É possível calcular a área de polígonos utilizando determinantes. Para isso é necessário saber a localização dos vértices do polígono no plano cartesiano. Entenda!
Sabia que podemos usar determinantes de matrizes para calcular a área de polígonos? Vem aprender com a gente como usar o método para calcular a área de um polígonos no plano cartesiano!
Matrizes e o cálculo de área de polígonos
Matrizes são ferramentas poderosas para a solução de problemas, principalmente quando estamos trabalhando com sistemas lineares. Nesta aula, vamos nos aprofundar em outra aplicação para o estudo de matrizes: o cálculo de áreas de polígonos na geometria analítica. Para isso, precisaremos das coordenadas de seus vértices, saber como calcular determinantes de matrizes e um pouco de intuição geométrica.
Como calcular a área de um triângulo usando determinante
Na geometria plana, quando queremos calcular a área de um triângulo qualquer, podemos usar uma variedade de fórmulas. A mais comum é a que associa sua base e altura com a área total:
Onde b é o tamanho da base e h é a altura.
Enquanto isso, na geometria analítica podemos fazer o uso de uma fórmula bem parecida. Supondo que conheçamos as coordenadas dos três vértices de um triângulo, podemos calcular a sua área usando a seguinte fórmula:
Onde D é o determinante da matriz V formada pelas coordenadas dos vértices do triângulo, que tem a seguinte forma:
Em que x1 e y1 são as coordenadas do primeiro vértice, x2 e y2 são as coordenadas do segundo vértice e x3 e y3 são as coordenadas do terceiro vértice.
Exemplo 1
Calcule a área do triângulo ABC em seguida:
Um triângulo formado pelos pontos A=(1,1), B=(2,4) e C=(4,2)
Primeiramente identificamos as coordenadas de cada vértice de ABC:
- A = (1,1)
- B = (2,4)
- C = (4,2)
Em seguida, precisamos montar a matriz formada pelas coordenadas dos vértices, e calcular o seu determinante.
Para isso, a ordem com que escolhemos os pontos não importa. Mas, é preciso lembrar que x1 se refere à coordenada no eixo x, e que y1 se refere à coordenada no eixo y. Ou seja, se considerarmos B nosso primeiro ponto, temos:
x1 = 2 e y1 = 4
Substituindo todas as coordenadas na matriz dos vértices:
Calculando o seu determinante obtemos:
D = det(V)
D = (4 + 4 +4) – (2 + 2 + 16)
D = -8
Por fim, substituindo na fórmula para o cálculo da área:
Como calcular a área de polígonos com mais de três lados
A fim de calcular a área de polígonos com mais de três lados utilizando determinantes não poderemos fazer o cálculo da área diretamente. Na verdade, faremos a divisão do polígono em quantos triângulos for necessário.
Dessa forma, conseguimos calcular a área de cada triângulo usando a mesma fórmula do exemplo anterior. Depois disso iremos somar todas elas a fim de obter a área total do polígono.
Exemplo 2
Calcule a área do quadrilátero ABCD:
Um quadrilátero formado pelos pontos A=(1,1), B=(3,4), C=(4,3) e D=(3,2)
Primeiramente, note que podemos usar a diagonal BD para dividir a figura em dois triângulos, ABD e BCD, da seguinte forma:
Quadrilátero ABCD dividido pela diagonal BD nos triângulos ABD e BCD.
Sabemos que a área de ABCD vai ser a soma da área dos triângulos ABD e BCD. Portanto, vamos utilizar o mesmo procedimento do exemplo anterior para fazer o cálculo da área dois triângulos.
Começando pelo triângulo ABD, montamos a matriz das coordenadas dos vértices:
Em seguida, calculamos o seu determinante:
DABD = det(VABD) = (4 + 6 +3) – (12 + 2 + 3)
DABD = 13 – 17 = -4
E substituímos na fórmula:
Em seguida, repetimos o procedimento para o triângulo BCD:
DBCD = det(VBCD) = (3 + 8 + 12) – (3 + 6 +16)
DBCD = 23 – 25 = -2
Como a área do quadrilátero será igual a soma das áreas dos triângulos, concluímos:
AABCD – AABD = ABCD = 2 + 1
AABCD = 3
Para não se perder utilizando esse método, fica uma dica valiosa: quando dividir o polígono em triângulos, comece sempre tentando usar todas as diagonais partindo de um único vértice, assim como nos exemplos a seguir:
Pentágono ABCDE sendo dividido pelas diagonais EB e EC, ambas partindo de E, e formando os triângulos ABE, BCE e CDE.
Hexágono ABCDEF sendo dividido pelas diagonais EA, EB e EC, as três partindo de E, e formando os triângulos ABE, BCE, CDE e AEF.
Uma outra forma de utilizar esse método, é focar na subtração de áreas.
