição em mosaicos, telas e na natureza.

No estudo da matemática, existem variados tipos de simetria, e elas diferem entre si. Essa ferramenta matemática é bastante utilizada em diversos segmentos, inclusive na computação gráfica. Hoje você vai aprender um pouco sobre a simetria por reflexão e a simetria por rotação. Guarde bem os conceitos e exemplos para solucionar os exercícios e para futuramente poder trabalhar com simetria entre funções.

Dica: Relembre essa aula sobre pontos no plano cartesiano que vai ser super importante para seu aprendizado nessa aula.

Simetria por Reflexão

 A simetria por reflexão é, como o próprio nome indica, um reflexo, um espelhamento da imagem através de um eixo de simetria. Esse eixo de simetria pode ser uma reta ou até mesmo um ponto. Além disso, é importante salientar que o ponto original de uma imagem e seu correspondente na reflexão têm a mesma distância em relação ao eixo de simetria.

Veja os exemplos:

simetria

Na imagem, o segmento de reta em vermelho é o eixo de simetria, a casinha 1 é a imagem original e a casinha 2 é sua correspondente na reflexão. Perceba como os pontos que compõem a figura 1 e os pontos que compõem a figura 2 possuem a mesma distância do eixo de simetria. Isso significa que entre elas existe uma simetria.

Todo esse papo de eixo e pontos não lembrou alguma coisa pra você? Esses termos são bastante utilizados lá no estudo do plano cartesiano. O conceito de simetria é bastante utilizado também no estudo de gráficos e funções. Veja um exemplo:

Ex: qual é o ponto que corresponde ao simétrico do ponto P(3,2)  em relação ao eixo y?

S: perceba que o exemplo traz o eixo dos y como sendo o eixo de simetria. Logo, a distância entre o ponto correspondente e o eixo y precisa ser igual à distância entre o ponto P e o eixo y. Essa distância é 3 unidades, veja:

Logo, o simétrico do ponto P(3,2), em relação ao eixo dos y é o ponto Q (-3,2).

Além de ocorrer através de um eixo de simetria, a reflexão também pode ser dada através de um ponto de simetria. Mas, nesse caso, é preciso prestar atenção, pois a imagem correspondente não será somente a imagem espelhada, ela também estará invertida.

Exemplo: simetria por reflexão através de um ponto da letra F:

simetria

 

Perceba que ao criar um correspondente simétrico através de um ponto a imagem fica invertida, diferentemente da reflexão através de uma reta. Esse é um caso especial também de simetria por rotação que você verá a seguir.

Simetria por rotação

Para criar um correspondente simétrico através da rotação, basta apenas “girar” a imagem original ao redor de um ponto que chamaremos de centro de rotação. A distância entre a imagem  e o centro de rotação se mantém constante, e a medida que a imagem gira chamaremos de ângulo de rotação.

Exemplo:

Girar a figura 90º no sentido horário, em relação ao ponto L.

Para girar uma imagem e encontrar seu simétrico através de rotação, devemos prestar atenção ao ângulo da rotação e ao sentido da rotação, que será horário ou anti-horário.

Curiosidade: Existe uma rotação específica na simetria por rotação em que o correspondente simétrico é exatamente o mesmo do que se tivéssemos feito simetria por reflexão. Isso se dá quando utilizamos o ângulo de rotação de 180º, independente do sentido. Veja no exemplo através da imagem:

simetriaExemplo: Gire a figura 180º no sentido horário, em relação ao ponto M.

simetria

Veja como todos os pontos da letra F e seus correspondentes fizeram o giro de 180º, mas também mantiveram a mesma distância em relação ao ponto M. Logo, ocorre simetria por reflexão e por rotação ao mesmo tempo.

E ai? Em quais dos tipos de simetria você acha que o exemplo inicial, da harmonização facial se encaixa? Continue estudando para as provas do vestibular e Enem e perceba a relação entre essa aula e aula de física óptica.

  

Veja essa aula do professor Eloy com outros exemplos de simetria:

Exercícios:

Questão 01)    

Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O.

simetria

A imagem que representa a nova figura é:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Questão 02)    

Simetrias são encontradas, frequentemente, em nosso dia-a-dia. Elas estão nas asas de uma borboleta, nas pétalas de uma flor ou em uma concha do mar. Em linguagem informal, uma figura no plano é simétrica quando for possível dobrá-la em duas partes, de modo que essas partes coincidam completamente.

De acordo com a descrição acima, qual das figuras a seguir é simétrica?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Gab: E

2) Gab: B

Sobre o(a) autor(a):

Os textos e exemplos de apresentação desta aula foram preparados pela professora Andréia Zanchetti para o Blog do Enem. Andréia é formada em Matemática pelo IFRS e possui mestrado pela FURG.