Condição de existência de um triângulo

Os triângulos são extremamente famosos na matemática. Desde pequenos os estudamos e visualizamos, mas nem sempre nos preocupamos com detalhes mais profundos.  Estudamos, por exemplo, a definição de triângulo, seus elementos, ângulos, perímetro e área. Mas, muitas vezes nos esquecemos de algo fundamental: a condição de existência de um triângulo.

Mas o que é essa tal condição de existência? Simplesmente é a condição que faz com que o triângulo exista. Mas ok, falar só isso não é suficiente, concorda?

O que é um triângulo

Sendo assim, antes de detalharmos o conteúdo mais específico dessa aula, é importante relembrar a definição de triângulo e seus elementos.

Dados três pontos A, B e C não colineares (que não pertencem à mesma reta), chamamos de triângulo a união dos segmentos , e .

Os pontos A, B e C são chamados de vértice do triângulo, e os segmentos ,  e  são chamados de lados do triângulo.

A notação para este triângulo é ΔABC. Também podemos denotar esse triângulo de outras formas, por exemplo: ΔACB ou ΔBAC. Ou seja, a notação para o triângulo é um Δ seguido dos três vértices do triângulo, não importando a ordem dos mesmos.

Observe o triângulo representado na imagem em seguida.

Perceba na figura acima que o lado  é oposto ao vértice A, o lado é oposto ao vértice C, e o lado  é oposto ao vértice B. Com isso, podemos adotar a seguinte nomenclatura para os lados do triângulo:

E, assim, o triângulo da figura 1 pode ser representado da seguinte forma:

Em muitas questões, as letras a, b e c são substituídas por números. Esse valor numérico é a chamada medida do lado do triângulo. E qual a relevância deste fato?

O ponto chave aqui é o seguinte: a condição de existência de um triângulo recai sobre essas medidas dos lados do triângulo.

Lembre-se que no começo do texto falamos que a condição de existência é o que faz o triângulo existir. Então, o que vale destacar aqui é o seguinte: não é qualquer conjunto de medidas dos lados do triângulo que fazem com que ele exista.

Condições de existência do triângulo

Mas, afinal, o que significa um triângulo existir? Significa ser capaz de ser construído.

Dando mais ênfase: é extremamente necessário se atentar aos possíveis valores das medidas dos lados do triângulo se quisermos que, de fato, o triângulo seja formado.

Vamos ao que interessa então:

Em todo triângulo, a medida de cada lado dele deve ser menor que a soma das medidas dos outros dois lados.

Essa relação descrita acima é conhecida como desigualdade triangular. Soa familiar para você?

Ela pode ser lida também da seguinte forma: em todo triângulo, a soma das medidas de dois lados deve ser maior que a medida do terceiro lado.

Voltando ao nosso triângulo genérico de lados a, b e c, temos então que cada lado satisfaz o seguinte:

a < b + c

b < a + c

c < a + b

Ou seja, essas três desigualdades precisam ser satisfeitas para que o triângulo seja formado.

Essas três desigualdades formam, portanto, a condição de existência de um triângulo.

Exemplo 1

Imagine que temos os valores 1 u.c (unidade de comprimento), 2 u.c e 5 u.c. Será que com esses valores é possível formarmos um triângulo?

Suponhamos que os lados desse triângulo que tentamos formar sejam dados pelas letras a, b e c, tais que a = 1, b = 2 e c = 5. Se esses valores satisfizerem a condição de existência, é possível formarmos um triângulo. Caso contrário, não será possível formarmos um triângulo.

Em seguida, vamos ao teste:

a < b + c ⇒ 1 < 2 + 5 ⇒ 1 < 7

b < a + c ⇒ 2 < 1 + 5 ⇒ 2 < 6

c < a + b ⇒ 5 < 1 + 2 ⇒ 5 < 3

Perceba que a última desigualdade não é satisfeita e, por isso, não conseguimos formar o triângulo com essas medidas de lados.

Veja na imagem abaixo o que acontece se tentarmos formar um triângulo com essas medidas.

Se você não está convencido/a de que não é possível formar um triângulo com esses três valores, faça você mesmo/a em casa.

Pegue um pedaço de papel e desenhe nele um segmento de reta. Faça esse segmento de reta ser a sua unidade de comprimento. Depois desenhe 2 unidades de comprimento e, por fim, desenhe 5 unidades de comprimento. No final, tente rotacionar seus comprimentos criados e verifique que eles não formarão um triângulo.

Exemplo 2

Agora, por outro lado, imagine que temos os valores 3 u.c, 3 u.c e 4 u.c. Será que com essas medidas é possível formarmos um triângulo?

Suponhamos agora que a = 3, b = 3 e c = 4. Vamos tentar formar o triângulo verificando a condição de existência:

a < b + c ⇒ 3 < 3 + 4 ⇒ 3 < 7

b < a + c ⇒ 3 < 3 + 4 ⇒ 3 < 7

c < a + b ⇒ 4 < 3 + 3 ⇒ 4 < 6

Como as desigualdades foram satisfeitas, conseguimos, então, formar um triângulo com essas medidas de lados, conforme ilustrado na imagem abaixo.

Observação: se você esbarrar em alguma desigualdade que faça com que ocorra, por exemplo, , a desigualdade, nesse caso, também não será satisfeita. Isso porque, na matemática, nenhum número é menor que ele mesmo.

Fique ligado(a): as figuras são meramente ilustrativas de triângulos. Não se prenda a desenhos perfeitos, pois muitas vezes o desenho do exercício não condiz com os valores dados nos enunciados.

Videoaula

Por fim, acompanhe a aula do professor Lucas para entender melhor o que é a desigualdade triangular:

Exercícios sobre a condição de existência de um triângulo

Agora que já sabemos tudo isso, vamos praticar? Resolva os exercícios em seguida:

Questão 01 – (IFPE – 2017)

Um Técnico em mecânica pretende construir cinco triângulos cujos lados devem ter as seguintes medidas:

I. 10 cm; 8 cm; 6 cm;

II. 9 cm; 15 cm; 12 cm;

III. 12 cm; 15 cm; 12 cm;

IV. 9 cm; 8 cm; 4 cm;

V. 10 cm; 10 cm; 21 cm.

Podemos afirmar que o técnico obteve triângulo apenas nos casos

a) I, II, III e IV.

b) I, II e V.

c) I, II e IV.

d) I, II, IV e V.

e) III, IV e V.

Questão 02 – (FGV – 2019)

Um triângulo tem um lado medindo 9 cm e outro medindo 7 cm.

Sabendo que a medida do terceiro lado é expressa por um número inteiro de centímetros, quantos possíveis valores existem para esse lado?

a) 14

b) 12

c) 13

d) 11

e) 15

Questão 03 – (IBMEC SP Insper – 2008)

A desigualdade triangular é um princípio da geometria que estabelece o seguinte:

“Qualquer lado de um triângulo é sempre menor do que a soma dos outros dois”.

Considere que A, B, C e D são vértices de um quadrilátero. Se  é uma das diagonais desse quadrilátero, a única afirmação que não é necessariamente verdadeira é:

a) AC<AB+BC.

b) AC<AD+DC.

c) AB<AC+BC.

d) DC<AC+DC.

e) DC<AB+BC.

Gabarito:

1. A
2. C
3. E

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