Exemplo 3
Calcule a área de ABCDEF:
Pentágono ABCDE composto pelos pontos A=(1,4), B=(4,4), C=(4,1), D=(2,3) e E=(1,1).
Se fossemos nos guiar pelos exemplos anteriores, teríamos que dividir o pentágono em três triângulos, calcular suas respectivas áreas e somá-las. Entretanto, podemos encontrar um procedimento mais fácil pensando na subtração de áreas.
Note que a área de ABCDE vai ser igual à área do quadrado ABCE menos a área do triângulo CDE. Portanto, podemos calcular a área do quadrado e subtrair dela a área do triângulo.
Ilustração de como o pentágono ABCDE e o triângulo CDE formam juntos o quadrado ABCE.
Nesse caso, começamos calculando a área do quadrado. Note que o lado do quadrado mede 3. Com nossos conhecimentos de geometria plana podemos calcular diretamente:
AABCE = l² = 3² = 9
Para calcular a área do triângulo, vamos utilizar o mesmo método dos exemplos anteriores:
DCDE = det(VCDE) = (12 + 1 + 2) – (3 + 4 +2)
DCDE = 15 – 9 = 6
Para concluir o exercício, vamos subtrair a área da região triangular da área total do quadrado. Dessa forma, encontraremos a área do pentágono ABCDE.
AABCDE = 9 – 3 = 6
Método alternativo do cálculo de área por determinantes
Agora que você já sabe o método tradicional do cálculo de área por determinantes, vamos aprender um método mais rápido, em que você não precisa fazer a divisão em triângulos, mas que requer mais organização na hora de fazer as contas.
Vamos usar de exemplo um quadrilátero, mas o método funciona para um polígono com qualquer número de lados.
Exemplo 4
Calcule a área do quadrilátero ABCD em seguida:
Um quadrilátero formado pelos pontos A=(1,2), B=(2,4), C=(3,4) e D=(4,1)
Para usar esse método você também irá precisar das coordenadas dos vértices. Mais que isso, a fórmula final da área será igual, o que vai mudar realmente é a forma como calculamos D.
Para calcular D, comece escolhendo um ponto inicial e um sentido, horário ou anti-horário. Para a resolução deste exemplo, utilizaremos o ponto A e o sentido horário:
Quadrilátero ABCD com uma curva de origem em A simbolizando o sentido horário.
Em seguida, precisamos listar os pontos na ordem que eles aparecem com base no sentido escolhido e, no fim, repetimos o primeiro. No nosso caso, a ordem será: A, B, C, D e A.
Agora, com base na ordem obtida, vamos listar a ordem dos pontos de forma parecida com o método anterior:
1 2
2 4
3 4
4 1
1 2
A partir dessa listagem de coordenadas, vamos fazer algumas operações simples. Primeiramente vamos fazer as seguintes multiplicações nas diagonais da esquerda para a direita apontando para baixo:
Isto é: 1 vezes 4 resultou em 4, 2 vezes 4 resultou em 8, 3 vezes 1 resultou em 3, e 4 vezes 2 resultou em 8. Vamos somar todos esses produtos:
4 + 8 + 3 + 8 = 23
Repetimos esse procedimento, só que agora com as diagonais da esquerda para a direita apontando para cima:
Ou seja: 2 vezes 2 resultou em 4, 3 vezes 4 resultou em 12, 4 vezes 4 resultou em 16, e 1 vezes 1 resultou em 1. Somando os produtos:
4 + 12 + 16 + 1 = 33
Com esses dois valores, vamos calcular D subtraindo o primeiro do segundo:
D = 23 – 33 = -10
Aplicando esse valor de D na fórmula, obtemos:
Videoaula
Para completar seus estudos, confira a aula do professor Lucas de como calcular área usando matrizes:
Exercícios sobre cálculo de área de polígonos
1- (UPENET/IAUPE – 2021)
Flávia, aluna do 3º ano do Ensino Médio, em uma aula de matemática, traçou os eixos x e y do sistema cartesiano ortogonal na malha abaixo e, em seguida, marcou os pontos A (-3, 1), B (0, 4), C (5, 4) e D (-2, -3). Se os quadradinhos da malha têm lado unitário, qual é a medida da área do quadrilátero cujos vértices são os pontos A, B, C e D do plano cartesiano criado por Flávia?
a) 14 √2
b) 22
c) 18 √2
d) 24
e) 25
2- (Puc-rio 2009)
Calcule a área do triângulo de vértices A = (1,2), B = (2,4) e C = (4,1).
a) 5/2
b) 3
c) 7/2
d) 4
e) 9/2
3- (UERJ – adaptada)
No sistema de coordenadas cartesianas a seguir, está representado o triângulo ABC.
Em relação a esse triângulo, calcule a sua área.
a) 8
b) 7
c) 9
d) 17/2
e) 15/2
Gabarito:
- E
- C
- A
